P and PI controller design for systems with unstructured uncertainty

Bu çalışmada, yapısal olmayan belirsizliğe sahip tek girişli-tek çıkışlı doğrusal zamanla değişmeyen sistemleri kapalı çevrimde dayanıklı kararlı kılan oransal (P) ve oransal-integral (PI) kontrolörlerin tam bir kümesini bulmak için yeni yöntemler önerilmiştir. Böyle bir sistemi dayanıklı kararlı kılan tüm oransal kontrolörleri hesaplamak için önerilen yöntem, temelde Nyquist teoreminin bir genelleştirilmesine dayanır. Yapısal olmayan belirsizliklere sahip bir sistemin Nyquist eğrisi, tek bir eğri olmayıp reel ekseni bölgeler biçiminde kesen bir eğri ailesi biçimindedir. Bu eğri ailesi, belirsizlik disklerinden oluşan bir bantın içinden geçer. Nominal sistemi kararlı yapan kazançlar ile belirsizlik bantının reel ekseni kesim yerlerinden bulunan belirsizlik kazanç kümelerinden yararlanarak sistemi kapalı çevrimde dayanıklı kararlı kılan kazançların hesabı hızlıca yapılabilir. İki reel polinomun köklerinin hesabını gerektiren bu yöntemin bir parametre üzerinde herhangi bir tarama yapmayı gerektirmemesinden dolayı literatürdeki yöntemler üzerine avantajı da vardır. PI kontrolör parametrelerinin kutupsal koordinatlarda yazılmasıyla bulunan yeni sistem için birim daire taratılarak ve bu yöntemden elde edilen sonuçlardan da yararlanılarak dayanıklı kararlı yapan PI kontrolörlerin tam bölgesi hesaplanabilir. Ayrıca yapısal olmayan belirsizlik içeren sistemi dayanıklı kararlı kılan PI kontrolörleri bulmak için parametre uzayı yaklaşımını kullanan geometrik tabanlı iki yeni yöntem de önerilmiştir. Bu yöntemler, belirsizlik disklerinin orijini içermesi ve içermemesine göre iki aşama içerirler. Birinci yöntem, dayanıklı kararlı yapan PI kontrolörlerin tam bölgesini hesaplayan yavaş bir yöntemken; diğeri ise dayanıklı kararlı yapan PI kontrolörlerin yaklaşık bölgesini veren hızlı bir yöntemdir.  Anahtar Kelimeler: P ve PI kontrol, dayanıklı kontrol, Nyquist teoremi, parametre uzayı yaklaşımı.In controller design, it is essential to achieve stability of the closed-loop system and various performance specifications. Frequency domain criteria such as gain margin, phase margin and   norms of the closed-loop transfer functions as well as time domain criteria such as settling time, rise time and overshoot can be counted among important performance specifications. Most of the controllers used in the practical world are low order controllers such as P, PI and PID controllers. It is possible to see that methods for finding stabilizing low order compensators can be considered in three main categories: methods based on Nyquist theorem, methods based on a generalized version of the Hermite-Biehler theorem, and methods based on parameter space and the concept of singular frequencies.Robust stabilization of continuous time single-input single-output (SISO) linear time invariant (LTI) systems with multiplicative uncertainties is considered in this study. In particular, it has been shown that all P and PI controllers that robustly stabilize a given uncertain SISO LTI system can be found by utilizing a generalization of the Nyquist theorem and the parameter space approach, respectively. The generalization of Nyquist stability criterion suggests to determine the number of the unstable poles for gain intervals obtained by calculating the location and direction of the crossing of the Nyquist plot with the real axis. A stable characteristic polynomial, whose roots are in the left half plane, becomes unstable if and only if at least one root crosses the imaginary axis. The parameter values of the root crossing form the stability boundaries in the parameter space, which can be classified into three cases: the real root boundary, where a root crosses the imaginary axis at the origin (substitute   and   in the characteristic polynomial), the infinite root boundary, where a root leaves the left half plane at infinity (for  ) and the complex root boundary, where a pair of conjugate complex roots crosses the imaginary axes (for  ). These stability boundaries seperate regions in which the number of closed loop system unstable poles do not change in the parameter space.Sometimes, it is not possible to represent uncertainties in a system model with parametric uncertainties. Such uncertainties are usually encapsulated in a norm bounded system block that acts on a nominal system in an additive or multiplicative manner. Although it is possible to find robust controllers that can stabilize systems with such uncertainties by the help of  control theory, the resulting compensators are usually of high order (at least as high as the order of the plant) and therefore impractical in many cases. Several attempts exist to put constraints on the order of   controllers in the literature. However, many of these approaches suffer from computational intractability. In many practical cases direct determination of the set of P and PI controllers that provide robust stability of SISO LTI systems with unstructured uncertainty is required. To the best knowledge of authors, there is no such direct methods available in the literature for this purpose. The main aim of this paper is to provide such methods. Nyquist plot of a system with multiplicative uncertainties is a family of curves rather than a single curve and crosses the real axis in segments of the real axis instead of at single points. Actually, the frequency response of a system with unstructured uncertainty at a given frequency is a disk. A new method is proposed to determine all stabilizing P and PI controllers for a given system with multiplicative uncertainty. The method is applicable to systems with unstable or nonminimum phase transfer functions and/or weight functions. Proposed method involves calculation of roots of two real polynomials and does not require any search or gridding over a parameter (for P control), and as a result offers computational advantages over existing methods in literature. Although it is assumed that the nominal system does not have any poles on the imaginary axis in derivations of formulations, it is actually possible to extend the results to cover such cases rather easily. In this study, two new geometric methods are also proposed to find the set of PI controllers that robustly stabilize a given system with unstructured uncertainty. The first method gives exact set of robustly stabilizing PI controllers; but it is slow. An alternative method suggests approximation set of robustly stabilizing PI controllers; but it is faster than the first one. Keywords: P and PI control, robust control, Nyquist theorem, parameter space approach. 

Stabilizing constant diagonal controllers for TITO systems

Proses kontrolün ilk ve en önemli amacı sistemi kararlı kılmaktır, performans üzerine yapılacak her eylem bu temel koşul sağlandığı müddetçe bir anlam taşır. Kontrolör tasarımında kullanılan yöntemlerden biri sistemi kararlı kılacak tüm kontrolörleri bulmak ve ardından, tasarımdaki diğer beklentileri sağlamak üzere, bu sınıf içinden uygun bir kontrolörde karar kılmaktır. Bu hedef doğrultusunda yapılanlar şu özellikleri de barındırmalıdır ki, iyi bir kontrolör tasarım sürecinden söz edilebilsin. Kontrolör kırılgan olmamalıdır, yani kontrolör de parametre değişimlerine karşı sistemin kararlılığını ve mümkünse performansını zedelememelidir. Kontrolörün düşük mertebeden olması, parametre ayarlama sürecinde büyük kolaylıklar sağlar, zira ne kadar az parametre o kadar basit bir tasarım süreci demektir. Öte yandan pratik anlamı dolayısıyla da az parametre, ya da düşük mertebe endüstride görev alan uygulamacılar için problemlerin daha hızlı çözülmesi anlamına gelir. Bu çalışmada çok değişkenli kontrol yapıları arasında önemli bir yer tutan karakteristik değerler ve karakteristik değer eğrileri ele alınmış, rasyonel polinomlar cisminde indirgenebilir olan karakteristik denklemler için karakteristik değerlerin reel ekseni kesim noktaları ve bu noktalar civarındaki davranışları üzerinde durulmuştur. Zira bu değerler çok girişli çok çıkışlı sistemleri kararlı kılan kontrolörlerin bulunmasında ya da verilen bir kazanç değeri için kararlılığın analiz edilmesinde hızlı hesaplanabilirlikleri yönünden önem arz etmektedirler. Bu çalışma kapsamında iki girişli iki çıkışlı (TITO) sistemleri kararlı kılan sabit köşegen kontrolörler üzerinde durulmuş, karakteristik değer eğrilerinin reel ekseni kestikleri yerler ve eğrilerin bu noktalardaki geçiş yönlerinden hareket ederek hızlı bir algoritma geliştirilmiş ve bu tür sistemleri kararlı kılan kontrolörler örnek sistem üzerinde sınanarak hesaplanmıştır. Anahtar Kelimeler: Bilgisayar cebri, blok diyagram indirgeme, PID kontrol, parametre uzayı yaklaşımı, karakteristik değer eğrileri.A control system is an interconnection of compo-nents to perform certain tasks and to generate desired output signal, when it is driven by the input signal. In contrast to an open-loop system, a closed-loop control system uses sensors to measure the actual output to adjust the input in order to achieve desired output. Most industrial control systems are no longer single-input and single-output (SISO) but multi-input and multi-output (MIMO) systems with a high coupling between the channels. In the design of all dynamical systems stability is the most important property. When a dynamic system is described by its input-output relationship such as a transfer function, the system is stable if it generates bounded outputs for any bounded inputs; bounded-input bounded-output (BIBO) stability. For a linear, time-invariant system modeled by a transfer function matrix, the BIBO stability is guaranteed if and only if all the poles of the transfer function matrix are in the open-left-half complex plane. A reasonable approach to controller design is to find the set of all stabilizing compensators and then using a member of this set to satisfy further design criteria. A complete parameterization of all stabilizing controllers for a given system was suggested by Youla. An important disadvantage of this parameterization is that the order of the controller cannot be fixed. As a result, the order of the controller tends to be quite high most of the time. Therefore, in the last few years computation of all stabilizing controllers of a given order is examined by several researchers. It is a common fact that it is more difficult to design controllers for MIMO systems because there are usually interactions between different control loops. To overcome this difficulty decentralized controllers are considered which have fewer tuning parameters compared to general multivariable controllers. For example, decentralized PID (P: proportional, I: integral, D: derivative)  controllers are widely used in process control due their simplicity and facility in working in case of actuator and/or sensor failure because it is relatively easy to tune manually as only one loop is directly affected by the failure. If a MIMO system described by a  transfer-function matrix G(s) is diagonal dominant over the bandwidth of interest, or there exists an input compensator matrix C(s) to achieve diagonal dominance, then the stability and time domain behavior of the system can be inferred from the diagonal elements of G(s)C(s). The relative gain array, the (inverse) Nyquist array approach, the block Nyquist array method, the Perron-Frobenius scaling procedure and the characteristic locus method are among the analysis and design methods to reduce the interaction in a multivariable system. However, these approaches do not provide the set of all stabilizing controllers. Generalizing the Nyquist stability criterion for MIMO case is particularly important because plotting the characteristic values of the open-loop transfer function enables us to check the stability of the closed-loop system for a gain parameter. A stable characteristic polynomial, becomes unstable if and only if at least one root crosses the imaginary axis. The parameter values of the root crossing form the stability boundaries in the parameter space, which can be classified into three cases: the real root boundary, where a root crosses the imaginary axis at the origin, the infinite root boundary, where a root leaves the left half plane at infinity and the complex root boundary, where a pair of conjugate complex roots crosses the imaginary axes. These stability boundaries separate regions in which the number of closed loop system unstable poles does not change in parameter space.The main objective of this work is to develop an efficient and fast algorithm that can be used in finding all stabilizing constant controllers of diag(k,k)-type for TITO processes. Recall that a TITO system has two characteristic values that are in the field of rational functions, if the characteristic equation is reducible in this field. Hence Nyquist stability criterion can be applied to both of the characteristic values in order to determine the conditions for stability.  Recall that the generalized Nyquist theorem requires that the net sum of encirclements of the point -1 by the characteristic values equal to the number of open-loop unstable poles of the system. Hence, it is of special importance to determine where the characteristic locus intersects with the real axis, i.e. where the imaginary part of, is zero. The direction of these crossings is also important, because the net count of crossings at an intersection point will indicate whether there are closed-loop poles to cross the imaginary axis.  Keywords: Computer Algebra, block diagram reduction, PID control, parameter space approach, characteristic value plots

Optimization of coasting points in a mass rail transit system

Bir raylı taşıma sisteminde enerji tüketimi birçok farklı parametreye bağlıdır. Ancak, bir raylı sistemde tren rotası boyunca hız profilini en uygun hale getirmek, enerji tüketimini azaltmada en etkili yöntemlerden biridir. Makalede trenler için boşta gitme noktalarının optimize edilebilmesi için yeni geliştirilmiş bir yöntem sunulmaktadır. Çalışmada önerilen yaklaşım GA (Genetik Algoritma), YSA (Yapay Sinir Ağları), ve çok hatlı ve çok trenli sistem simulasyon yazılımının birlikte kullanımıyla gerçekleştirilmiş olan gerçekçi sistem modellemesini içermektedir. Simulasyon yazılımı araçların regeneratif frenleme yapabilme ve düşük gerilimdeki performansını da modellemektedir. Simulasyon yazılımı, YSA için eğitim ve test verilerinin oluşturulmasında kullanılmıştır. Bu veriler YSA’ların eğitiminde ve bu eğitilmiş YSA’lar ise değişik boşta gitme konumları için yolculuk süresi ve enerji tüketimini tahmin etmede kullanılmıştır. Optimizasyon kısmında hedef yolculuk süresi, hedef enerji tüketimi ve ağırlık faktörleri içeren bir uygunluk fonksiyonu sunulmuş ve YSA’lar bu uygunluk fonksiyonunu hesaplayan optimizasyon prosedürünün hızını arttırmada kullanılmıştır. Uygunluk fonksiyonunu minimize eden en uygun boşta gitme noktalarının belirlenmesinde GA araştırma yöntemi kullanılmıştır. Gerek GA’nın gerekse kullanılan uygunluk fonksiyonunun değişik parametreleri için optimizasyon çalışmalarının tekrar edilmesi işlemi mevcut literatürde bulunan yöntemlerle çok fazla zaman almaktadır. Çalışmada önerilen yöntemde eğitilmiş olan YSA’ların kullanılması ile parametre değişiklikleri için tekrarlanan optimizasyon çalışmlarında simülatörün kullanılmasına gerek kalmamakta, dolayısı ile yeni parametreler için optimizasyon sonuçları çok hızlı elde edilebilmektedir. Anahtar Kelimeler: Raylı sistem, enerji verimliliği, boşta gitme, yapay sinir ağı, optimizasyon.Energy consumption of a rail transit system depends on many parameters such as train weight, maximum speed, power supply system voltage level, and operation concepts. One of the most effective methods of reducing energy consumption in a rail transit system is optimizing the speed profile of the trains along the route: Trains consume the maximum energy during flat-out mode operation where they speed up to the maximum speed and keep that speed until it reaches to the braking point which is determined by deceleration rate. This type of operation gives the shortest journey time. A small trade-off from this journey time gives high saving in energy consumption.  This subject poses an optimization problem which could be very complicated. In this study, a new efficient method will be presented for optimization of the coasting points for trains in a global manner. The new method suggest using Artificial Neural Networks (ANN) together with classical approach of simulator tool and genetic algorithms.Trains run along the line according to a timetable. Timetables define the travelling time for every train from every station to station. Timetables always include some slack time for an unexpected time loss which could be caused by faulty equipment, but mostly by passengers. Slack times and station dwell times are very important for providing a punctual service. Delays disturb the punctual operation as well as reducing energy efficiency by consuming the slack times which can be used in normal operation conditions for energy efficient driving. Simulation software is used for creating training and test data for ANNs. These data are used for training of ANNs. Test data are used to validate the outputs of trained ANNs. The trained ANNs are then used for estimating energy consumption and travel time for new sets of coasting points. Finally, the outputs of ANNs are optimized to find optimal train coasting points. For this purpose, a fitness function with target travel time, energy consumption and weighting factors is proposed. Genetic algorithms were used for this search purposes. An interesting observation is that the use of ANNs increases the speed of optimization, and gives researchers the ability to test different optimization with differing genetic algorithm parameters. Proposed method is used for optimizing coasting points for minimum energy consumption for a given travel time of first 10 km section of Istanbul Aksaray-Airport metro line, where trains operate every 150 seconds. The section covers 9 passenger stations, which means 8 coasting points for each line. It has been demonstrated that an 16 input ANN can be trained with acceptable error margins for such a system .The optimization method finds the near optimum points for different target travel times and weight factors of the fitness function. It was found for the given line configurations that the energy saving potential with coasting schemes for the same amount of time increase is far less in the multi-train case, where trains regenerate and feed each other. In the 3 station case, 4.81% increase in travel time with optimum coasting points compared to the flat-out case creates 30.85% energy saving, whereas in the 5 station case, 4.65% increase in travel time with optimal coasting scheme creates only 18.25% energy saving. Using ANN and GA in combination speeds up optimization, and bigger line segments with more stations can also be optimized with this proposed method. A simple way of application of the proposed method is using a Driver Information System (DIS). Aksaray - Airport LRT system has been recently equipped with such a system. It is planned to find the optimum coasting points for different headways, and enter these values into the DIS as time and location dependent values. The DIS will give a warning to the driver for start of coast at these pre-defined locations. It should be noted, however, that some operational parameters are changing dynamically in real life. The train weights and the station waiting times, for instance, affect the energy consumption and the travel time. Authors are aware of staggering difficulties in finding optimum coasting points online for such operational variants. Nevertheless, the paper reveals the advantages of using ANN, and its possible application to optimization of coasting points for the case of multiple stations and multiple lines, and hopefully paves the road for future research in this direction. Keywords: Mass rail transit, energy efficiency, coasting, artificial neural networks, optimization.

Yapısal Olmayan Belirsizliğe Sahip Sistemler İçin P ve PI Kontrolör Tasarımı

Bu çalışmada, yapısal olmayan belirsizliğe sahip tek girişli-tek çıkışlı doğrusal zamanla değişmeyen sistemleri kapalı çevrimde dayanıklı kararlı kılan oransal (P) ve oransal-integral (PI) kontrolörlerin tam bir kümesini bulmak için yeni yöntemler önerilmiştir. Böyle bir sistemi dayanıklı kararlı kılan tüm oransal kontrolörleri hesaplamak için önerilen yöntem, temelde Nyquist teoreminin bir genelleştirilmesine dayanır. Yapısal olmayan belirsizliklere sahip bir sistemin Nyquist eğrisi, tek bir eğri olmayıp reel ekseni bölgeler biçiminde kesen bir eğri ailesi biçimindedir. Bu eğri ailesi, belirsizlik disklerinden oluşan bir bantın içinden geçer. Nominal sistemi kararlı yapan kazançlar ile belirsizlik bantının reel ekseni kesim yerlerinden bulunan belirsizlik kazanç kümelerinden yararlanarak sistemi kapalı çevrimde dayanıklı kararlı kılan kazançların hesabı hızlıca yapılabilir. İki reel polinomun köklerinin hesabını gerektiren bu yöntemin bir parametre üzerinde herhangi bir tarama yapmayı gerektirmemesinden dolayı literatürdeki yöntemler üzerine avantajı da vardır. PI kontrolör parametrelerinin kutupsal koordinatlarda yazılmasıyla bulunan yeni sistem için birim daire taratılarak ve bu yöntemden elde edilen sonuçlardan da yararlanılarak dayanıklı kararlı yapan PI kontrolörlerin tam bölgesi hesaplanabilir. Ayrıca yapısal olmayan belirsizlik içeren sistemi dayanıklı kararlı kılan PI kontrolörleri bulmak için parametre uzayı yaklaşımını kullanan geometrik tabanlı iki yeni yöntem de önerilmiştir. Bu yöntemler, belirsizlik disklerinin orijini içermesi ve içermemesine göre iki aşama içerirler. Birinci yöntem, dayanıklı kararlı yapan PI kontrolörlerin tam bölgesini hesaplayan yavaş bir yöntemken; diğeri ise dayanıklı kararlı yapan PI kontrolörlerin yaklaşık bölgesini veren hızlı bir yöntemdir

A new technique for calculation of maximum achievable gain and phase margins with proportional control

In this paper, a new method is suggested to compute maximum achievable gain and phase margins that can be achieved using a proportional controller. The method focuses on using the Nyquist stability criterion and then applying a previously developed theorem which allows determination of stabilizing gains. Methods for determining all stabilizing proportional controllers that satisfy gain and phase margin constraints are also given

Chebyshev Dizisi İle Ayrık Zamanlı Sistemlerin Kararlı Kılınması Problemi

Bu çalışmada ayrık zamanlı kontrol sistemlerini kararlı kılan kontrolörler kümesini belirleme problemine, Chebyshev dizisi polinomlarından yararlanarak basit bir çözüm yöntemi getirilmiştir. Bu yöntem, ayrık zamanlı sistemin birim daire boyunca hesaplanan karakteristik polinomunun Chebyshev gösterimi kullanılarak sıradan reel bir polinoma dönüştürülmesi ve sonra kararlı kılan kontrolörler kümesinin bulunması üzerine kuruludur. Bu kontrolörler, kapalı çevrim sistem kutuplarının birim daire içinde olmasını sağlar. Kapalı çevrim sisteminin kararlı olduğu kazanç aralığı, açık çevrim sisteminin Nyquist yer eğrisi incelenerek bulunabilir. Nyquist yer eğrisinin reel ekseni kestiği yerlerin hesaplanmasıyla bulunan kazanç aralıkları için kararsız kutupların sayısını belirlemek mümkündür. Buradaki kurgu, kararlı kılan kontrolörlerin tam bir kümesini lineer eşitsizliklerin çözümü arasından bulmaktır

Yapısal Olmayan Belirsizlik İçeren Sistemlerde Dayanıklı Kararlılığı Sağlayan P ve PI Tipi Kontrolörlerin Tasarlanması İçin Bir Yöntem

Bu çalışmada, yapısal olmayan belirsizliğe sahip tek girişli-tek çıkışlı doğrusal zamanla değişmeyen sistemleri kapalı çevrimde dayanıklı kararlı kılan oransal (P) ve oransal-integral (PI) kontrolörlerin tam bir kümesini bulmak için yeni bir yöntem önerilmiştir. Böyle bir sistemi dayanıklı kararlı kılan tüm oransal kontrolörleri hesaplamak için önerilen yöntem, temelde Nyquist teoreminin bir genelleştirilmesine dayanır. Yapısal olmayan belirsizliklere sahip bir sistemin Nyquist eğrisi, tek bir eğri olmayıp reel ekseni bölgeler biçiminde kesen bir eğri ailesi biçimindedir. Bu eğri ailesi, belirsizlik disklerinden oluşan bir bantın içinden geçer. Nominal sistemi kararlı yapan kazançlar ile belirsizlik bantının reel ekseni kesim yerlerinden bulunan belirsizlik kazanç kümelerinden yararlanarak sistemi kapalı çevrimde dayanıklı kararlı kılan kazançların hesabı hızlıca yapılabilir. Sadece iki reel polinomun köklerinin hesabını gerektiren bu yöntemin bir parametre üzerinde herhangi bir tarama yapmayı gerektirmemesinden dolayı literatürdeki yöntemler üzerine önemli bir avantajı vardır. PI kontrolör parametrelerinin kutupsal koordinatlarda yazılmasıyla bulunan yeni sistem için birim daire taratılarak ve bu yöntemden elde edilen sonuçlardan da yararlanılarak dayanıklı kararlı yapan PI kontrolörlerin tam bölgesi hesaplanabilir