Strongly quasipositive links with braid index 3 have positive Conway polynomial

Strongly quasipositive links are those links which can be seen as closures of positive braids in terms of band generators. In this paper we give a necessary condition for a link with braid index 3 to be strongly quasipositive, by proving that in that case it has positive Conway polynomial (that is, all its coefficients are non-negative). We also show that this result cannot be extended to a higher number of strands, as we provide a strongly quasipositive braid whose closure has non-positive Conway polynomial.Ministerio de Ciencia e InnovaciónJunta de AndalucíaFondo Europeo de Desarrollo Regiona

On some families of links and new approaches to link homologies

Falta palabras clavesEsta tesis se enmarca dentro de la Teoría de Nudos. En los Capítulos 1 y 2 se usan herramientas clásicas para estudiar las propiedades de ciertas familias de enlaces y las relaciones de inclusión entre ellas. En los Capítulos 3 y 4 se estudian nuevas aproximaciones a invariantes homológicos de enlaces introducidos en este siglo. En 1983 Louis Kauffman conjeturó que las familias de enlaces alternativos y pseudoalternantes eran iguales. En el Capítulo 1 se prueba esta conjetura para el caso de enlaces cuyo primer número de Betti es menor que 3. También se dan dos contraejemplos que muestran que, en general, la conjetura no es cierta. El polinomio de Conway de los enlaces positivos es positivo. En el Capítulo 2 se extiende esta propiedad a la familia de enlaces fuertemente cuasipositivos con índice de trenza 3. Asímismo, se prueba que esta propiedad no puede ser extendida a los enlaces fuertemente cuasipositivos con índice de trenza mayor que 5. El Capítulo 3 se centra en los intentos de dar una definición de la homología Knot Floer en términos de los estados FKT de Kaffman. Concretamente, se muestra la no invariancia de una propuesta de Y. Rong bajo el movimiento de Reidemeister II. En el Capítulo 4 se da una definición geométrica de la cohomología extrema de Khovanov, en términos del grafo de Lando asociado al diagrama de un enlace. Este nuevo punto de vista permite construir una familia de nudos H-gruesos cuya cohomología extrema de Khovanov cuenta con tantos grupos no triviales como se desee. Los conceptos y resultados básicos asociados a cada capítulo se encuentran recogidos en sus respectivas introducciones. Asímismo, al final de cada uno de ellos se incluyen cuestiones abiertas a las que da lugar el trabajo desarrollado.This thesis falls within the scope of Knot Theory. In Chapters 1 and 2 we use classical tools for studying the properties and relations among some families of links. In Chapters 3 and 4 we discuss new approaches to homological link invariants introduced in this century. In 1983 Louis Kauffman conjectured that the families of alternative and pseudoalternating links coincide. In Chapter 1 we prove that this conjecture holds for the special case of links whose first Betti number is at most 2. We also disprove the conjecture for the general case by showing two counterexamples. Positive links have positive Conway polynomial. In Chapter 2 we extend this property to the family of strongly quasipositive links whose braid index equals 3. Moreover, we prove that this result cannot be extended when considering strongly quasipositive links whose braid index is greater than 5. Chapter 3 focuses in the attemps of giving a definition of Knot Floer homology in terms of Kauffman FKT-states. Namely, we show that the definition given by Y. Rong is not invariant under the Reidemeister II move. In Chapter 4 we give a geometric realization of the extreme Khovanov cohomology in terms of the Lando graph associated to a link diagram. This new approach allows us to give a family of H-thick knots with any number of nontrivial extreme Khovanov cohomology modules. Each chapter has its own introduction containing its associated motivation and background. Moreover, at the end of each of them we have included open questions related to the results exposed in the chapter.Premio Extraordinario de Doctorado U

Alexander-Conway polynomial state model and link homology

This paper shows how the Formal Knot Theory state model for the Alexander-Conway polynomial is related to Knot Floer Homology. In particular we prove a parity result about the states in this model that clarifies certain relationships of the model with Knot Floer Homology.Ministerio de Ciencia e InnovaciónJunta de Andalucía (Consejería de Innovación, Ciencia y Empresa)Fondo Europeo de Desarrollo Regiona

A geometric description of the extreme Khovanov cohomology

We prove that the hypothetical extreme Khovanov cohomology of a link is the cohomology of the independence simplicial complex of its Lando graph. We also provide a family of knots having as many non-trivial extreme Khovanov cohomology modules as desired, that is, examples of H-thick knots which are as far of being H-thin as desired.Ministerio de Economía y CompetitividadFondo Europeo de Desarrollo Regiona

Muchos siglos antes de Hipatia ya hubo mujeres matemáticas

Evidentes razones mediáticas (película Ágora de 2009, biografías, documentales...), unidas a razones ciertamente científicas (obra geométrica, estudio de las secciones cónicas…) han convertido la vida de Hipatia de Alejandría (siglo IV d.C.) en un tema de actualidad. Aunque Hipatia es considerada por la mayoría de los investigadores en Historia de la Ciencia como la primera mujer matemática de la Antigüedad, el objetivo de esta ponencia es mostrar que hubo otras mujeres anteriores a ella que, por su obra matemática, pueden ser merecedoras también de tal distinción. Entre ellas, y por orden cronológico, pueden ser citadas Enheduanna (s. XXV a.C.), reconocida como la primera mujer registrada en la historia de la ciencia y también la primera persona que firma sus escritos; Teano de Crotona (s. VI a.C.), que es la que goza de un mayor reconocimiento entre todas ellas, motivado por su pertenencia a la Escuela Pitagórica, y Aglaonike (s. III a.C.), considerada la primera mujer astrónoma de la Antigüedad debido a su capacidad para predecir eclipses

A particular type of non-associative algebras and graph theory

Evolution algebras have many connections with other mathematical fields, like group theory, stochastics processes, dynamical systems and other related ones. The main goal of this paper is to introduce a novel non-usual research on Discrete Mathematics regarding the use of graphs to solve some open problems related to the theory of graphicable algebras, which constitute a subset of those algebras. We show as many our advances in this field as other non solved problems to be tackled in future