Notions of Relative Ubiquity for Invariant Sets of Relational Structures

Given a finite lexicon L of relational symbols and equality, one may view the collection of all L-structures on the set of natural numbers w as a space in several different ways. We consider it as: (i) the space of outcomes of certain infinite two-person games; (ii) a compact metric space; and (iii) a probability measure space. For each of these viewpoints, we can give a notion of relative ubiquity, or largeness, for invariant sets of structures on w. For example, in every sense of relative ubiquity considered here, the set of dense linear orderings on w is ubiquitous in the set of linear orderings on w

Chainability and Hemmingsen\u27s Theorem

On the surface, the definitions of chainability and Lebesgue covering dimension ⩽1 are quite similar as covering properties. Using the ultracoproduct construction for compact Hausdorff spaces, we explore the assertion that the similarity is only skin deep. In the case of dimension, there is a theorem of E. Hemmingsen that gives us a first-order lattice-theoretic characterization. We show that no such characterization is possible for chainability, by proving that if κis any infinite cardinal an

CHAINABILITY AND HEMMINGSEN’S THEOREM

Abstract. On the surface, the definitions of chainability and Lebesgue covering dimension ≤ 1 are quite similar as covering properties. Using the ultracoproduct construction for compact Hausdorff spaces, we explore the assertion that the similarity is only skin deep. In the case of dimension, there is a theorem of E. Hemmingsen that gives us a first-order lattice-theoretic characterization. We show that no such characterization is possible for chainability, by proving that if κ is any infinite cardinal and A is a lattice base for a nondegenerate continuum, then A is elementarily equivalent to a lattice base for a continuum Y, of weight κ, such that Y has a 3-set open cover admitting no chain open refinement. 1. introduction Throughout this paper, all topological spaces are assumed to be Hausdorff; a compactum is a compact Hausdorff space, and a continuum is a connected compactum. A finitely-indexed open cover {Uj}j<n of a compactum X is called a chain open cover of X if Ui ∩ Uj � = ∅ exactly when |i − j | ≤ 1. A compactum

Un cours d'algèbre constructive

Contient une postface d'Henri Lombardi : "L'algèbre dans le style de Bishop : quelques points essentiels du livre A course in constructive algebra". Contient une liste bibliographique des travaux qui ont cité la version anglaise originale du livre depuis sa parution.International audienceCe livre est la traduction française du classique A Course in Constructive Algebra (1988). Il présente les notions de base de l’algèbre moderne d’un point de vue constructif. Dans l’univers mathématique constructif, le mathématicien idéal peut seulement réaliser des constructions finies par nature. Comme le dit Errett Bishop dans son Constructive Manifesto (1967), « la seule manière de démontrer qu’un objet existe est de donner une procédure finie pour le trouver ». En conséquence, les théorèmes d’existence dans ce livre ont tous un contenu algorithmique implicite qui permet de construire l’objet voulu lorsque les hypothèses sont satisfaites. L’algèbre constructive peut aussi être vue comme une généralisation de l’algèbre classique en ce qu’elle ne suppose pas la loi du tiers exclu. Tout théorème dans ce livre peut donc également être compris comme se référant à l’univers conventionnel classique du discours mathématique, et les démonstrations du livre sont correctes dans cet univers. L’agréable surprise est que la démonstration constructive, normalement plus précise, est dans bien des cas plus simple