Existence of Atoms and Molecules in the Mean-Field Approximation of No-Photon Quantum Electrodynamics

The Bogoliubov-Dirac-Fock (BDF) model is the mean-field approximation of no-photon Quantum Electrodynamics. The present paper is devoted to the study of the minimization of the BDF energy functional under a charge constraint. An associated minimizer, if it exists, will usually represent the ground state of a system of $N$ electrons interacting with the Dirac sea, in an external electrostatic field generated by one or several fixed nuclei. We prove that such a minimizer exists when a binding (HVZ-type) condition holds. We also derive, study and interpret the equation satisfied by such a minimizer. Finally, we provide two regimes in which the binding condition is fulfilled, obtaining the existence of a minimizer in these cases. The first is the weak coupling regime for which the coupling constant $\alpha$ is small whereas $\alpha Z$ and the particle number $N$ are fixed. The second is the non-relativistic regime in which the speed of light tends to infinity (or equivalently $\alpha$ tends to zero) and $Z$, $N$ are fixed. We also prove that the electronic solution converges in the non-relativistic limit towards a Hartree-Fock ground state.Comment: Final version, to appear in Arch. Rat. Mech. Ana

PROBLEMES VARIATIONNELS AVEC DEFAUT DE COMPACITE EN SYSTEMES DYNAMIQUES ET EN PHYSIQUE MATHEMATIQUE

PARIS-DAUPHINE-BU (751162101) / SudocSudocFranceF

Etude de la stabilité des petites solutions stationnaires pour une classe d'équations de Dirac non linéaires

Cette thèse est consacrée à l'étude de la stabilité de petits états stationnaires d'une équation d'évolution non linéaire issue de la mécanique quantique relativiste : l'équation de Dirac non linéaire. Tout le long de notre étude, les équations non linéaires sont vues comme des petites perturbations non linéaires de systèmes linéaires. Une partie de cette thèse est donc consacrée à l'étude de problèmes linéaires. Nous montrons que, pour un opérateur de Dirac n'ayant pas de résonance aux seuils ni de valeur propre aux seuils, le propagateur vérifie des estimations de propagation et de dispersion. Nous en déduisons également des estimations de régularité au sens de Kato et des estimations de Strichartz. En faisant des hypothèses ad hoc sur le spectre discret d'un opérateur de Dirac, nous construisons des petites variétés formées d'états stationnaires. Puis en faisant varier ces hypothèses, nous faisons apparaître des phénomènes de stabilisation et d'instabilité orbitale pour certains de ces états. nonlinearThis thesis is devoted to the study of the stability of small stationary solutions of a nonlinear time dependent equation coming from relativistic quantum mechanics: the nonlinear Dirac equation. In this study, non linear equations are viewed as small nonlinear perturbations of linear systems. A part of this thesis is hence devoted to the study of linear problems. We prove that for a Dirac operator, with no resonance at thresholds nor eigenvalue at thresholds, the propagator satisfies propagation and dispersive estimates. We also deduce smoothness estimates in the sense of Kato and Strichartz estimates. With some ad hoc assumptions on the discrete spectrum of a Dirac operator, we build small manifolds of stationary states. Then with small variations on these assumptions, we can highlight some stabilization process and orbital instability phenomena for some stationary states.PARIS-DAUPHINE-BU (751162101) / SudocSudocFranceF

Quelques modèles non linéaires en mécanique quantique

Cette thèse est consacrée à l'étude de trois modèles non linéaires issus de la mécanique quantique. Dans la première partie, nous démontrons l'existence d'un minimum et d'états excités approchés pour les modèles multi-configurations décrivant la structure électronique des molécules. Ces points critiques peuvent être calculés grâce à un nouvel algorithme. Des résultats numériques sont présentés pour le premier état excité de systèmes à deux électrons. Dans la seconde partie, nous étudions un lemme du col modélisant des réactions chimiques avec le modèle de Schrödinger indépendant du temps. Nous prouvons l'existence d'un point selle, sous l'hypothèse que les molécules à l'infini sont chargées ou polarisées. La dernière partie est consacrée à l'étude de la polarisation du vide grâce au modèle Bogoliubov-Dirac-Fock, une théorie relativiste de champ moyen issue de l'électrodynamique quantique. Nous montrons que l'énergie étudiée possède un minimum qui est le vide polarisé.This thesis is devoted to the study of three nonlinear models from quantum mechanics. In the first part, we prove the existence of a minimizer and of approximate excited states for the multiconfiguration methods, which aim at describing electrons in molecules. These so-defined critical points can be computed numerically by a totally new algorithm. Numerical results are provided for the first excited state of two-electron systems. In the second part, we study a mountain pass lemma modelling adiabatic reactions in the Schrödinger time-independent framework. We prove the existence of a mountain pass point, assuming that the molecules at infinity are charged or polarized. Our last part is devoted to the study of the polarization of the vacuum with the Bogoliubov-Dirac-Fock model, a relativistic mean-field theory deduced from quantum electrodynamics. Our energy is bounded from below and has a minimizer which can be interpreted as the polarized vacuum.PARIS-DAUPHINE-BU (751162101) / SudocSudocFranceF

Theoretical and numerical study of nonlinear models in quantum mechanics

Dans cette thèse, on étudie plusieurs modèles et problèmes issus de la mécanique quantique. Ces modèles interviennent naturellement en chimie quantique pour le calcul de la structure électronique de la matière. Ils présentent des difficultés théoriques liées aux problèmes d'existence de solutions et à leur calcul numérique. Cette thèse est une contribution à l'étude de ces problèmes.This thesis is concerned with several mathematical problems in quantum mechanics. These problems arise naturally in quantum chemistry in connection with the electronic structure of matter. Of particular interest are the questions of existence of solutions and of ways to compute them effectively.PARIS-DAUPHINE-BU (751162101) / SudocSudocFranceF

Theoretical and numerical study of nonlinear models in quantum mechanics

Dans cette thèse, on étudie plusieurs modèles et problèmes issus de la mécanique quantique. Ces modèles interviennent naturellement en chimie quantique pour le calcul de la structure électronique de la matière. Ils présentent des difficultés théoriques liées aux problèmes d'existence de solutions et à leur calcul numérique. Cette thèse est une contribution à l'étude de ces problèmes.This thesis is concerned with several mathematical problems in quantum mechanics. These problems arise naturally in quantum chemistry in connection with the electronic structure of matter. Of particular interest are the questions of existence of solutions and of ways to compute them effectively.PARIS-DAUPHINE-BU (751162101) / SudocSudocFranceF

RECHERCHE VARIATIONNELLE D'ORBITES HOMOCLINES DANS LES SYSTEMES DYNAMIQUES HAMILTONIENS

L'EXISTENCE D'ORBITES HOMOCLINES DANS UN SYSTEME DYNAMIQUE A D'INTERESSANTES CONSEQUENCES SUR LE COMPORTEMENT DE CE SYSTEMES, DONT LES PREMIERES ONT ETE REMARQUEES PAR POINCARE. LORSQUE LE SYSTEME DYNAMIQUE EST HAMILTONIEN, LES METHODES VARIATIONNELLES FOURNISSENT UN OUTIL PUISSANT POUR TROUVER DES ORBITES HOMOCLINES. ON CONSIDERE DANS LA PREMIERE PARTIE DE CETTE THESE UNE FAMILLE A UN PARAMETRE D'ORBITES PERIODIQUES HYPERBOLIQUES CONTRACILES D'UN SYSTEME HAMILTONIEN AUTONOME. ON UTILISE DES METHODES VARIATIONNELLES POUR MONTRER SOUS DES HYPOTHESES GLOBALES QUE LES ORBITES DE LA FAMILLE ADMETTANT UNE ORBITE HOMOCLINE SONT DENSES DANS LA FAMILLE. ON MONTRE DANS LA SECONDE PARTIE L'EXISTENCE D'UNE ORBITE HOMOCLINE A LA VARIETE CENTRALE D'UN POINT FIXE DE TYPE SELLE-CENTRE. ON DONNE QUELQUES APPLICATIONS PHYSIQUES DE CE RESULTAT, EN PARTICULIER, SI UN SYSTEME MECANIQUE DEFINI PAR UNE LIAISON HOLONOME A UN POINT FIXE INSTABLE ET UNE ORBITE HOMOCLINE A CE POINT FIXE, L'ORBITE HOMOCLINE EST PRESERVEE QUAND LA LIAISON EST EXCITEE. DANS LA DERNIERE PARTIE, ON MONTRE L'EXISTENCE D'ORBITES HOMOCLINES AUX ENSEMBLES DE PEIERLS RESULTANT DE LA DESTRUCTION DES TORES RESONANTS DANS LES SYSTEMES INTEGRABLES PERTURBES DE HAMILTONIEN CONVEXE.PARIS-DAUPHINE-BU (751162101) / SudocPARIS-BIUSJ-Mathématiques rech (751052111) / SudocSudocFranceF

Variational and topological methods for the study of nonlinear models from relativistic quantum mechanics.

Cette thèse porte sur l'étude de modèles non linéaires issus de la mécanique quantique relativiste.Dans la première partie, nous démontrons à l'aide d'une méthode de tir l'existence d'une infinité de solutions d'équations de Dirac non linéaires provenant d'un modèle de hadrons et d'un modèle de la physique des noyaux.Dans la seconde partie, nous prouvons par des méthodes variationnelles l'existence d'un état fondamental et d'états excités pour deux modèles de la physique des hadrons. Par la suite, nous étudions la transition de phase reliant les deux modèles grâce à la Gamma-convergence.La dernière partie est consacrée à l'étude d'un autre modèle de hadrons dans lequel les fonctions d'onde des quarks sont parfaitement localisées. Nous énonçons quelques résultats préliminaires que nous avons obtenus.This thesis is devoted to the study of nonlinear models from relativistic quantum mechanics.In the first part, we show thanks to a shooting method, the existence of infinitely many solutions of nonlinear Dirac equations of two models from the physics of hadrons and the physics of the nucleus.In the second part, we prove thanks to variational methods the existence of a ground state and excited states for two models of the physics of hadrons. Next, we study the phase transition which links the models thanks to the $\Gamma$-convergence.The last part is devoted to the study of another model from the physics of hadrons in which the wave functions are perfectly confined. We give some preliminary results.PARIS-DAUPHINE-BU (751162101) / SudocSudocFranceF

Étude variationnelle des états électroniques de la molécule de polyacétylène (modèles continu et discret)

Cette thèse porte sur l étude du modèle relativiste de la molécule de polyacétylène dans sa version discrète et son approximation continue. Nous appliquons des techniques introduites par Kennedy et Lieb, et par Hainzl, Lewin, Séré et Solovej pour résoudre des problèmes du même type en Electrodynamique Quantique. Dans la première partie, nous étudions le modèle continu du polyacétylène.Pour contourner le fait que l opérateur de Dirac n est pas borné inférieurement, nous définissons un modèle périodique sur un intervalle de taille L > 0 et nous introduisons un cut-off ultraviolet en espace de Fourier. Nous prouvons l existence et l unicité des états fondamentaux de ce système périodique et nous montrons que les minimiseurs sont invariants par translations. Puis, nous étudions la limite thermodynamique lorsque la période L tend vers l infini et définissons ainsi les états fondamentaux dans le cas général ainsi que l énergie par unité de longueur. La seconde partie est consacrée a l étude du modèle discret introduit par Su, Schrieffer et Heeger. Nous définissons également un problème périodique pour obtenir un Hamiltonien borné inférieurement. Nous présentons une démonstration différente de celle donnée par Kennedy et Lieb du fait que la configuration dimérisée de la molécule minimise l énergie. Notre approche est constructive et donne des formules explicites pour les minimiseurs globaux et l énergie fondamentale. Finalement, nous prouvons l existence des états d équilibre de type kink pour une molécule infinieThis thesis is devoted to the study of the relativistic model of the molecule of polyacetylene in its discrete version and continuous approximation. We apply some techniques introduced by Kennedy and Lieb, and by Hainzl, Lewin, Séré and Solovej to solve similar type problems in QED. In the first part, we study the continuous model of polyacetylene. To deal with the fact that the Dirac operator is not bounded from below, we define a periodic model on an interval of size L > 0 and we introduce an ultraviolet cut-off in Fourier space. We prove the existence and uniqueness of fundamental states of this periodic system and we show that the minimizers are translation-invariant. Then we study the thermodynamic limit when the period L goes to infinity and we define the fundamental states in the general case as well as the energy per length unit. The second part is devoted to the study of the discrete model introduced by Su, Schrieffer and Heeger. We also define a periodic problem to obtain a Hamiltonian bounded from below. We present a different proof from that given by Kennedy and Lieb of the fact that the dimerized configuration of the molecule minimizes the energy. Our approach is constructive and produces explicit formulas for the global minimizers and the fundamental energy. Finally, we prove the existence of kink type equilibrium states of an infinite moleculePARIS-DAUPHINE-BU (751162101) / SudocSudocFranceF