Στην παρούσα εργασία μελετώνται ισόπλευρα (equilateral) σύνολα σε χώ-
ρους με νόρμα πεπερασμένης διάστασης. ΄Ενα υποσύνολο S ενός χώρου με
νόρμα (X, k· k) λέγεται ισόπλευρο, όταν τα στοιχεία του ανά δύο έχουν στα-
θερή απόσταση. Με e(X) συμβολίζουμε το μέγιστο πλήθος ενός ισόπλευρου
συνόλου στον X· το πλήθος αυτό είναι πεπερασμένο, λόγω συμπάγειας της
μοναδιαίας σφαίρας, όταν ο X έχει πεπερασμένη διάσταση.
Είναι γνωστό ότι αν X = l
n
2
(= ο ευκλείδειος χώρος διάστασης n) τότε
e(X) = n + 1 και ότι e(X) = 2n στην περίπτωση της l∞ νόρμας. Είναι ακόμη
γνωστό ότι αν dim X = n τότε e(X) ≤ 2
n και ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο
αν ο X είναι ισομετρικός με τον l
n
∞.
Εικάζεται ότι αν dim X = n, τότε e(X) ≥ n + 1 (δηλαδή ο n + 1 είναι
ένα κάτω φράγμα για τον αριθμό e(X)). Για n = 1 και n = 2 αποδεικνύεται
εύκολα. Για n = 3 έχει αποδειχθεί από τον Petty [9] και για n = 4 πρόσφατα
από τον Makeev [5]. Για n ≥ 5 έχουμε τα κάτω φράγματα που μας δίνει το
θεώρημα Brass και Dekster, το οποίο θα παρουσιάσουμε στο τρίτο κεφάλαιο
αυτής της εργασίας.
Η διάρθρωση της εργασίας έχει ως ακολούθως: Στο πρώτο κεφάλαιο παρου-
σιάζεται η αρχική απόδειξη του θεωρήματος του Petty στο οποίο αναφερθήκαμε
προηγουμένως [9]. Η απόδειξη αυτή χρησιμοποιεί το Λήμμα της μονοτονίας το
οποίο παρουσιάζει γενικότερο ενδιαφέρον καθώς και ένα τοπολογικό επιχείρη-
μα.
Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται μία εναλλακτική (πρόσφατη) απόδειξη
του θεωρήματος του Petty η οποία οφείλεται στον Kobos [3]. Η απόδειξη αυ-
τή (εδράζεται σε ιδέες ανάλογες με αυτές που χρησιμοποιεί ο Makeev για την
απόδειξη του αποτελέσματός του [5] και) χρησιμοποιεί ένα ενδιαφέρον αποτέ-
λεσμα των Kramer και Nemeth [4] το οποίο περιγράφει ικανές συνθήκες ώστε
το ομοιόθετο ενός τριγώνου να εγγράφεται στο σύνορο ενός κυρτού σώματος.
Το αντικείμενο του τρίτου κεφαλαίου είναι η απόδειξη του θεωρήματος των
Brass και Dekster: Αν m είναι θετικός ακέραιος τότε κάθε χώρος με νόρ-
μα αρκετά μεγάλης (πεπερασμένης) διάστασης περιέχει ένα ισόπλευρο σύνολο
πλήθους m. Με περισσότερη ακρίβεια, αν dim X = n τότε e(X) ≥ c(log n)
1
3 ,
όπου c > 0 μία σταθερά. ΄Επεται εύκολα από αυτό το αποτέλεσμα ότι κάθε απει-
ροδιάστατος χώρος με νόρμα περιέχει ισόπλευρα σύνολα οσονδήποτε μεγάλου
(πεπερασμένου) πλήθους. Για την απόδειξη αυτού του σημαντικού αποτελέ-
σματος χρησιμοποιούνται αποτελέσματα της θεωρίας Cayley-Menger (η οποία
1
ανήκει στην Γραμμική άλγεβρα), το θεώρημα Dvoretzky καθώς και το θεώρημα
σταθερού σημείου του Brouwer
