Entre o natural e o artificial: visualização e representação no século XVI

Recentes estudos em história da ciência têm apresentado indícios de que é impossível estabelecer uma clara distinção entre estudos de óptica e de perspectiva linear quando nos referimos aos séculos XVI e XVII. Embora a perspectiva linear lidasse com a representação geométrica do espaço numa superfície bidimensional, estava, entretanto, estreitamente ligada a questões relativas à natureza da visão humana. Devemos considerar que, naquela época, o termo perspectiva era a tradução latina da palavra grega optikè, denotando a visão direta e distinta que, para os gregos, revelava as coisas. Seu significado coexistiu com outros que designavam a técnica pictórica e, para distingui-los, era comum opor a perspectiva "comum” ou “natural” à perspectiva artificialis dos pintores. Essas diferentes expressões de perspetiva relacionaram-se de diferentes maneiras, cobrindo um largo espectro de possibilidades. Contudo, à medida em que se encerrou o século XVI, essas duas expressões de conhecimento passaram, gradativamente, a se referir a diferentes disciplinas. Parte desse processo esteve ligado às novas práticas matemáticas em que a óptica, a geometria e as artes buscaram redefinir seus campos de investigação, considerando questões de ordem teórica ligadas à visualização e à representação do espaço. Neste artigo, apresentamos alguns aspectos da estreita conexão entre perspectiva naturalis e artificialis, tendo por base um conjunto de documentos relativos à óptica e à perspectiva linear publicado nos séculos XVI e XVII

História da matemática e Educação Matemática: uma proposta para atualizar o diálogo entre historiadores e educadores

Muitas são as propostas que aproximam a história da matemática da Educação Matemática. Tais propostas pautadas em diferentes tendências historiográficas da história da matemática alinhadas a diferentes teorias da didática da matemática têm sido apreciadas não só no Brasil, mas também em outros centros internacionais. Com vistas a melhorar a compreensão dos fenômenos ligados ao ensino/aprendizagem da matemática, a história da matemática tem exercido significativo papel como provedora de questões epistemológicas referentes não só ao objeto matemático, mas também à natureza do conhecimento matemático. Neste trabalho, apresentam-se alguns pressupostos que têm norteado recentes investigações da história nessa direção. Partindo do fato de que a história da matemática também não se encontra pronta e acabada, apresentam-se aqui alguns aspectos que poderiam ajudar a aprofundar o diálogo entre historiadores e educadores de modo auxiliar na elaboração de propostas a fim de delinear condições para a construção de interfaces entre história da matemática e Educação Matemática. Para tanto, apontam-se para alguns aspectos de natureza historiográfica e epistemológica com vistas a fundamentar as investigações que procuram alinhar teorias da didática matemática à história da matemática dando assim início a um diálogo com a história da matemática em sua feição hodierna

A RECONSTRUÇÃO DE ANTIGOS INSTRUMENTOS MATEMÁTICOS DIRIGIDA PARA FORMAÇÃO DE PROFESSORES

This paper presents a theoretical approach for the reconstruction of mathematical instruments in the interface between history and math teaching which had a wide survey of a literature dedicated to the construction and use of mathematical instruments and the practical geometry, widely disseminated between sixteenth and seventeenth centuries. The analysis of these works has revealed interesting mathematical and epistemological aspects of mathematical knowledge that can be explored in the teachers training with different levels. This article gives special attention to the idea of reconstructing these instruments in order to reflect and discuss about manipulative handicaps and geometric knowledge which are mobilized in the process of its reconstruction. The reconstruction and manipulation of these instruments had led one to the revision and the discussion of some mechanical and rational procedures which are related to the process of elaboration of mathematical knowledge. Based on the idea that the mathematical instrument is not merely an artifact, but also a means to construct knowledge, this paper aims to stimulate reflection on and contribute to the critical training of math teachers.Este artículo presenta una propuesta de enfoque teórico para la reconstrucción de instrumentos matemáticos en la interfaz entre la historia y la enseñanza de las matemáticas la cual contó con un amplio levantamiento de la literatura dedicada a la construcción y al uso de instrumentos matemáticos y a la geometría práctica, muy diseminada entre los siglos XVI y XVII. El análisis de esta literatura ha revelado interesantes aspectos matemáticos y epistemológicos del saber matemático que pueden ser explorados en la formación de profesores de diferentes niveles. Este artículo da especial atención a la idea de reconstruir estos instrumentos con el fin de reflexionar y discutir sobre los condicionantes manipulativos y los conocimientos geométricos movilizados en el proceso de su reconstrucción. La reconstrucción y el manejo de estos instrumentos han conducido a repasar y discutir sobre algunos procedimientos mecánicos y racionales conexos al proceso de elaboración del conocimiento matemático. Con base en la idea de que el instrumento matemático no es un simple artefacto, sino también medio para construir conocimiento, este trabajo tiene por meta estimular la reflexión sobre y contribuir para la formación crítica de profesores de matemáticas.Este artigo apresenta uma proposta de abordagem teórica para a reconstrução de instrumentos matemáticos na interface entre história e ensino de matemática, a qual contou com um amplo levantamento de uma literatura dedicada à construção e ao uso de instrumentos matemáticos e à geometria prática, muito disseminada entre os séculos XVI e XVII. A análise dessa literatura revelou interessantes aspectos matemáticos e epistemológicos do saber matemático que podem ser explorados na formação de professores de diferentes níveis. Este artigo dá especial atenção à ideia de reconstruir esses instrumentos com vistas a refletir e a discutir sobre os condicionantes manipulativos e os conhecimentos geométricos mobilizados no processo de sua reconstrução. A reconstrução e o manuseio desses instrumentos têm nos conduzido a revisitar e a discutir sobre alguns procedimentos mecânicos e racionais ligados ao processo de elaboração do conhecimento matemático. Tendo por base a ideia de que o instrumento matemático não só é mero artefato, mas também meio para construir conhecimento, este trabalho tem por objetivo estimular a reflexão sobre e contribuir para a formação crítica de professores de matemática

Rolling behavior of a micro-cylinder in adhesional contact

Understanding the rolling behavior of a micro-object is essential to establish the techniques of micro-manipulation and micro-assembly by mechanical means. Using a combined theoretical/computational approach, we studied the critical conditions of rolling resistance of an elastic cylindrical micro-object in adhesional contact with a rigid surface. Closed-form dimensionless expressions for the critical rolling moment, the initial rolling contact area, and the initial rolling angle were extracted after a systematic parametric study using finite element method (FEM) simulations. The total energy of this system is defined as the sum of three terms: the elastic energy stored in the deformed micro-cylinder, the interfacial energy within the contact area, and the mechanical potential energy that depends on the external moment applied to the cylindrical micro-object. A careful examination of the energy balance of the system surprisingly revealed that the rolling resistance per unit cylindrical length can be simply expressed by “work of adhesion times cylindrical radius” independent of the Young’s modulus. In addition, extending a linear elastic fracture mechanics based approach in the literature, we obtained the exact closed-form asymptotic solutions for the critical conditions for initial rolling; these asymptotic solutions were found in excellent agreement with the full-field FEM results.Singapore-MIT Allianc

Interface entre história e ensino de matemática: aspectos teóricos e metodológicos

Este trabalho dá continuidade às investigações do projeto de pesquisa construção de interface entre história da matemática e ensino na perspectiva lógico-histórica desenvolvido pelo grupo HEEMa (História e Epistemologia na Educação Matemática) cujos primeiros resultados foram apresentados e discutidos no IV SIPEM (Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática). Neste texto, discorre-se sobre a construção de uma interface entre história da matemática e Educação Matemática a partir de tendências historiográficas atualizadas e de pressupostos lógico-históricos do conhecimento. Essa interface contempla a construção do significado dos objetos matemáticos, levando-se em consideração o contexto no qual conceitos matemáticos são desenvolvidos e o movimento do pensamento no contexto em que tais conceitos foram concebidos. Assim, este trabalho trata de uma das etapas da construção dessa interface, a qual é aqui denominada tratamento didático. Para tanto, apresenta-se o processo de escolha e o tratamento didático de um documento do século XVI, intitulado del modo di misurare (1564), cujas partes foram utilizadas numa atividade didática. Busca-se, dessa maneira, apresentar o tratamento didático como um dos caminhos para a construção da interface, visto que estabelece a mediação entre o documento histórico e a atividade didática

Disseminação do estudo de análise matemática e a repercussão da obra instituzioni analitiche de Maria Gaetana Agnesi

Neste artigo apresentamos alguns desdobramentos relativos à divulgação e repercussão da obra Instituzioni Analitiche ad uso dela giuveniu italiana, por ocasião de sua publicação em Milão, em 1748, e nos cinquenta anos posteriores, sobretudo em função do direcionamento dado por Maria Gaetana Agnesi (1718-1799) ao seu tratado matemático. Para compreender o lugar ocupado pela estudiosa e sua obra na história da matemática, é essencial situá-la em malhas contextuais mais amplas, de modo a abarcar parte do processo de circulação dos discursos e da divulgação da álgebra e do cálculo, naquele contexto. Mediante este enfoque, a abordagem metodológica adotada neste trabalho se baseou em uma análise documental, a partir da articulação das esferas epistemológica, historiográfica e contextual, na concepção de Alfonso-Goldfarb e Ferraz. Considerando que uma interligação entre tais esferas constituí uma empreitada não trivial, nosso corpus é composto pela obra matemática Instituzioni Analitiche, as correspondencias de Agnesi com seus contemporâneos, além de alguns trabalhos de estudiosos que se debruçaram sobre a vida e obra da estudiosa, como forma de trazer à luz indícios de que houve interesse e comprometimento de Agnesi em divulgar seu tratado para além do solo milanês, e à vista disso, este teve ampla repercussão, a despeito de ter sido esquecido, em sua maioria, sob muitos aspectos, pelos historiadores da matemática