Triangular ratio metric under quasiconformal mappings in sector domains

Hyperbolic metric and different hyperbolic type metrics are studied in open sector domains of the complex plane. Several sharp inequalities are proven for them. Our main result describes the behavior of the triangular ratio metric under quasiconformal maps from one sector onto another one.Comment: 14 pages, 1 figur

Intrinsic metrics under conformal and quasiregular mappings

The distortion of six different intrinsic metrics and quasi-metrics under conformal and quasiregular mappings is studied in a few simple domains $G\subsetneq\mathbb{R}^n$. The already known inequalities between the hyperbolic metric and these intrinsic metrics for points $x,y$ in the unit ball $\mathbb{B}^n$ are improved by limiting the absolute values of the points $x,y$ and the new results are then used to study the conformal distortion of the intrinsic metrics. For the triangular ratio metric between two points $x,y\in\mathbb{B}^n$, the conformal distortion is bounded in terms of the hyperbolic midpoint and the hyperbolic distance of $x,y$. Furthermore, quasiregular and quasiconformal mappings are studied, and new sharp versions of the Schwarz lemma are introduced.Comment: 25 pages, 1 figur

Intrinsic quasi-metrics

The point pair function $p_G$ defined in a domain $G\subsetneq\mathbb{R}^n$ is shown to be a quasi-metric and its other properties are studied. For a convex domain $G\subsetneq\mathbb{R}^n$, a new intrinsic quasi-metric called the function $w_G$ is introduced. Several sharp results are established for these two quasi-metrics, and their connection to the triangular ratio metric is studied.Comment: 18 pages, 1 figur

Geometry of Intrinsic Metrics

The study of intrinsic metrics is an interesting area of research in the geometric function theory, which is a subfield of mathematical analysis. The topics of research include quasiregular mappings, conformal capacity and boundary geometry of domains. I study here the inequalities between different hyperbolic type metrics, focusing especially on the properties of the triangular ratio metric. This work consists of six original articles publicly available on arXiv.org. The first article introduces several sharp inequalities between the triangular ratio metric, the hyperbolic metric and other hyperbolic type metrics in an open sector of the complex plane. A new result describing the distortion of the triangular ratio metric under quasiconformal mappings is also given in this article. In the second and the third articles, the so-called midpoint rotation is used to create inequalities for the triangular ratio metric. Namely, the second article defines the triangular ratio metric and the Möbius metric in an annular ring domain, explains how these metrics can be efficiently computed in this domain and also gives a new Möbius-invariant lower bound for the conformal capacity. In the third article, the value of the triangular ratio metric is estimated in the unit disk by using both the Euclidean and the hyperbolic midpoint rotations. The fourth article concerns two intrinsic quasi-metrics, out of which one is already known and the other is first introduced in this paper, and shows how they offer upper and lower bounds for the triangular ratio metric. In the fifth article, the results of the third and the fourth articles are used to obtain new information about the distortion of the intrinsic metrics under conformal and quasiregular mappings. The sixth article deals with two domain functionals defined with the hyperbolic metric, uses them to study the uniform perfectness and gives a new lower bound for the conformal capacity. These six articles offer the reader an advanced understanding of intrinsic metrics, the inequalities between them and their behaviour under different types of mappings. The results found here can be applied, for instance, to study the conformal capacity further or find new information about the intrinsic geometry of numerous domains. Studying the conjectures introduced in the articles can also provide ground for future research. TIIVISTELMÄ Intrinsisten metriikoiden tutkimus on mielenkiintoinen osa geometrista funktioteoriaa, joka on puolestaan matemaattisen analyysin osa-alue. Tutkimusaiheisiin kuuluvat kvasisäännölliset kuvaukset, konforminen kapasiteetti ja metriikoiden määrittelyjoukon reunan geometria. Tutkin tässä työssä useiden hyperbolistyyppisten metriikoiden välisiä epäyhtälöitä keskittyen eritoten kolmisuhdemetriikan eri ominaisuuksiin. Väitöskirjani koostuu kuudesta alkuperäisartikkelista, jotka ovat julkisesti saatavilla arXiv.org-nettisivustolla. Ensimmäinen artikkeli esittelee useita tarkkoja epäyhtälöitä kolmisuhdemetriikalle, hyperboliselle metriikalle ja muille hyperbolistyyppisille metriikoille kompleksitason avoimessa sektorissa. Artikkelissa annetaan myös uusi tulos kolmisuhdemetriikan käyttäytymisestä kvasikonformikuvauksissa. Toinen ja kolmas artikkeli hyödyntävät kolmisuhdemetriikan tutkimuksessa uutta menetelmää, jossa tarkasteltavat pisteet kierretään niiden keskipisteen suhteen. Toinen artikkeli tutkii kolmisuhdemetriikkaa ja Möbius-metriikkaa renkaan muotoisessa joukossa, antaa tapoja näiden metriikoiden arvojen laskemiseksi ja esittelee uuden Möbius-invariantin alarajan konformiselle kapasiteetille. Kolmas artikkeli sen sijaan hyödyntää sekä euklidista että hyperbolista kiertoa, ja antaa uudet ylä- ja alarajat yksikkökiekossa määritellylle kolmisuhdemetriikalle. Neljäs artikkeli käsittelee kahta kolmisuhdemetriikan tutkimuksen kannalta hyödyllistä intrinsistä kvasimetriikkaa, joista toinen on jo tunnettu ja toinen esitellään artikkelissa ensimmäistä kertaa. Viidennessä artikkelissa yhdistetään kolmannen ja neljännen artikkelin tuloksia, ja luodaan niiden pohjalta epäyhtälöitä intrinsisten metriikoiden arvoille konformisissa ja kvasisäännöllisissä kuvauksissa. Kuudes artikkeli esittelee kaksi hyperbolisen metriikan määrittelyjoukosta riippuvaa suuretta, tutkii niiden avulla uniformista perfektiyttä ja antaa uuden alarajan kapasiteetille. Nämä kuusi artikkelia antavat lukijalle kokonaisvaltaisen kuvan intrinsistä metriikoista, niiden välisistä epäyhtälöistä ja niiden käyttäytymisestä erityyppisissä kuvauksissa. Artikkelien tuloksia voidaan käyttää esimerkiksi konformisen kapasiteetin arvioinnissa ja erilaisten joukkojen intrinsisen geometrian tutkimisessa. Tutkimuksessani esitellään myös muutama uusi konjektuuri, jotka antavat suuntaa ja ideoita jatkotutkimukselle

Correlation, mutual information and neural networks

This Master's thesis focuses on different measures of dependence. To study correlation, we introduce not only Pearson's, Spearman's and Kendall's correlation coefficients but also the maximal correlation coefficient. We consider the concept of mutual information derived from Shannon's information theory and the related information coefficient of correlation. Furthermore, we research a newer non-parametric quantity, the maximal information coefficient, about whose usability there have been conflicting views. We first introduce the known properties of these measures from the literature and then check how well they work. For instance, we study how the exact type of dependence, the amount of statistical noise and the number of observations affect the performance of these coefficients. We are interested in finding such a quantity that effectively recognizes the dependence between two variables, regardless of if this relationship is linear, non-linear but monotonic, non-monotonic but functional, or non-functional. To compute the values of these measures of dependence, we mostly use the programming language R and its newly developed packages with functions designed for this exact purpose. We also introduce a recent neural estimation algorithm MINE implemented within the PyTorch library of Python. We consider here both simulated data with several distinct types of dependence and real data from a few specific topics, such as the weather, youth behavior and air pollution.Tämä Pro gradu -tutkielma käsittelee erilaisia riippuvuuden mittareita. Korrelaation tutkimista varten työssä esitellään niin Pearsonin, Spearmanin ja Kendallin korrelaatiokertoimet kuin maksimaalinen korrelaatio. Tutustumme Shannonin informaatioteoriasta johdettuun keskinäisinformaation käsitteeseen ja siihen liittyvään informaatiokertoimeen. Lisäksi tutkimme uutta, ei-parametrista maksimaalista informaatiokerrointa (MIC), jonka hyödyistä on ollut ristiriitaisia näkemyksiä tilastotieteen viimeaikaisessa tutkimuksessa. Esittelemme ensin eri kertoimien tunnettuja ominaisuuksia kirjallisuuden pohjalta ja sen jälkeen testaamme niiden toimintaa. Tutkimme esimerkiksi, kuinka tilastollisen riippuvuuden malli, kohinan määrä ja havaintojen lukumäärä vaikuttavat näiden mittareiden käyttäytymiseen. Erityisesti tässä työssä pyritään löytämään sellainen kerroin, joka tunnistaa tehokkaasti kahden muuttujan välisen riippuvuuden siitä huolimatta, onko kyseessä lineaarinen, monotoninen tai funktionaalinen suhde vai jokin monimutkaisempi yhteys. Riippuvuuden mittarien numeerisia arvoja lasketaan pääosin R-ohjelmointikielellä ja sen vastikään julkaistuilla paketeilla, joiden funktiot on kehitetty juuri näiden kertoimien arvioimiseen. Esittelemme myös tuoreen MINE-nimisen neuroverkkoalgoritmin, joka voidaan toteuttaa Pythonin PyTorch-kirjaston avulla. Tutkimme työssä sekä erityyppisistä riippuvuuksista simuloitua dataa että todellisia aineistoja muutamista aiheista kuten säästä, nuorison käyttäytymisestä ja ilmansaasteista

Introducing a new intrinsic metric

A new intrinsic metric called $t$-metric is introduced. Several sharp inequalities between this metric and the most common hyperbolic type metrics are proven for various domains $G\subsetneq\mathbb{R}^n$. The behaviour of the new metric is also studied under a few examples of conformal and quasiconformal mappings, and the differences between the balls drawn with all the metrics considered are compared by both graphical and analytical means.Comment: 20 pages, 8 figure

Lipschitz constants and quadruple symmetrization by M\"obius transformations

Due to the invariance properties of cross-ratio, M\"obius transformations are often used to map a set of points or other geometric object into a symmetric position to simplify a problem studied. However, when the points are mapped under a M\"obius transformation, the distortion of the Euclidean geometry is rarely considered. Here, we identify several cases where the distortion caused by this symmetrization can be measured in terms of the Lipschitz constant of the M\"obius transformation in the Euclidean or the chordal metric.Comment: 14 pages, 4 figure

Hilbert metric in the unit ball

The Hilbert metric between two points $x,y$ in a bounded convex domain $G$ is defined as the logarithm of the cross-ratio of $x,y$ and the intersection points of the Euclidean line passing through the points $x,y$ and the boundary of the domain. Here, we study this metric in the case of the unit ball $\mathbb{B}^n$. We present an identity between the Hilbert metric and the hyperbolic metric, give several inequalities for the Hilbert metric, and results related to the inclusion properties of the balls defined in the Hilbert metric. Furthermore, we study the distortion of the Hilbert metric under conformal mappings.Comment: 16 pages, 4 figure

Intrinsic metrics defined with arithmetic and logarithmic mean values

We introduce several new functions that measure the distance between two points $x$ and $y$ in a domain $G\subsetneq\mathbb{R}^n$ by using the arithmetic or the logarithmic mean of the Euclidean distances from the points $x$ and $y$ to the boundary of $G$. We study in which domains these functions are metrics and find sharp inequalities between them and the hyperbolic metric. We also present one result about their distortion under quasiregular mappings.Comment: 15 page