Material point method for deteriorating inelastic structures

The material point method (MPM) is one of the latest developments in particle in cell methods (PIC). The structure is discretized into a number of material points that hold all the state variables of the system [1] such as stress, strain, velocity, displacement etc. These properties are then mapped to a temporary background grid and the governing equations are solved. The momentum conservation equations (together with energy and mass conservation considerations) are solved at the grid nodes. The state variables of the particles are then updated by transferring the solutions from the grid nodes back to the material points. Since the background grid is used only to solve the governing equations at the end of each computational step it can be reset to its undistorted form and thus mesh distortion and element entanglement are avoided. In this work an explicit MPM accounting for elastoplastic material behavior with degradations is proposed. The stress tensor is decomposed into an elastic and a hysteretic – plastic part [5] where the hysteretic part of the stresses evolves according to a Bouc-Wen type hysteretic rule [2]. The inelastic constitutive material law provides a smooth transition from the elastic to the inelastic regime and accounts for the different phases during elastic loading, unloading, yielding and stiffness and strength degradation. Heaviside type functions are introduced that act as switches, incorporate the yield criterion and the terms for stiffness and strength degradation as in the Bouc-Wen model of hysteresis [2]. The resulting constitutive law relates stresses and strains with the use of the tangent modulus of elasticity, which now includes the Heaviside functions and gathers all of the governing inelastic degrading behavior

Smooth plasticity and damage model for the material point method

In the Material Point Method (MPM) the structure is discretized into a set of material points that hold all the state variables of the system [1] such as stress, strain, velocities etc. A background grid is employed and the variables are mapped to the nodes of the grid. The conservation of momentum equations with energy and mass conservation considerations are solved at the grid nodes and the updated state variables are again mapped back to the material points updating their positions and velocities. The background grid is used only to solve the governing equations at the end of each computational step and then it is reset back to its original undeformed configuration. It is used only as a scratchpad for calculations and thus mesh distortion that constitutes a problem in Finite Element simulations is avoided. In this work the explicit formulation of the MPM is employed. According to the strain decomposition rule the strains are uncoupled into an elastic and an inelastic part. The constitutive law follows a Bouc-Wen [2] type formulation for smooth transition from the elastic to the inelastic regime. In the same manner the constitutive equations for elastoplasticity coupled with damage are smoothed according to Lemaitre’s elastoplastic damage theory [3,4]. The above formulation is expressed and incorporated in the tangent modulus of elasticity as Heaviside type functions that control the inelastic behavior and damage. Results are presented that validate and verify the proposed formulation in the context of the Material Point Method

Hysteretic Beam Element with degrading BOUC-WEN Type Models

90 σ.Η παρούσα διπλωματική εργασία έχει ως αντικείμενό της την ενσωμάτωση υστερητικών προσομοιωμάτων στη ανελαστική δυναμική ανάλυση μονοβάθμιων και πολυβάθμιων συστημάτων με τη χρήση πεπερασμένου στοιχείου δοκού. Μετά από μια αρχική αναφορά στους τύπους των μοντέλων υστέρησης που έχουν αναπτυχθεί (πολυγραμμικά και ομαλά υστερητικά) εξετάζονται αναλυτικά τα προσομοιώματα των Bouc-Wen και Sivaselvan-Reinhorn. Αυτά αποτελούνται κυρίως από μια μη γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης της μορφής zdot(t)=f(udot(t),z(t)), που αποτελεί την υστερητική συνάρτηση και από παραμέτρους που δίνονται από το χρήστη και ελέγχουν τη μορφή των βρόχων που προκύπτουν. Η z είναι η υστερητική συνάρτηση και zdot(t) είναι η παράγωγος της z ως προς το χρόνο η οποία ισούται με τη παράγωγο των μετατοπίσεων ως προς το χρόνο (ταχύτητες) πολλαπλασιασμένες με ένα μη γραμμικό συντελεστή. Παρουσιάζονται διάφορα παραδείγματα αποκρίσεων έτσι ώστε να γίνει κατανοητή η λειτουργία των προσομοιωμάτων καθώς και η επιρροή των παραμέτρων. Στη συνέχεια ακολουθεί η εισαγωγή των απομειώσεων αντοχής και δυσκαμψίας καθώς και του φαινομένου της στένωσης. Ειδικότερα οι νόμοι απομείωσης αντοχής και δυσκαμψίας εισήχθησαν στο προσομοίωμα με βάση την πρόταση των Baber και Wen (1981), ενώ το φαινόμενο της στένωσης σύμφωνα με τη θεώρηση του Foliente (1995). Η εφαρμογή των απομειώσεων και της στένωσης γίνεται με την εισαγωγή στη υστερητική εξίσωση κατάλληλων συντελεστών οι οποίοι βασίζονται στον υπολογισμό της υστερητικής ενέργειας δηλαδή της ενέργειας που διαχέεται από το υστερητικό ελατήριο. Παρουσιάζονται διάφορα παραδείγματα έτσι ώστε να γίνει κατανοητή η συμπεριφορά των προσομοιωμάτων μετά την εφαρμογή των απομειώσεων και η σύγκρισή τους με πριν. Το πεπερασμένο στοιχείο δοκού που αναλύεται στη συνέχεια εισάγει νέους υστερητικούς βαθμούς ελευθερίας οι οποίοι υπόκεινται στις εξελικτικές εξισώσεις τύπου Bouc-Wen. Αυτοί οι νέοι βαθμοί ελευθερίας θεωρούνται ως υστερητικές καμπυλότητες και υστερητικές κεντρικές αξονικές παραμορφώσεις. Δημιουργείται ένα σύστημα εξισώσεων που είναι οι γραμμικές εξισώσεις κίνησης σε επίπεδο κατασκευής και οι μη γραμμικές υστερητικές εξισώσεις σε επίπεδο στοιχείου. Το σύστημα των εξισώσεων έρχεται σε μορφή χώρου κατάστασης (state space form) και επιλύεται ταυτόχρονα. Έτσι ενσωματώνεται η υστέρηση στη θεωρία των πεπερασμένων στοιχείων και αποφεύγεται η γραμμικοποίηση στο καθολικό επίπεδο της κατασκευής. Ακολούθως ένα τυπικό δίστηλο πλαίσιο κατασκευασμένο από χάλυβα υποβάλλεται σε τέσσερις σεισμικές δονήσεις και αναλύεται η συμπεριφορά του με βάση τα όσα προηγήθηκαν. Συγκεκριμένα οι σεισμοί που επιλέχθηκαν είναι Kocaeli Duzce 270, Rinaldi Rss 228, Tarzana 090, και Kobe Takatori 090 πολλαπλασιασμένοι κάθε φορά με κατάλληλο συντελεστή ώστε να υπάρξει διαρροή. Παρουσιάζονται τα διαγράμματα ροπών καμπυλοτήτων που προκύπτουν από την ανάλυση για χαρακτηριστικούς κόμβους του φορέα, καθώς και οι χρονοϊστορίες των μετακινήσεων της κορυφής. Στο ίδιο πλαίσιο ακολουθεί ανάλυση με την εφαρμογή των απομειώσεων αντοχής και δυσκαμψίας και συγκρίνονται οι αποκρίσεις με τις προηγούμενες. Επίσης αναλύεται και ένα πλαίσιο από ωπλισμένο σκυρόδεμα στο σεισμό Kocaeli Duzce 270 με την εφαρμογή των απομειώσεων και του φαινομένου της στένωσης. Τέλος ακολουθεί η ανελαστική ανάλυση ενός πολυώροφου κτηρίου και συγκεκριμένα του νοσοκομείου Woodland Hills Hospital στην California. Το κτήριο υποβλήθηκε στο σεισμό El Centro με τα σεισμικά μεγέθη πολλαπλασιασμένα επί 2 έτσι ώστε να γίνει φανερή η διαρροή των διατομών. Το υλικό θεωρήθηκε ότι ακολουθεί διγραμμική συμπεριφορά. Και εδώ γίνεται σύγκριση των αποκρίσεων με και χωρίς απομειώσεις καθώς και της διαχεόμενης ενέργειας. Τέλος παρουσιάζονται και τα αποτελέσματα της ανάλυσης αν θεωρούσαμε υλικό με κράτυνση.The purpose of this diploma thesis is the incorporation of hysteretic modelling in nonlinear dynamic analysis of single and multi-degree of freedom systems using a beam element. After an initial reference in the type of hysteretic models developed (namely polygonal and smooth hysteretic) Bouc-Wen and Sivaselvan-Reinhorn models are presented and assessed in detail. Multiple examples of responses demonstrate the influence of the model parameters. Then the stiffness degradation, the strength deterioration and pinching are introduced. The stiffness degradation and strength deterioration rules used herein are based on Baber and Wen (1981), while pinching is based on the work of Foliente (1995). Both of these rules are based on the calculation of the hysteretic energy namely the energy dissipated by the hysteretic spring. Various examples are presented to reveal the range of validity of the proposed degrading model. The beam element analyzed introduces new hysteretic degrees of freedom subjected to an evolution equation of the Bouc-Wen type. These new hysteretic degrees of freedom are considered as hysteretic curvatures and hysteretic axial deformations. The system of equations i.e., the linear global equations of motion and nonlinear local constitutive equations for every element is converted into state space form and solved simultaneously. This way hysteresis is introduced in the finite element method. Finally a typical two column frame buildings as well as a multi-storey building are subject to various earthquakes and their behavior is discussed.Χρήστος Δ. Σοφιανό

Material point method for deteriorating inelastic structures

The material point method (MPM) is one of the latest developments in particle in cell methods (PIC). The structure is discretized into a number of material points that hold all the state variables of the system [1] such as stress, strain, velocity, displacement etc. These properties are then mapped to a temporary background grid and the governing equations are solved. The momentum conservation equations (together with energy and mass conservation considerations) are solved at the grid nodes. The state variables of the particles are then updated by transferring the solutions from the grid nodes back to the material points. Since the background grid is used only to solve the governing equations at the end of each computational step it can be reset to its undistorted form and thus mesh distortion and element entanglement are avoided. In this work an explicit MPM accounting for elastoplastic material behavior with degradations is proposed. The stress tensor is decomposed into an elastic and a hysteretic – plastic part [5] where the hysteretic part of the stresses evolves according to a Bouc-Wen type hysteretic rule [2]. The inelastic constitutive material law provides a smooth transition from the elastic to the inelastic regime and accounts for the different phases during elastic loading, unloading, yielding and stiffness and strength degradation. Heaviside type functions are introduced that act as switches, incorporate the yield criterion and the terms for stiffness and strength degradation as in the Bouc-Wen model of hysteresis [2]. The resulting constitutive law relates stresses and strains with the use of the tangent modulus of elasticity, which now includes the Heaviside functions and gathers all of the governing inelastic degrading behavior