mm-submultisets and mm-permutations of multisets elements

The article is devoted to two classical combinatorial problems on multisets, which in the existing literature are given unjustifiably little space. Namely, the calculation of the number of all submultisets of power $m$ for an arbitrary multiset and the number of $m$-permutations of such multisets. The first problem is closely related to the width of a partially ordered set of all submultisets of a multiset with the inclusion $\subseteq$. The article contains some important classes of multisets. Combinatorial proofs of problems on the number of $m$-submultisets and $m$-permutations of multiset elements are considered. In the article, on the basis of the generatrix method, economical algorithms for calculating $m$-submultisets and $m$-permutations of multiset elements are constructed. The paper also provides a brief overview of the results that are related to this area of research

Simulation of Reciprocal Space Maps for Thin Ion-Implanted Layers in Yttrium-Iron Garnet Films with Defects

Numerical simulation of the reciprocal space maps measured from the ion-implanted single-crystal yttrium-iron garnet films on gadolinium-gallium garnet substrate has been carried out basing on the theoretical model of the triple-crystal dynamical diffractometry of crystalline multilayer systems with inhomogeneous strain distributions and randomly distributed defects. The presence of growth defects in both film and substrate as well as radiation defects created in subsurface layer of nanometer-scale thickness after 90 keV F+ ion implantation was taken into account in the proposed model of the film system

Simulation of Reciprocal Space Maps for Thin Ion-Implanted Layers in Yttrium-Iron Garnet Films with Defects

Numerical simulation of the reciprocal space maps measured from the ion-implanted single-crystal yttrium-iron garnet films on gadolinium-gallium garnet substrate has been carried out basing on the theoretical model of the triple-crystal dynamical diffractometry of crystalline multilayer systems with inhomogeneous strain distributions and randomly distributed defects. The presence of growth defects in both film and substrate as well as radiation defects created in subsurface layer of nanometer-scale thickness after 90 keV F+ ion implantation was taken into account in the proposed model of the film system

X-Ray Diffraction Characterization of Nanoscale Strains and Defects in Yttrium Iron Garnet Films Implanted with Fluorine Ions

The theoretical diffraction model for a crystalline multilayer system with inhomogeneous strain profile and randomly distributed defects has been created by using the statistical dynamical theory of X-ray diffraction in imperfect crystals. The dynamical scattering peculiarities in both coherent and diffuse scattering intensities have been taken into account for all the layers of the system by using derived recurrence relations between coherent scattering amplitudes. The investigated yttrium-iron garnet films grown on gadolinium-gallium garnet substrate were implanted with different doses of 90 keV F+ ions. The rocking curves measured from the as-grown and implanted samples have been treated by using the proposed theoretical model. This model has allowed for the reliable self-consistent determination of strain profile parameters and structural defect characteristics in both implanted film and substrate of the investigated samples

Magnetic structure of subsurface layers of single crystalline yttrium-iron garnet films implanted with Si+ ions with various energies

Findings from the investigation of subsurface layers of epitaxial single crystalline yttrium-iron garnet Y₃Fe₅O₁₂ films implanted with Si* ions with the dose of 5.10¹³ cm⁻² and energies of 100 - 150 keV using conversion electron Mossbauer spectroscopy are presented and the comparison with previously obtained results from simulations and x-ray diffractometry studies is carried out. The analysis of profiles and the integral lattice disorder in the subsurface layers confirms the validity of theoretical models used in this work.Висновки з дослідження підповерхневих шарів епітаксіального монокристалічного залізо-ітрієві граната Y₃Fe₅O₁₂ плівок імплантовані іонами Si* з дозою 5.10¹³ см⁻² і енергій 100 - 150 кеВ за допомогою перетворення електронної месбауерівської спектроскопії представлені і порівняння з раніше отриманими результати моделювання і досліджень рентгенівської дифрактометрії здійснюється. Аналіз профілів і інтегральної невпорядкованості решітки в приповерхневих шарах підтверджує правильність теоретичних моделей, що використовуються в даній роботі.Выводы из исследования подповерхностных слоев эпитаксиального монокристаллического железо-иттриевого граната Y₃Fe₅O₁₂ пленок имплантированы ионами Si* с дозой 5.10¹³ см⁻² и энергий 100 - 150 кэВ с помощью преобразования электронной мессбауэровской спектроскопии представлены и сравнения с ранее полученными результаты моделирования и исследований рентгеновской дифрактометрии осуществляется. Анализ профилей и интегральной неупорядоченности решетки в приповерхностных слоях подтверждает правильность теоретических моделей, используемых в данной работе. Remove selecte

Quantum-Mechanical Model of Interconsistent Amplitude and Dispersion Influences of Structure Imperfections on the Multiple Scattering Pattern for Mapping and Characterization of Strains and Defects in Ion-Implanted Garnet Films

Numerical simulation of the reciprocal-space maps for ion-implanted single-crystal yttrium—iron garnet films on gadolinium—gallium garnet substrates is carried out and based on the theoretical model of the triple-axes dynamical diffractometry of multilayer crystalline systems with inhomogeneous strain distributions and randomly distributed defects. In this model, the amplitude and dispersion mechanisms of influence of the structure imperfections on diffraction or refraction, absorption and extinction of radiation, respectively, for the coherent and diffuse scattering intensities are interconsistently taken into account for all the layers of the system, using derived recurrent relations between the coherent-scattering amplitudes. The presence of growth defects in both the film and the substrate as well as radiation defects created in subsurface layer of nanometre-scale thickness after 90 keV F⁺ ion implantation are taken into account in the proposed model of the multilayer systems. Using this model, the rocking curves measured from as-grown and ion-implanted samples are also treated for determination of realistic strain-profile parameters and structural-defect characteristics in both implanted films and substrates with the aim of numerical reconstruction of the diffraction patterns from multilayer imperfect single-crystal systems.Чисельне моделювання карт оберненого простору для йонно-імплантованих монокристалічних залізо-ітрійових плівок ферит-ґранатів на підложжях з ґадоліній-ґалійового ґранату здійснено на основі теоретичного моделю тривісної динамічної дифрактометрії для багатошарових кристалічних систем із неоднорідними розподілами деформації та випадково розподіленими дефектами. В цьому моделі амплітудний і дисперсійний механізми впливу недосконалостей структури відповідно на дифракцію чи на заломлення, поглинання й екстинкцію випромінення в інтенсивності когерентного та дифузного розсіяння взаємоузгоджено враховувалися для всіх шарів системи за допомогою одержаних рекурентних співвідношень між амплітудами когерентного розсіяння. В запропонованому моделі багатошарових систем враховано наявність ростових дефектів, як у плівці, так і в підложжі, а також радіяційних дефектів у приповерхневому шарі нанометрової товщини, утворених після імплантації йонів F⁺ з енергією у 90 кеВ. З використанням зазначеного моделю також оброблялися криві хитання вихідного та йонно-імплантованого зразків для визначення реалістичних параметрів профілів деформації та структурних характеристик дефектів у підложжях та імплантованих плівках з метою чисельної реконструкції картин динамічної дифракції від монокристалічних багатошарових зразків.Численное моделирование карт обратного пространства для ионно-имплантированных монокристаллических железо-иттриевых плёнок феррит-гранатов на подложках из гадолиний-галлиевого граната осуществлено на основе теоретической модели трёхосной динамической дифрактометрии для многослойных кристаллических систем с неоднородными распределениями деформации и случайно распределёнными дефектами. В этой модели амплитудный и дисперсионный механизмы влияния несовершенств структуры соответственно на дифракцию или на преломление, поглощение и экстинкцию излучений в интенсивности когерентного и диффузного рассеяния взаимосогласованно учитывались для всех слоёв системы с помощью полученных рекуррентных соотношений между амплитудами когерентного рассеяния. В предлагаемой модели многослойных систем учтено наличие ростовых дефектов, как в плёнке, так и в подложке, а также радиационных дефектов в приповерхностном слое нанометровой толщины, образованных после имплантации ионов F⁺ с энергией 90 кэВ. С использованием упомянутой модели также обрабатывались кривые качания исходного и ионно-имплантированного образцов для реалистичного определения параметров профилей деформации и структурных характеристик дефектов в подложках и имплантированных плёнках с целью численной реконструкции картин динамической дифракции от монокристаллических многослойных образцов