The Structure of Lie Algebras and the Classification Problem for Partial Differential Equations

The present paper solves completely the problem of the group classification of nonlinear heat-conductivity equations of the form\ $u_{t}=F(t,x,u,u_{x})u_{xx} + G(t,x,u,u_{x})$. We have proved, in particular, that the above class contains no nonlinear equations whose invariance algebra has dimension more than five. Furthermore, we have proved that there are two, thirty-four, thirty-five, and six inequivalent equations admitting one-, two-, three-, four- and five-dimensional Lie algebras, respectively. Since the procedure which we use, relies heavily upon the theory of abstract Lie algebras of low dimension, we give a detailed account of the necessary facts. This material is dispersed in the literature and is not fully available in English. After this algebraic part we give a detailed description of the method and then we derive the forms of inequivalent invariant evolution equations, and compute the corresponding maximal symmetry algebras. The list of invariant equations obtained in this way contains (up to a local change of variables) all the previously-known invariant evolution equations belonging to the class of partial differential equations under study.Comment: 45 page

Classification of classical and non-local symmetries of fourth-order nonlinear evolution equations

In this paper, we consider group classification of local and quasi-local symmetries for a general fourth-order evolution equations in one spatial variable. Following the approach developed by Zhdanov and Lahno, we construct all inequivalent evolution equations belonging to the class under study which admit either semi-simple Lie groups or solvable Lie groups. The obtained lists of invariant equations (up to a local change of variables) contain both the well-known equations and a variety of new ones possessing rich symmetry. Based on the results on the group classification for local symmetries, the group classification for quasi-local symmetries of the equations is also given.Comment: LaTeX, 60 page

Symmetry classification of third-order nonlinear evolution equations. Part I: Semi-simple algebras

We give a complete point-symmetry classification of all third-order evolution equations of the form $u_t=F(t,x,u,u_x, u_{xx})u_{xxx}+G(t,x,u,u_x, u_{xx})$ which admit semi-simple symmetry algebras and extensions of these semi-simple Lie algebras by solvable Lie algebras. The methods we employ are extensions and refinements of previous techniques which have been used in such classifications.Comment: 53 page

On the classification of conditionally integrable evolution systems in (1+1) dimensions

We generalize earlier results of Fokas and Liu and find all locally analytic (1+1)-dimensional evolution equations of order $n$ that admit an $N$-shock type solution with $N\leq n+1$. To this end we develop a refinement of the technique from our earlier work (A. Sergyeyev, J. Phys. A: Math. Gen, 35 (2002), 7653--7660), where we completely characterized all (1+1)-dimensional evolution systems \bi{u}_t=\bi{F}(x,t,\bi{u},\p\bi{u}/\p x,...,\p^n\bi{u}/\p x^n) that are conditionally invariant under a given generalized (Lie--B\"acklund) vector field \bi{Q}(x,t,\bi{u},\p\bi{u}/\p x,...,\p^k\bi{u}/\p x^k)\p/\p\bi{u} under the assumption that the system of ODEs \bi{Q}=0 is totally nondegenerate. Every such conditionally invariant evolution system admits a reduction to a system of ODEs in $t$, thus being a nonlinear counterpart to quasi-exactly solvable models in quantum mechanics. Keywords: Exact solutions, nonlinear evolution equations, conditional integrability, generalized symmetries, reduction, generalized conditional symmetries MSC 2000: 35A30, 35G25, 81U15, 35N10, 37K35, 58J70, 58J72, 34A34Comment: 8 pages, LaTeX 2e, now uses hyperre

The nonabelian Liouville-Arnold integrability by quadratures problem: a symplectic approach

A symplectic theory approach is devised for solving the problem of algebraic-analytical construction of integral submanifold imbeddings for integrable (via the nonabelian Liouville-Arnold theorem) Hamiltonian systems on canonically symplectic phase spaces

Чутливість рецепторів клітин ендометрію до естрогенів та прогестерону у корів хворих на субклінічний ендометрит

Pathological processes that strongly affect the uterine endometrium lead to infertility and abortion. The most common of these pathologies are clinical and subclinical endometritis. Subclinical endometritis is characterized by endometrial inflammation in the absence of clinical signs of endometritis. In this study, we used uterine samples obtained from Ukrainian black-and-white dairy cows aged 4 to 7 years to compare the histology of the uterine endometrium and changes in estrogen-α (ER-α), estrogen-β (ER-β) and progesterone (PgR) nuclear receptor sensitivity in cows with subclinical endometritis. Cows were separated based on cytological examination of the endometrium into a healthy group, or those presenting with subclinical endometritis. From these groups endometrial and epithelial tissue samples were obtained using biopsy forceps and an endoscope then analyzed using immunohistochemistry. Our results demonstrate that the sensitivity of ER-α and ER-β is lower while PgR sensitivity is elevated in cows with subclinical endometritis compared to the healthy control group. Additionally, we observed markedly altered histological changes characterized by enlargement of uterine glands, epithelial desquamation, and infiltration of leukocytes. These results suggest that there are significant changes in the endometrium linked to the sensitivity of nuclear steroid hormone receptors that may also play an immunoregulatory role in cows with subclinical endometriosis. While the interaction of steroid hormones and immunoregulation in the uterus remains to be elucidated, it may provide key insights into the uterine immune response.В основі патологічних процесів, що проходять у матці приводять до неплідності та абортів, важливу роль відіграє ендометрій. Найбільш поширеними патологіями, що проходять у матці є клінічний та субклінічний ендометрит. Субклінічний ендометрит характеризується запальним процесом у ендометрії без клінічних ознак. Метою нашої роботи було проаналізувати гістологічні зміни та зміни чутливості ендометрію матки до естроген-α (ER-α), естроген-β (ER-β) та прогестерону (PgR), що відбуваються у матці здорових корів та у корів за субклінічного ендометриту. Дослідження проводилось на двох групах корів української чорно-рябої молочної породи віком від 4 до 7 років. На основі цитологічного дослідження ендометрію, корови були поділені на дві групи. Контрольну групу (К), що включала клінічно здорових корів, та дослідну (Д), що включала корів хворих на субклінічний ендометрит. Надалі проводили забір зразків за допомогою біопсійних щипців та ендоскопу. Наші результати дають змогу більш глибоко зрозуміти процеси, що відбуваються у ендометрії корів хворих на субклінічний ендометрит. Активність рецепторів ядер ER-α, ER-β та PgR спостерігали у епітелії ендометрію, епітелії маткових залоз та стромі ендометрію. Активність рецепторів ядер ER-α та ER-β була нижчою у корів з субклінічним ендометритом, ніж у корів контрольної групи. Активність рецепторів ядер PgR була вищою у корів хворих на субклінічний ендометрит, ніж у корів контрольної групи. На основі отриманих даних встановлено, що ендометрій хворих на субклінінчий ендометрит зазнає значних змін, що характеризується появою лейкоцитів, розширенням маткових залоз та ділянками десквамації епітелію. Зміни відбуваються на основі чутливості ядер ендометрію до рецепторів ER-α, ER-β та PgR. Чутливість ендометрію до гормонів є важливою у локальному захисті матки. В перспективі подальших досліджень слід вивчити експресію стероїдних гормонів та цитокінів у корів хворих на субклінічний ендометрит

New results on group classification of nonlinear diffusion-convection equations

Using a new method and additional (conditional and partial) equivalence transformations, we performed group classification in a class of variable coefficient $(1+1)$-dimensional nonlinear diffusion-convection equations of the general form $f(x)u_t=(D(u)u_x)_x+K(u)u_x.$ We obtain new interesting cases of such equations with the density $f$ localized in space, which have large invariance algebra. Exact solutions of these equations are constructed. We also consider the problem of investigation of the possible local trasformations for an arbitrary pair of equations from the class under consideration, i.e. of describing all the possible partial equivalence transformations in this class.Comment: LaTeX2e, 19 page