On the bridge between combinatorial optimization and nonlinear optimization: a family of semidefinite bounds for 0-1 quadratic problems leading to quasi-Newton methods

International audienceThis article presents a family of semidefinite programming bounds, obtained by Lagrangian duality, for 0-1 quadratic optimization problems with linear or quadratic constraints. These bounds have useful computational properties: they have a good ratio of tightness to computing time, they can be optimized by a quasi-Newton method, and their final tightness level is controlled by a real parameter. These properties are illustrated on three standard combinatorial optimization problems: unconstrained 0-1 quadratic optimization, heaviest k-subgraph, and graph bisection

Computational results of a semidefinite branch-and-bound algorithm for k-cluster

International audienceThis computational paper presents a method to solve k-cluster problems exactly by intersecting semidefinite and polyhedral relaxations. Our algorithm uses a generic branch-and-bound method featuring an improved semidefinite bounding procedure. Extensive numerical experiments show that this algorithm outperforms the best known methods both in time and ability to solve large instances. For the first time, numerical results are reported for k-cluster problems on unstructured graphs with 160 vertices

Multicut and integral multiflow : a survey.

We present a survey about the maximum integral multiflow and minimum multicut problems and their subproblems, such as the multiterminal cut and the unsplittable flow problems. We consider neither continuous multiflow nor minimum cost multiflow. Most of the results are very recent and some are new. We recall the dual relationship between both problems, give complexity results and algorithms, firstly in unrestricted graphs and secondly in several special graphs: trees, bipartite or planar graphs. A table summarizes the most important results

A greedy algorithm for multicut and integral multiflow in rooted trees

We present an O(min(Kn,n2)) algorithm to solve the maximum integral multiflow and minimum multicut problems in rooted trees, where K is the number of commodities and n is the number of vertices. These problems are NP-hard in undirected trees but polynomial in directed trees. In the algorithm we propose, we first use a greedy procedure to build the multiflow then we use duality properties to obtain the multicut and prove the optimality

Solving k-cluster problems to optimality with semidefinite programming

Special Issue on Mixed Integer Nonlinear Programming (MINLP)International audienceThis paper deals with the computation of exact solutions of a classical NP-hard problem in combinatorial optimization, the k-cluster problem. This problem consists in finding a heaviest subgraph with k nodes in an edge weighted graph. We present a branch-and-bound algorithm that applies a novel bounding procedure, based on recent semidefinite programming techniques. We use new semidefinite bounds that are less tight than the standard semidefinite bounds, but cheaper to get. The experiments show that this approach is competitive with the best existing ones

L'approche par Programmation Semidéfinie en Optimisation Combinatoire

International audienceLa programmation semidéfinie est connue pour les avancées qu'ellea rendues possibles en approximation au pire cas de problèmesdifficiles de l'optimisation combinatoire. Elle est égalementréputée comme une approche coûteuse en temps de calcul, et doncdifficilement exploitable dans la pratique. Qu'en est-ilréellement ? Cet article replace dans leur contexte un ensemble deréférences bibliographiques permettant de mieux appréhender cedomaine de recherche encore très jeune et actif

Semidefinite Approaches for Quadratic Integer Programming

We survey some of the recently developed Semidefinite Programming (SDP) approaches and results for quadratic integer problems. We mainly focus on problems where variables can take one of p values (p=2), and especially on bivalent problems. First, standard SDP relaxations are well known to be strongly linked to the Lagrangian approach. This general framework helps to easily compare such relaxations. Second, new ways of using SDP have been proposed to obtain algorithmsthat are practical. We briefly present several examples and discuss the advantages and drawbacks of these approaches

Programmation Semidéfinie en Optimisation Combinatoire

Tutoriel invité de deux heures. Site JFROPlusieurs résultats spectaculaires dans le domaine de l’approximation polynomiale ont popularisé l’approche par programmation semidéfinie (PSD) dans la communauté de l’optimisation combinatoire. Avec le développement d’outils de résolution numérique de plus en plus efficaces et l’établissement d’un cadre théorique et de modèles spécifiques à l’optimisation combinatoire, la PSD suscite un intérêt croissant tant pour la résolution approchée qu’exacte de problèmes difficiles. Dans cet exposé, nous introduirons les notions essentielles pour mettre en oeuvre efficacement la PSD : éléments de base, relaxations, liens avec les autres approches, spectre d’application et limites. Plusieurs problèmes traités par PSD et résultats récents illustreront les démarches présentées

Résolution de MAX 2SAT par programmation semidéfinie

noteLa programmation semidéfinie (SDP) a démontré son efficacité pour obtenir des bornes théoriques d'excellente qualité pour le problème MAX 2SAT.En particulier, Goemans et Williamson [1] puis Feige et Goemans [2] ont proposé des algorithmes approchés de ratios de performance au pire cas égaux respectivement à 0,878 et 0,931 pour ce problème. Bien que la résolution d'un programme semidéfini reste coûteuse en temps, nous proposons un algorithme de séparation/évaluation (BranchBound) très performant pour la résolution exacte de MAX 2SAT utilisant la SDP pour l'évaluation. Nous montrons comment utiliser les différentes techniques de primalisation proposées par Feige, Goemans et Williamson afin d'obtenir très tôt la solution optimale (souvent à laracine de l'arbre de recherche) et ainsi d'évaluer un nombre de sommetstrès faible.La résolution des SDPs est effectuée à l'aide de la bibliothèque CSDP [3] mise au point par Brian Borchers qui utilise l'algorithme primal-dual de Helmberg et al. [4]. Cette approche permet d'élaguer des solutions sans avoir à résoudre complètement les SDP puisque la valeur du dual fournit à chaque itération une borne du problème.En fait, la qualité de la relaxation est telle qu'en moyenne 5 ou 6 itérations suffisent alors que la résolution complète du SDP en requiertau moins 20.Les résultats de notre algorithme sont comparés à ceux obtenus par Joy et al.[5] qui proposent un BranchCut utilisant GSAT comme heuristique pour le primal. Comme ces auteurs le remarquent dans [5]l'approche par SDP n'est pas compétitivepour des instances comportant peu de clauses. En revanche, pour des instances de moyenne ou forte densité, notre Branch-and-Bound se révèle être très performant. Par exemple, nous résolvons les instances de 50 variables et 2500 clauses en moinsde 30 secondes alors qu'une demi-heure est nécessaire au BranchCut de Joy et al.Bibliographie[1] M. X. Goemans et D. P. Williamson, Improved Approximation Algorithms for Maximum Cut and Satisfiability Problems Using Semidefinite Programming, J. ACM, 42, pp. 1115-1145, 1995.[2] U. Feige and M. X. Goemans. "Approximating the value of two prover proof systems, with applications to MAX 2SAT and MAX DICUT", Proceedings of the Third Israel Symposium on Theory of Computing and Systems,Tel Aviv, Israel, 182--189, 1995.[3] Brian Borchers, CSDP, a C library for semidefinite programming.Technical report, Mathematics Department, New Mexico Tech, Socorro, NM87801, March 1997.[4] C. Helmberg, F. Rendl, B. Vanderbei and H. Wolkowicz. "An Interior-Point Method for Semidefinite Programming", SIAM J. Optim.,Vol. 6, No.2,pp. 342-361, May 1996.[5] S. Joy, J.E. Mitchell, B. Borchers, Solving MAX-SAT and Weighted MAX-SAT Problems Using Branch-and-Cut, Februray 1998. Rapport de recherche disponible sur http://www.rpi.edu/~mitchj/papers.html