Ball and Spindle Convexity with respect to a Convex Body

Let $C\subset {\mathbb R}^n$ be a convex body. We introduce two notions of convexity associated to C. A set $K$ is $C$-ball convex if it is the intersection of translates of $C$, or it is either $\emptyset$, or ${\mathbb R}^n$. The $C$-ball convex hull of two points is called a $C$-spindle. $K$ is $C$-spindle convex if it contains the $C$-spindle of any pair of its points. We investigate how some fundamental properties of conventional convex sets can be adapted to $C$-spindle convex and $C$-ball convex sets. We study separation properties and Carath\'eodory numbers of these two convexity structures. We investigate the basic properties of arc-distance, a quantity defined by a centrally symmetric planar disc $C$, which is the length of an arc of a translate of $C$, measured in the $C$-norm, that connects two points. Then we characterize those $n$-dimensional convex bodies $C$ for which every $C$-ball convex set is the $C$-ball convex hull of finitely many points. Finally, we obtain a stability result concerning covering numbers of some $C$-ball convex sets, and diametrically maximal sets in $n$-dimensional Minkowski spaces.Comment: 27 pages, 5 figure

A Volume Formual for Medial Sections of Simplices

Let S d be a d -dimensional simplex in R d , and let H be an affine hyperplane of R d . We say that H is a medial hyperplane of S d if the distance between H and any vertex of S d is the same constant. The intersection of S d and a medial hyperplane is called a medial section of S d . In this paper we give a simple formula for the ( d -1)-volume of any medial section of S d in terms of the lengths of the edges of S d . This extends the result of Yetter from the three-dimensional case to arbitrary dimension. We also show that a generalization of the obtained formula measures the volume of the intersection of some analogously chosen “medial” affine subspace of R d and the simplex.Peer Reviewedhttp://deepblue.lib.umich.edu/bitstream/2027.42/41353/1/454_2003_Article_15.pd

A Lower Bound for the Translative Kissing Numbers of Simplices

( K ) of a d -dimensional convex body K is the maximum number of mutually non-overlapping translates of K that can be arranged so that all touch K . In this paper we show that holds for any d -dimensional simplex ( ). We also prove similar inequalities for some, more general classes of convex bodies.Peer Reviewedhttp://deepblue.lib.umich.edu/bitstream/2027.42/42312/1/493-20-2-281_00200281.pd

Elemi majdnem-Johnson-poliéderek és számítógépes modellezésük

Bevezetjük az elemi majdnem-Johnson-poliéderek fogalmát az elemi Johnson-poliéderekhez analóg módon olyan poliéderekre, melyeknek a laphálói nem egyeznek meg semelyik, szabályos sokszöglapok által határolt konvex poliéder laphálójával sem, de minden lapjuk szabályos sokszöghöz közeli alakú, és lapjainak mindegyik csúcskonfigurációja megvalósítható szabályos sokszögekkel, valamint ezen poliéderek nem kaphatók meg bizonyos geometriai műveletekkel ilyen típusú egyszerűbb vagy nevezetes poliéderekből sem. Áttekintjük a jelenleg ismert elemi majdnem-Johnson-poliédere-ket, és bemutatjuk, hogy azok hogyan modellezhetők geometriai módszerekkel, azaz valamely geometriai szoftverrel megvalósított térbeli geometriai szerkesztésekkel. = We introduce the notion of elementary near-miss Johnson solids analogously to elementary Johnson solids: these are such convex polyhedra whose face lattices are different from the face lattice of any convex polyhedron bounded by regular polygonal faces only, but the shapes of all of their faces are close to regular polygons in some sense, every vertex configuration of the faces can be obtained by regular polygons also, and furthermore, these polyhedra can not be obtained by some specific geometric operations from simpler or well-known polyhedra. We overview the elementary near-miss Johnson solids known in present, and we show how to model such polyhedra using geometric methods only, that is, how to create a virtual model of that polyhedron using space geometric construction steps with a geometry software

Diszkrét és kombinatórikus geometriai kutatások = Topics in discrete and combinatorial geometry

A most lezárult OTKA grant, 8 résztvevő diszkrét geometriai kutatását támogatta. Itt a témák ilusztrálására kiemelünk néhányat az elért 72 publikációból. 1. Jelentős eredmények születtek (8 cikk) gráfok síkba rajzolhatóságáról, például az úgynevezett metszési számról. 2. Többek között sikerült igazolni Katchalski és Lewis 20 éves sejtését, mely szerint diszjunkt egységkörökből álló rendszereknél ha bármely három körnek van közös metsző egyenese akkor van olyan egyenes, amely legfeljebb 2 kör kivételével valamennyit metsz. 3. Littlewood (1964) problémájaként ismert volt az a kérdés, hogy hány henger érintheti kölcsönösen egymást? Viszonylag alacsony felső korlátot találtunk és egy régóta ismert elhelyzés valótlanságát igazoltuk. 4. Többszörös fedések egyszerű fedésekre való szétbontását vizsgáltuk és értünk el lényeges előrelépést. 5. A Borsuk-féle darabolási problémanak azt a variánsát vizsgáltuk, amelyben a darabolást u. n. hengeres darabolásra korlátozták. 6. Bebizonyítottuk, hogy ''nem nagyon elnyúlt'' ellipszisek esetében a sík legritkább fedésének meghatározásánál el lehet tekinteni az u.n. nem-keresztezési feltételtől. 7. A sejtetthez nagyon közeli korlátot találtunk arra a problémára, hogy az n-dimenziós térben legfeljebb hány homotetikus konvex test helyezhető el úgy, hogy bármely kettő érintse egymást. | Discrete geometry in Hungary flourished since the sixties as a result of the work of László Fejes Tóth. The supported research of 8 participant also belongs to this area. Here we illustrate the achieved 72 publications by mentioning a few results. 1. Important theorems (8 papers) were proved concerning graph drawing. 2. Among others, a 20 year old problem of Katchalsky was proved, stating that in a packing of congruent circles, if any three has a common transversal, then there is a line, which avoids at most two of the circles. 3. Concerning a conjecture of Littlewood we found a small upper bound for the number of infinite cylinders which mutually touch each other. 4. We studied decomposability of multiple coverings into single coverings. 5. We studied that variant of the famous Borsuk problem where the partitions are restricted to cylindrical partitions. 6. We proved that in case of ellipses which are not ''too long'' at determining the thinnest covering one can omit the usually needed noncrossing condition. 7. A bound close to the conjectured bound was found concerning the number of n-dimensional homothetic convex solids which mutually touch each other