Fractional derivatives : types and validity criteria

Orientador: Edmundo Capelas de OliveiraTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: O número de formulações, na literatura especializada, envolvendo o termo derivada fracionária é grande e esse número vem aumentando. Tendo em vista esse crescente número de definições, nesse trabalho apresentamos dois critérios: o proposto por Ross em 1975 e o proposto por Ortigueira e Machado em 2015 - ambos compostos por cinco propriedades, que nos auxiliam a concluir quando um dado operador é uma derivada fracionária. Classificamos as derivadas de ordem não inteira em três classes distintas, a saber, derivadas clássicas, derivadas locais e derivadas com núcleo não singular. Depois disso, verificamos a real possibilidade de um operador poder ser classificado como derivada fracionária, segundo o critério de Ortigueira e Machado - visto esse ser mais restritivo do que o proposto por Ross. As derivadas clássicas são as que melhores satisfazem o critério proposto por Ortigueira e Machado, podendo assim serem ditas derivadas fracionárias, de acordo com o referido critério. A classe das derivadas locais não pode ser considerada como de derivadas fracionárias por esse critério, sendo assim propomos um novo critério para essa classe de operadores. Já as derivadas com núcleo não singular, em sua grande maioria, não cumprem todas as propriedades do critério em questão. Como aplicação, resolvemos a equação logística linear em sua versão fracionária utilizando três diferentes derivadas ditas fracionárias, sendo cada uma representante de uma classeAbstract: The number of formulations in specialized literature involving the term fractional derivative is significant and that number has increased. Considering the growing number of definitions, in this thesis, we present two criteria: one proposed by Ross in 1975 and the other proposed by Ortigueira and Machado in 2015 - both have five properties, what helps us to conclude if a given operator is a fractional derivative. We have classified the non-integer order derivatives in three different classes: classic derivatives, local derivative and derivatives without singular kernel. In the sequence, we check the real possibility of a non-integer order derivative be classified as a fractional derivative, according to the criterion of Ortigueira and Machado - which is more restrictive than the one proposed by Ross. Classic derivatives are the ones which best correspond to the criterion proposed by Ortugueira and Machado, being called fractional derivatives, according to that criterion. Local derivatives cannot be considered fractional derivatives by that criterion, therefore we propose a new criterion for this class of operators. Vast majority of derivatives without singular kernel do not satisfy all the properties of the criterion in question. As an application we solve the linear logistic equation in its fractional version using three different fractional derivatives, each one representing a classMestradoMatematica AplicadaDoutora em Matemática AplicadaCAPE

Fractional calculus and the Mittag-Leffler functions

Orientador: Edmundo Capelas de OliveiraDissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: O cálculo fracionário, nomenclatura utilizada para cálculo de ordem não inteira, tem se mostrado importante e, em muitos casos, imprescindível na discussão de problemas advindos de diversas áreas da ciência, como na matemática, física, engenharia, economia e em muitos outros campos. Neste contexto, abordamos a integral fracionária e as derivadas fracionárias, segundo Caputo e segundo Riemann-Liouville. Dentre as funções relacionadas ao cálculo fracionário, uma das mais importantes é a função de Mittag-Leffler, surgindo naturalmente na solução de várias equações diferenciais fracionárias com coeficientes constantes. Tendo em vista a importância dessa função, a clássica função de Mittag-Leffler e algumas de suas várias generalizações são apresentadas neste trabalho. Na aplicação resolvemos a equação diferencial associada ao problema do oscilador harmônico fracionário, utilizando a transformada de Laplace e a derivada fracionária segundo CaputoAbstract: The fractional calculus, which is the nomenclature used to the non-integer order calculus, has important applications due to its direct involvement in problem resolution and discussion in many fields, such as mathematics, physics, engineering, economy, applied sciences and many others. In this sense, we studied the fractional integral and fractional derivates: one proposed by Caputo and the other by Riemann-Liouville. Among the fractional calculus's functions, one of most important is the Mittag-Leffler function. This function naturally occurs as the solution for fractional order differential equations with constant coeficients. Due to the importance of the Mittag-Leffler functions, various properties and generalizations are presented in this dissertation. We also presented an application in fractional calculus, in which we solved the differential equation associated the with fractional harmonic oscillator. To solve this fractional oscillator equation, we used the Laplace transform and Caputo fractional derivateMestradoMatematica AplicadaMestra em Matemática Aplicad