Asymptotic stability and cut-off phenomenon for the underdamped Langevin dynamics

In this article, we provide detailed analysis of the long-time behavior of the underdamped Langevin dynamics. We first provide a necessary condition guaranteeing that the zero-noise dynamical system converges to its unique attractor. We also observed that this condition is sharp for a large class of linear models. We then prove the so-called cut-off phenomenon in the small-noise regime under this condition. This result provides the precise asymptotics of the mixing time of the process and of the distance between the distribution of the process and its stationary measure. The main difficulty of this work relies on the degeneracy of its infinitesimal generator which is not elliptic, thus requiring a new set of methods

Quasi-stationary distribution for the Langevin process in cylindrical domains, part II: overdamped limit

Consider the Langevin process, described by a vector (positions and momenta) in Rd×Rd. Let O be a C2 open bounded and connected set of Rd. Recent works showed the existence of a unique quasi-stationary distribution (QSD) of the Langevin process on the domain D:=O×Rd. In this article, we study the overdamped limit of this QSD, i.e. when the friction coefficient goes to infinity. In particular, we show that the marginal law in position of the overdamped limit is the QSD of the overdamped Langevin process on the domain O

Processus cinétiques dans les domaines à bord et quasi-stationnarité

This thesis is divided into three parts, each one focuses on a different problem related to the study of the Langevin process, described at each time by its position and velocity vectors. We consider here an arbitrary dimension and for the purpose of this work, different tools, probabilistic tools as well as more analytic tools, are combined.The first part focuses on the extension of certain results statisfied in the parabolic theory on smooth bounded domains to the degenerate case of the kinetic Fokker-Planck operator on a domain D, only bounded with respect to its position coordinates. We obtain in this part the existence of a unique classical solution to the kinetic Fokker-Planck equation on a domain D with initial conditions and homogeneous Dirichlet boundary conditions. We also obtain a Harnack inequality as well as a Maximum principle associated to the kinetic Fokker-Planck operator. Finally, we obtain a compactness result on the set of bounded continuous functions of the semigroup of the Langevin process absorbed at the boundary of D.The results prove to be useful in the second part to prove the existence of a unique quasi-stationary distribution (QSD) for the Langevin process on the domain D. We also obtain a weak convergence of the law of the Langevin process conditioned to stay in D during [0,t], when t goes to infinity, towards its QSD. We also consider the obtained QSD and explicit its weak limit when the friction pramater in the equation satisfied by the Langevin process goes to infinity.Finally, we consider in the last part a Markov chain obtained from the successive entry and exit points of a domain for the Langevin process. We then study the stationarity of this Markov chainCette thèse est décomposée en trois parties chacune portant sur des interrogations reliées à l’étude du processus de Langevin, décrit en tout temps comme un vecteur (position, vitesse). Nous nous plaçons ici en dimension quelconque et l’étude menée se fera en combinant outils probabilistes et outils plus analytiques. La première partie se concentre sur l’extension de certains résultats de la théorie parabolique sur des domaines bornés à la théorie dégénérée associée à l’opérateur de Fokker-Planck cinétique sur une domaine D borné suivant certaines coordonnées de position uniquement. Nous obtenons dans cette partie l’existence et l’unicité de solutions classiques à l’équation de Fokker-Planck cinétique sur le domaine D. Nous obtenons également une inégalité d’Harnack ainsi qu’un principe du maximum associés à l’opérateur de Fokker-Planck cinétique. Finalement, nous obtenons un résultat de compacité dans l’ensemble des fonctions continues bornés dans du semi-groupe du processus de Langevin absorbé au bord de D . .Ces résultats s’avéreront utiles dans la deuxième partie pour prouver notamment l’existence d’une unique distribution quasi-stationnaire pour le processus de Langevin dans le domaine D. Nous aurons alors également une convergence de la loi du processus conditionné à rester dans D durant [0,t], lorsque t tend vers l’infini., vers la DQS. Nous étudierons également la DQS obtenue et expliciterons son comportement limite lorsque le paramètre de friction dans l’équation de Langevin tend vers l’infini. Finalement, nous considérerons dans la dernière partie une chaîne de Markov construite à partir des entrées/sorties successives du processus de Langevin dans par un domaine. Nous étudierons alors la stationnarité de la chaîne de Markov obtenu

Kinetic processes on domains with boundaries and quasi-stationnarity

Cette thèse est décomposée en trois parties chacune portant sur des interrogations reliées à l’étude du processus de Langevin, décrit en tout temps comme un vecteur (position, vitesse). Nous nous plaçons ici en dimension quelconque et l’étude menée se fera en combinant outils probabilistes et outils plus analytiques. La première partie se concentre sur l’extension de certains résultats de la théorie parabolique sur des domaines bornés à la théorie dégénérée associée à l’opérateur de Fokker-Planck cinétique sur une domaine D borné suivant certaines coordonnées de position uniquement. Nous obtenons dans cette partie l’existence et l’unicité de solutions classiques à l’équation de Fokker-Planck cinétique sur le domaine D. Nous obtenons également une inégalité d’Harnack ainsi qu’un principe du maximum associés à l’opérateur de Fokker-Planck cinétique. Finalement, nous obtenons un résultat de compacité dans l’ensemble des fonctions continues bornés dans du semi-groupe du processus de Langevin absorbé au bord de D . .Ces résultats s’avéreront utiles dans la deuxième partie pour prouver notamment l’existence d’une unique distribution quasi-stationnaire pour le processus de Langevin dans le domaine D. Nous aurons alors également une convergence de la loi du processus conditionné à rester dans D durant [0,t], lorsque t tend vers l’infini., vers la DQS. Nous étudierons également la DQS obtenue et expliciterons son comportement limite lorsque le paramètre de friction dans l’équation de Langevin tend vers l’infini. Finalement, nous considérerons dans la dernière partie une chaîne de Markov construite à partir des entrées/sorties successives du processus de Langevin dans par un domaine. Nous étudierons alors la stationnarité de la chaîne de Markov obtenueThis thesis is divided into three parts, each one focuses on a different problem related to the study of the Langevin process, described at each time by its position and velocity vectors. We consider here an arbitrary dimension and for the purpose of this work, different tools, probabilistic tools as well as more analytic tools, are combined.The first part focuses on the extension of certain results statisfied in the parabolic theory on smooth bounded domains to the degenerate case of the kinetic Fokker-Planck operator on a domain D, only bounded with respect to its position coordinates. We obtain in this part the existence of a unique classical solution to the kinetic Fokker-Planck equation on a domain D with initial conditions and homogeneous Dirichlet boundary conditions. We also obtain a Harnack inequality as well as a Maximum principle associated to the kinetic Fokker-Planck operator. Finally, we obtain a compactness result on the set of bounded continuous functions of the semigroup of the Langevin process absorbed at the boundary of D.The results prove to be useful in the second part to prove the existence of a unique quasi-stationary distribution (QSD) for the Langevin process on the domain D. We also obtain a weak convergence of the law of the Langevin process conditioned to stay in D during [0,t], when t goes to infinity, towards its QSD. We also consider the obtained QSD and explicit its weak limit when the friction pramater in the equation satisfied by the Langevin process goes to infinity.Finally, we consider in the last part a Markov chain obtained from the successive entry and exit points of a domain for the Langevin process. We then study the stationarity of this Markov chai

Processus cinétiques dans les domaines à bord et quasi-stationnarité

This thesis is divided into three parts, each one focuses on a different problem related to the study of the Langevin process, described at each time by its position and velocity vectors. We consider here an arbitrary dimension and for the purpose of this work, different tools, probabilistic tools as well as more analytic tools, are combined.The first part focuses on the extension of certain results statisfied in the parabolic theory on smooth bounded domains to the degenerate case of the kinetic Fokker-Planck operator on a domain D, only bounded with respect to its position coordinates. We obtain in this part the existence of a unique classical solution to the kinetic Fokker-Planck equation on a domain D with initial conditions and homogeneous Dirichlet boundary conditions. We also obtain a Harnack inequality as well as a Maximum principle associated to the kinetic Fokker-Planck operator. Finally, we obtain a compactness result on the set of bounded continuous functions of the semigroup of the Langevin process absorbed at the boundary of D.The results prove to be useful in the second part to prove the existence of a unique quasi-stationary distribution (QSD) for the Langevin process on the domain D. We also obtain a weak convergence of the law of the Langevin process conditioned to stay in D during [0,t], when t goes to infinity, towards its QSD. We also consider the obtained QSD and explicit its weak limit when the friction pramater in the equation satisfied by the Langevin process goes to infinity.Finally, we consider in the last part a Markov chain obtained from the successive entry and exit points of a domain for the Langevin process. We then study the stationarity of this Markov chainCette thèse est décomposée en trois parties chacune portant sur des interrogations reliées à l’étude du processus de Langevin, décrit en tout temps comme un vecteur (position, vitesse). Nous nous plaçons ici en dimension quelconque et l’étude menée se fera en combinant outils probabilistes et outils plus analytiques. La première partie se concentre sur l’extension de certains résultats de la théorie parabolique sur des domaines bornés à la théorie dégénérée associée à l’opérateur de Fokker-Planck cinétique sur une domaine D borné suivant certaines coordonnées de position uniquement. Nous obtenons dans cette partie l’existence et l’unicité de solutions classiques à l’équation de Fokker-Planck cinétique sur le domaine D. Nous obtenons également une inégalité d’Harnack ainsi qu’un principe du maximum associés à l’opérateur de Fokker-Planck cinétique. Finalement, nous obtenons un résultat de compacité dans l’ensemble des fonctions continues bornés dans du semi-groupe du processus de Langevin absorbé au bord de D . .Ces résultats s’avéreront utiles dans la deuxième partie pour prouver notamment l’existence d’une unique distribution quasi-stationnaire pour le processus de Langevin dans le domaine D. Nous aurons alors également une convergence de la loi du processus conditionné à rester dans D durant [0,t], lorsque t tend vers l’infini., vers la DQS. Nous étudierons également la DQS obtenue et expliciterons son comportement limite lorsque le paramètre de friction dans l’équation de Langevin tend vers l’infini. Finalement, nous considérerons dans la dernière partie une chaîne de Markov construite à partir des entrées/sorties successives du processus de Langevin dans par un domaine. Nous étudierons alors la stationnarité de la chaîne de Markov obtenu

Overdamped limit at stationarity for non-equilibrium Langevin diffusions

International audienceIn this note, we establish that the stationary distribution of a possibly non-equilibrium Langevin diffusion converges, as the damping parameter goes to infinity (or equivalently in the Smoluchowski-Kramers vanishing mass limit), toward a tensor product of the stationary distribution of the corresponding overdamped process and of a Gaussian distribution

A probabilistic study of the kinetic Fokker-Planck equation in cylindrical domains

We consider classical solutions of the kinetic Fokker-Planck equation on a bounded domain $\mathcal O \subset \mathbb{R}^d$ in position, and we obtain a probabilistic representation of the solutions using the Langevin diffusion process with absorbing boundary conditions on the boundary of the phase-space cylindrical domain $D = \mathcal O \times \mathbb{R}^d$. Furthermore, a Harnack inequality, as well as a maximum principle, is provided on $D$ for solutions to this kinetic Fokker-Planck equation, together with the existence of a smooth transition density for the associated absorbed Langevin dynamics. This transition density is shown to satisfy an explicit Gaussian upper-bound. Finally, the continuity and positivity of this transition density at the boundary of $D$ is also studied. All these results are in particular crucial to study the behavior of the Langevin diffusion process when it is trapped in a metastable state defined in terms of positions