Nichtstandard-Analysis reellwertiger Funktionen

In der vorliegenden Arbeit wird ein Einblick in die Nichtstandard-Analysis rund um Funktionen gegeben. Dabei wird immer wieder Bezug zur klassischen Analysis genommen. Ein großer Teil der vorliegenden Diplomarbeit ist an die Darstellung in [LR] angelehnt. Gelegentlich werden Beispiele und Aspekte aus [WZ], [RB], [DL] und [TL] verwendet. Für den Standardzugang zur Analysis, die sogenannte klassische Analysis, wird das Buch [OF] als Referenz gebraucht. Die Arbeit gliedert sich in drei Teile, nämlich einer Einleitung, dem mathematischen Teil und dem anschließenden Resumee. Im ersten Kapitel wird ein kurzer historischer Rückblick auf die Entwicklung der Nichtstandard-Analysis gegeben und der Unterschied zwischen der reellen Analysis und der Nichtstandard-Analysis zusammengefasst. Weiters werden grundlegende einführende Begriffe bearbeitet, die ausführlicher in der Diplomarbeit [SC] nachzulesen sind. Im Hauptteil beschäftigen wir uns vor allem mit der Nichtstandard-Version rund um reellwertige Funktionen. Es werden die Themen Stetigkeit, gleichmäßige Stetigkeit und Differenzierbarkeit behandelt, wobei wir immer wieder einen Vergleich zur klassischen Analysis machen werden. Anschließend folgen zwei wichtige Prinzipien der Nichtstandard-Analysis, nämlich das Transferprinzip und das Permanenzprinzip, sowie deren Anwendung. Das vorletzte Kapitel handelt von Funktionenfolgen. Im letzten Kapitel Rück- und Ausblick werden Vor- und Nachteile der Nichtstandard-Analysis und eine eventuelle Einbindung in das Lehrangebot für Studierende Lehramt Mathematik diskutiert. Der Anhang über Filter und Ultrafilter ist eine Sammlung von wichtigen Begriffen und Definitionen, die die Grundlage für diese Arbeit bilden. An Vorkenntnissen werden Grundbegriffe wie Mengen und Strukturen, Körperbegriff und die Anfänge der reellen Analysis vorausgesetzt.In this thesis we provide an introduction to nonstandard analysis of real functions with occasional comparison to classical analysis. In big parts of this thesis we follow [LR]. Several examples and aspects are taken from [WZ], [RB], [DL], and also [TL] is used. For the standard approach to analysis we use [OF] as a reference. This paper is divided into three parts, namely a historic and preparatory introduction, the main part consisting of chapters 3-7 and the subsequent résumé. The first chapter gives a brief review of the historical development of nonstandard analysis and a summary of the difference between classical analysis and nonstandard analysis. The second chapter then deals with the basic notions of nonstandard numbers. More details can be found in the thesis of [SC]. In the main part, we mainly deal with nonstandard methods for and extensions of real-valued functions. We address the issues of continuity, uniform continuity and differentiability. We discuss it in a comparison with classical analysis. Then two important principles of nonstandard analysis, namely the transfer principle and the permanence prinziple are presented and their application is illustrated. The punultimate chapter is devoted to function sequences. In the last chapter we review advantages and disadvantages of nonstandard analysis and its possible inclusion in the curriculum students mathematics education is discussed. The appendix on filters and ultrafilters is a collection of important notions and definitions that form the technical basics for the constructions