New Hausdorff type dimensions and optimal bounds for bilipschitz invariant dimensions

We introduce a new family of fractal dimensions by restricting the set of diameters in the coverings in the usual definition of the Hausdorff dimension. Among others, we prove that this family contains continuum many distinct dimensions, and they share most of the properties of the Hausdorff dimension, which answers negatively a question of Fraser. On the other hand, we also prove that among these new dimensions only the Hausdorff dimension behaves nicely with respect to H\"older functions, which supports a conjecture posed by Banaji obtained as a natural modification of Fraser's question. We also consider the supremum of these new dimensions, which turns out to be an other interesting notion of fractal dimension. We prove that among those bilipschitz invariant, monotone dimensions on the compact subsets of $\mathbb{R}^n$ that agree with the similarity dimension for the simplest self-similar sets, the modified lower dimension is the smallest and when $n=1$ the Assouad dimension is the greatest, and this latter statement is false for $n>1$. This answers a question of Rutar.Comment: 22 pages, minor modifications, Question 1.5 has been remove

Valós függvénytani kutatások = Topics in Real Analysis

A tágabb értelemben vett valós függvénytan több területén folytattunk sikeres kutatást. Jelentős eredményeket értünk számos leíró halmazelméleti, geometriai mértékelméleti kérdésben, valamint az operátorfélcsoportok elméletében. Kutatásaink egy részébe diákokat is bevontunk. A pályázat támogatásával négy év alatt összesen 27 megjelent vagy elfogadott, továbbá 5 még elbírálás alatt álló cikk született. Eredményeinket számos nemzetközi konferencián is bemutattuk, többször meghívott előadóként. Keleti Tamásnak és Elekes Mártonnak sikerült D. Mauldin egy 15 éves kérdésére válaszolva megmutatni, hogy a Liouville számok halmazát ''nem lehet megmérni'', azaz a mértéke minden eltolás invariáns Borel mértékre nézve nulla vagy nem szigma-véges. További geometriai mértékelméleti eredményein kívül Keleti számos eredményt ért el függvényeknek periodikus függvények összegére való felbonthatóságával kapcsolatban. Elekes munkáiban nagy hangsúlyt kapott a halmazelmélet, több meglepő függetlenségi eredményt igazolt. Mátrai Tamás kidolgozta a topologikus Hurewicz teszthalmazok elméletét, melynek számos alkalmazását találta. Az operátorfélcsoportok normafolytonosságával kapcsolatos kutatásaiban egy új Banach-tér konstrukció segítségével ellenpéldát adott A. Pazy egy 40 éves sejtésére. Csörnyei Marianna szerzőtársaival geometriai mértékelméleti jellemzést talált Lagrange függvényekkel megadott variációszámítási problémák úgynevezett univerzális szinguláris halmazaira. | Our research group carried out research work in several areas of real analysis. We obtained notable results concerning many problems in descriptive set theory, geometric measure theory and in the theory of operator semigroups. Our research was partially done in collaboration with our students. With the support of the present fellowship, within four years, we published 32 papers, 27 of which had already appeared or had been accepted for publication. We presented our results on numerous international conferences, on several occasions as invited speakers. Keleti and Elekes answered a 15-year-old problem of Mauldin by showing that the set of Liouville numbers cannot be measured: its measure with respect to any translation invariant Borel measure is either zero or non-sigma-finite. Apart from solving other geometric measure theoretic problems Keleti obtained several results about the decomposition of functions to the sum of periodic functions. The work of Elekes had more set theoretic flavor, he obtained several surprising independence results. Mátrai developed the theory of topological Hurewicz test pairs and found several applications of his theory. In his research on operator semigroups he refuted a 40-year-old conjecture of A. Pazy by inventing and using a new way to construct Banach spaces. Csörnyei, with his collaborators, found a geometric measure theoretic characterization of the universal singular sets of Lagrangians of variational problems