Constantes d'Erdös-Turán

The Erdös-Turán inequality measures the distance from uniform distribution of any given sequence on the torus as a function of an arbitrary parameter and two constants, $c_1$ and $c_2$. We show that $c_1\geq 1$ and $c_2\geq 2/\pi$, and we provide a set of admissible pairs $(c_1;c_2)$ that are numerically close to the hypothetical optimum $(1;2/\pi)$, including $(1;0.653)$ and $(1.1435;2/\pi)$

Constantes d'Erdös-Turán

The Erdös-Turán inequality measures the distance from uniform distribution of any given sequence on the torus as a function of an arbitrary parameter and two constants, $c_1$ and $c_2$. We show that $c_1\geq 1$ and $c_2\geq 2/\pi$, and we provide a set of admissible pairs $(c_1;c_2)$ that are numerically close to the hypothetical optimum $(1;2/\pi)$, including $(1;0.653)$ and $(1.1435;2/\pi)$

Reversible primes

For an $n$-bit positive integer $a$ written in binary as $$a = \sum_{j=0}^{n-1} \varepsilon_{j}(a) \,2^j$$ where, $\varepsilon_j(a) \in \{0,1\}$, $j\in\{0, \ldots, n-1\}$, $\varepsilon_{n-1}(a)=1$, let us define $$\overleftarrow{a} = \sum_{j=0}^{n-1} \varepsilon_j(a)\,2^{n-1-j},$$ the digital reversal of $a$. Also let $\mathcal{B}_n = \{2^{n-1}\leq a<2^n:~a \text{ odd}\}.$ With a sieve argument, we obtain an upper bound of the expected order of magnitude for the number of $p \in \mathcal{B}_n$ such that $p$ and $\overleftarrow{p}$ are prime. We also prove that for sufficiently large $n$, $$\left|\{a \in \mathcal{B}_n:~ \max \{\Omega (a), \Omega (\overleftarrow{a})\}\le 8 \}\right| \ge c\, \frac{2^n}{n^2},$$ where $\Omega(n)$ denotes the number of prime factors counted with multiplicity of $n$ and $c > 0$ is an absolute constant. Finally, we provide an asymptotic formula for the number of $n$-bit integers $a$ such that $a$ and $\overleftarrow{a}$ are both squarefree. Our method leads us to provide various estimates for the exponential sum $$ \sum_{a \in \mathcal{B}_n} \exp\left(2\pi i (\alpha a + \vartheta \overleftarrow{a})\right) \quad(\alpha,\vartheta \in\mathbb{R}). $

Banque de graines du sol et déterminants de la germination du tali, Erythrophleum suaveolens (Guill. & Perr.) Brenan

peer reviewedCette étude évalue l’abondance des graines d’Erythrophleum suaveolens dans la banque du sol des forêts denses humides d’Afrique centrale. Les travaux ont été menés au Nord-Congo dans deux types forestiers : la forêt à Celtis sur des sols argilo-sableux à sablo-argileux et la forêt à Manilkara sur des sols sableux. Les tiges d’E. suaveolens (dhp ≥ 10 cm) ont été inventoriées dans deux parcelles de 400 ha, et les structures diamétriques de leurs populations ont été comparées. En outre, 80 fosses (2 x 40 fosses par type de forêt) ont été creusées aux pieds de 20 arbres (10 par forêt), sur trois couches contiguës de 10 cm chacune, soit à une profondeur totale de 30 cm, et l’abondance des graines dans la banque du sol a été évaluée. La dormance des graines récoltées a été testée par des essais de germination après traitement au H2SO4 et cinq graines prélevées jusqu’à une profondeur de 20 cm dans la forêt à Celtis ont été utilisées pour estimer leur âge par Spectroscopie de Masse par Accélérateur (SMA). La comparaison des structures diamétriques indique une plus grande proportion de tiges de faible diamètre dans la forêt à Celtis. Alors que les densités de tiges (dhp ≥ 10 cm) sont proches, avec 0,85 et 1,05 tige/ha respectivement, dans la forêt à Celtis et la forêt à Manilkara, les densités de graines sont significativement plus élevées dans la forêt à Celtis (8,55 graines/m2) que dans la forêt à Manilkara (0,15 graine/m2). Le pourcentage maximum de germination obtenu était de 19,1 % pour des graines n’ayant subi aucun traitement. Les lots traités à l’acide ont présenté de moindres taux de germination. Ces graines pourraient se conserver une dizaine d’années dans la banque du sol. Les facteurs pouvant influencer les variations de densité des graines sont discutés et des recommandations sylvicoles sont formulées

Prime numbers along Rudin–Shapiro sequences

International audienceFor a large class of digital functions f, we estimate the sums Sigma(n <= x) Lambda(n)f (n) (and Sigma(n <= x) mu(n)f (n)), where Lambda denotes the von Mangoldt function (and mu, the Mobius function). We deduce from these estimates a Prime Number Theorem (and a Mobius randomness principle) for sequences of integers with digit properties including the Rudin-Shapiro sequence and some of its generalizations

Multiples of squares in short intervals

We use the theory of exponent pairs and Vaaler polynomials to show that any interval of the form [x,x+x¹/²] contains an integral multiple m²r ∈ [x,x+x¹/²] of a perfect square m² with an integer m > x⁰.²⁸¹²⁸⁶.7 page(s