Two dimensional numerical analysis of electrostatic harmonics of Langmuir waves

Neste trabalho estudamos os harmonicos eletrostaticos de ondas de Langmuir em um plasma nao magnetizado e sem colisoes usando a teoria de turbulencia fraca (TTF). Primeiramente fazemos uma introducao a teoria de turbulencia fraca utilizando o formalismo de Klimontovich, mostrando e estudando aspectos fundamentais, como a obtencao da bem conhecida equacao de difusao para as partıculas, a partir da funcao perturbada de Klimontovich, e o procedimento para obtencao da equacao de balanco espectral. A partir da parte real desta equacao, mostramos como encontrar a relacao de dispersao dos modos normais eletrostaticos (ondas de Langmuir e ondas ıon-acusticas) e dos harmonicos de ondas de Langmuir (ondas nao lineares). Por outro lado, da parte imaginaria da equacao de balanco, obtemos as equacoes de onda tanto para modos normais como para harmonicos, que levam em conta efeitos de emissao espontanea, quase-linear (emissao induzida) e nao-lineares (decaimento e espalhamento). Em seguida apresentamos um tratamento matematico para as equacoes de ondas e partıculas, que sao escritas em termos de variaveis adimensionais e normalizadas, e entao fazemos uso da aproximacao bi-dimensional (2D) e para esse caso escrevemos as equacoes usando coordenadas cartesianas. Usamos entao propriedades de simetria e identidades matematicas, obtendo equacoes adequadas para analise numerica. Consideramos como condicoes iniciais um plasma com eletrons descritos por uma funcao de distribuicao Maxwelliana com um feixe tenue e ıons descritos por uma funcao de distribuicao Maxwelliana, e introduzimos expressoes para os espectros iniciais de ondas de Langmuir (L), ondas ıon-acusticas (S), e harmonicos de ondas de Lagmuir (Ln). Para a analise numerica, usamos um codigo numerico desenvolvido anteriormente por integrantes do grupo de Plasmas do Instituto de Fısica da UFRGS, escrito em linguagem Fortran. Adaptamos e expandimos esse codigo para incluir harmonicos de ondas de Langmuir, e o utilizamos para abordar o problema da instabilidade feixe-plasma na presenca de harmonicos, estudando numericamente a evolucao temporal de ondas e partıculas. Na sequencia, comparamos nossos resultados obtidos usando a abordagem bidimensional (2D) com resultados obtidos em trabalhos anteriores que usavam uma aproximacao unidimensional (1D). Por ultimo apresentamos as conclusoes e perspectivas para a sequencia do trabalho.In this work we study the electrostatic harmonics of Langmuir waves in unmagnetized and collisionless plasma using the weak turbulence theory (WTT). Initially, we present an introduction to the weak turbulence theory using the Klimontovich formalism, discussing fundamental aspects such as the derivation of the usual diffusion equation for particles, from the perturbed Klimontovich’s function, and the procedure to obtain the spectral balance equation. Moreover, from the real part of the balance equation we show how to find the dispersion relation for electrostatic normal modes (Langmuir and ion-acoustic waves) and for Langmuir wave harmonics (non-linear waves). On the other hand, from the imaginary part of the balance equation, we obtain the kinetic wave equation for normal and harmonic modes, which take into account spontaneous effects, quasi-linear effects (induced emission), and non-linear effects (three-wave decay and scattering). Next, we present a mathematical treatment for waves and particles equations, which are written in terms of normalized and non-dimensional variables, and after that we simplify the equations using a two dimensional approximation (2D), and write the equations explicitly using cartesian coordinates. We utilize symmetry properties, and mathematical identities, and obtain equations which are suitable for numerical analysis. We consider as initial conditions a plasma with electrons described by a maxwellian distribution with a tenuous beam, and ions described by a maxwellian distribution, and introduce the initial spectra for the Langmuir waves waves (L), ion-acoustic waves (S), and Langmuir harmonics (Ln). For the numerical analysis, we have used a numerical code written in the Fortran language, which had been previously developed and utilized by members of the group of plasmas of the Physics Institute at UFRGS; We have upgraded the code in order to take into account the occurrence of harmonics of Langmuir waves, and used it in the analysis of the beam-plasma instability in the presence of these electrostatic harmonics, numerically studying the time evolution of waves and particles. Afterward, we compare our results obtained using the two dimensional approach (2D), with results otained in previous works which used a one dimensional approach (1D). Finally, we present some conclusions, and discuss the perspectives for further research on the subject

Multiple harmonics of electron waves studied using weak turbulence theory in a two-dimensional formulation

Electrostatic waves with frequencies that are integer multiples of the electron plasma frequency have been observed since the early days of laboratory experiments on beam–plasma interactions, and also in experiments made in the space environment. These waves have also appeared in numerical experiments, and can be explained in the context of weak turbulence theory. This paper presents results obtained by numerical solution of the equations of weak turbulence theory, which show the coupled time evolution of the amplitudes of harmonic waves and of the amplitudes of Langmuir and ion acoustic waves, and the time evolution of the electron distribution function. The results are obtained considering a two-dimensional geometry, considering harmonics up to n ¼ 5, and are consistent with earlier results obtained by one-dimensional analyses

Two dimensional kinetic analysis of electrostatic harmonic plasma waves

Electrostatic harmonic Langmuir waves are virtual modes excited in weakly turbulent plasmas, first observed in early laboratory beam-plasma experiments as well as in rocket-borne active experiments in space. However, their unequivocal presence was confirmed through computer simulated experiments and subsequently theoretically explained. The peculiarity of harmonic Langmuir waves is that while their existence requires nonlinear response, their excitation mechanism and subsequent early time evolution are governed by essentially linear process. One of the unresolved theoretical issues regards the role of nonlinear wave-particle interaction process over longer evolution time period. Another outstanding issue is that existing theories for these modes are limited to one-dimensional space. The present paper carries out two dimensional theoretical analysis of fundamental and (first) harmonic Langmuir waves for the first time. The result shows that harmonic Langmuir wave is essentially governed by (quasi)linear process and that nonlinear wave-particle interaction plays no significant role in the time evolution of the wave spectrum. The numerical solutions of the two-dimensional wave spectra for fundamental and harmonic Langmuir waves are also found to be consistent with those obtained by direct particle-in-cell simulation method reported in the literature

Estudo da interação feixe-plasma como aplicação da teoria de turbulência em plasmas

Neste trabalho estudamos a interação feixe-plasma aplicando a teoria de turbulência fraca. Primeiramente fazemos uma introdução `a teoria cinética de plasmas, estudando aspectos fundamentais como: a abordagem estatística das equações do plasma, o tratamento a ser dado `as funções de correlação que aparecem nessa abordagem, e o sistema de equações de Vlasov-Maxwell. Em seguida estudamos a aproximação de Vlasov e a solução do sistema de Vlasov- Maxwell na aproximação linear, enfocando a descrição de ondas no plasma e o amortecimento de Landau. Ao longo desse desenvolvimento fazemos uma apresentação relativamente detalhada dos procedimentos introduzidos por Landau ao tratar o sistema Vlasov-Maxwell como um problema de valor inicial, incluindo uma discussão sobre a resolução de integrais no plano complexo, com polos no denominador, e a solução da relação de dispersão para encontrar os modos normais de oscilação no plasma. Apresentamos também uma breve revisão a respeito da aproximação quase-linear do sistema de Vlasov- Maxwell, na qual abordamos a obtenção da equação quase-linear de difusão no espaço das velocidades para partículas e estudamos suas propriedades de conservação. Nesse contexto da teoria quase-linear, apresentamos uma revisão a respeito da evolução temporal do amortecimento de Landau no caso de distribuição de velocidades Maxwelliana e da instabilidade que pode ocorrer no caso de uma função distribuição com um feixe de partículas. Depois dessa introdução `a aproximação linear e `a teoria quase-linear, abordamos a teoria de turbulência fraca num plasma não magnetizado, incluindo interações não lineares entre ondas e partículas. O formalismo apresentado inclui efeitos como emissão espontânea e induzida, decaimento e espalhamento de ondas. O sistema de equações acopladas da teoria de turbulência fraca é então reduzido a uma aplicação a um sistema considerando duas dimensões, depois reescrito em termos de coordenadas polares e adaptado para solução numérica. Apresentamos então uma descrição do código numérico desenvolvido usando linguagem Fortran, abordando um plasma com elétrons descritos por uma função distribuição Maxwelliana com um feixe tênue, e íons descritos por uma função distribuição Maxwelliana. Finalmente, comparamos nossos resultados com outros obtidos por outros autores em trabalhos anteriores, desenvolvidos usando coordenadas cartesianas, avaliando nosso trabalho. Por último, discutimos algumas perspectivas para o desenvolvimento futuro do trabalho.In the present work we study the beam-plasma interaction using the weak turbulence theory. We start with an introduction to the kinetic theory of plasmas, studying fundamental features, like the statistical approach to the plasma equations, the procedures to be employed to deal with the correlation functions appearing in the statistical approach, and the system of Vlasov-Maxwell equations. In the sequence we discuss the Vlasov approximation and the solution of the Vlasov- Maxwell system in the linear approximation, emphasizing the description of waves in the plasma and the Landau damping. Along the development we present a relatively detailed description of the procedures introduced by Landau to treat the Vlasov-Maxwell system as an initial value problem, including a discussion about the resolution of integrals in the complex plane, with poles in the denominator, and the solution of the dispersion relation to find the normal mode of oscillations in the plasma. We also present a short review about the quasilinear approximation of the Vlasov-Maxwell system, in which we discuss the derivation of the quasilinear diffusion equation in the space of particle velocities, and study its properties of conservation. In the context of the quasilinear theory, we present a short review about the time evolution of the Landau damping in the case of Maxwellian velocity distribution, and about the instability which can occur in the case of a distribution function with a beam of particles. After the introduction to the linear approximation and to the quasilinear theory, we present the equations of weak turbulence theory for a unmagnetized plasma, including non-linear interactions between waves and particles. The formalism which is presented includes effects and spontaneous and induced emission, decay and scattering of waves. The system of coupled equations of the weak turbulence theory is then reduced to application to a bi-dimensional case, and then re-written in terms of polar coordinates and adapted to numerical solution. We then present a description of the numerical code developed using Fortran language, suitable to describe a plasma with electrons described by a Maxwellian distribution function with a tenuous beam, and ions described by a Maxwellian distribution. Finally, we compare our results with results obtained by other authors in previous works, developed using cartesian coordinates, as a validation of our work. Lastly we discuss some perspectives for future developments

Two dimensional numerical analysis of electrostatic harmonics of Langmuir waves

Neste trabalho estudamos os harmonicos eletrostaticos de ondas de Langmuir em um plasma nao magnetizado e sem colisoes usando a teoria de turbulencia fraca (TTF). Primeiramente fazemos uma introducao a teoria de turbulencia fraca utilizando o formalismo de Klimontovich, mostrando e estudando aspectos fundamentais, como a obtencao da bem conhecida equacao de difusao para as partıculas, a partir da funcao perturbada de Klimontovich, e o procedimento para obtencao da equacao de balanco espectral. A partir da parte real desta equacao, mostramos como encontrar a relacao de dispersao dos modos normais eletrostaticos (ondas de Langmuir e ondas ıon-acusticas) e dos harmonicos de ondas de Langmuir (ondas nao lineares). Por outro lado, da parte imaginaria da equacao de balanco, obtemos as equacoes de onda tanto para modos normais como para harmonicos, que levam em conta efeitos de emissao espontanea, quase-linear (emissao induzida) e nao-lineares (decaimento e espalhamento). Em seguida apresentamos um tratamento matematico para as equacoes de ondas e partıculas, que sao escritas em termos de variaveis adimensionais e normalizadas, e entao fazemos uso da aproximacao bi-dimensional (2D) e para esse caso escrevemos as equacoes usando coordenadas cartesianas. Usamos entao propriedades de simetria e identidades matematicas, obtendo equacoes adequadas para analise numerica. Consideramos como condicoes iniciais um plasma com eletrons descritos por uma funcao de distribuicao Maxwelliana com um feixe tenue e ıons descritos por uma funcao de distribuicao Maxwelliana, e introduzimos expressoes para os espectros iniciais de ondas de Langmuir (L), ondas ıon-acusticas (S), e harmonicos de ondas de Lagmuir (Ln). Para a analise numerica, usamos um codigo numerico desenvolvido anteriormente por integrantes do grupo de Plasmas do Instituto de Fısica da UFRGS, escrito em linguagem Fortran. Adaptamos e expandimos esse codigo para incluir harmonicos de ondas de Langmuir, e o utilizamos para abordar o problema da instabilidade feixe-plasma na presenca de harmonicos, estudando numericamente a evolucao temporal de ondas e partıculas. Na sequencia, comparamos nossos resultados obtidos usando a abordagem bidimensional (2D) com resultados obtidos em trabalhos anteriores que usavam uma aproximacao unidimensional (1D). Por ultimo apresentamos as conclusoes e perspectivas para a sequencia do trabalho.In this work we study the electrostatic harmonics of Langmuir waves in unmagnetized and collisionless plasma using the weak turbulence theory (WTT). Initially, we present an introduction to the weak turbulence theory using the Klimontovich formalism, discussing fundamental aspects such as the derivation of the usual diffusion equation for particles, from the perturbed Klimontovich’s function, and the procedure to obtain the spectral balance equation. Moreover, from the real part of the balance equation we show how to find the dispersion relation for electrostatic normal modes (Langmuir and ion-acoustic waves) and for Langmuir wave harmonics (non-linear waves). On the other hand, from the imaginary part of the balance equation, we obtain the kinetic wave equation for normal and harmonic modes, which take into account spontaneous effects, quasi-linear effects (induced emission), and non-linear effects (three-wave decay and scattering). Next, we present a mathematical treatment for waves and particles equations, which are written in terms of normalized and non-dimensional variables, and after that we simplify the equations using a two dimensional approximation (2D), and write the equations explicitly using cartesian coordinates. We utilize symmetry properties, and mathematical identities, and obtain equations which are suitable for numerical analysis. We consider as initial conditions a plasma with electrons described by a maxwellian distribution with a tenuous beam, and ions described by a maxwellian distribution, and introduce the initial spectra for the Langmuir waves waves (L), ion-acoustic waves (S), and Langmuir harmonics (Ln). For the numerical analysis, we have used a numerical code written in the Fortran language, which had been previously developed and utilized by members of the group of plasmas of the Physics Institute at UFRGS; We have upgraded the code in order to take into account the occurrence of harmonics of Langmuir waves, and used it in the analysis of the beam-plasma instability in the presence of these electrostatic harmonics, numerically studying the time evolution of waves and particles. Afterward, we compare our results obtained using the two dimensional approach (2D), with results otained in previous works which used a one dimensional approach (1D). Finally, we present some conclusions, and discuss the perspectives for further research on the subject

Estudo da interação feixe-plasma como aplicação da teoria de turbulência em plasmas

Neste trabalho estudamos a interação feixe-plasma aplicando a teoria de turbulência fraca. Primeiramente fazemos uma introdução `a teoria cinética de plasmas, estudando aspectos fundamentais como: a abordagem estatística das equações do plasma, o tratamento a ser dado `as funções de correlação que aparecem nessa abordagem, e o sistema de equações de Vlasov-Maxwell. Em seguida estudamos a aproximação de Vlasov e a solução do sistema de Vlasov- Maxwell na aproximação linear, enfocando a descrição de ondas no plasma e o amortecimento de Landau. Ao longo desse desenvolvimento fazemos uma apresentação relativamente detalhada dos procedimentos introduzidos por Landau ao tratar o sistema Vlasov-Maxwell como um problema de valor inicial, incluindo uma discussão sobre a resolução de integrais no plano complexo, com polos no denominador, e a solução da relação de dispersão para encontrar os modos normais de oscilação no plasma. Apresentamos também uma breve revisão a respeito da aproximação quase-linear do sistema de Vlasov- Maxwell, na qual abordamos a obtenção da equação quase-linear de difusão no espaço das velocidades para partículas e estudamos suas propriedades de conservação. Nesse contexto da teoria quase-linear, apresentamos uma revisão a respeito da evolução temporal do amortecimento de Landau no caso de distribuição de velocidades Maxwelliana e da instabilidade que pode ocorrer no caso de uma função distribuição com um feixe de partículas. Depois dessa introdução `a aproximação linear e `a teoria quase-linear, abordamos a teoria de turbulência fraca num plasma não magnetizado, incluindo interações não lineares entre ondas e partículas. O formalismo apresentado inclui efeitos como emissão espontânea e induzida, decaimento e espalhamento de ondas. O sistema de equações acopladas da teoria de turbulência fraca é então reduzido a uma aplicação a um sistema considerando duas dimensões, depois reescrito em termos de coordenadas polares e adaptado para solução numérica. Apresentamos então uma descrição do código numérico desenvolvido usando linguagem Fortran, abordando um plasma com elétrons descritos por uma função distribuição Maxwelliana com um feixe tênue, e íons descritos por uma função distribuição Maxwelliana. Finalmente, comparamos nossos resultados com outros obtidos por outros autores em trabalhos anteriores, desenvolvidos usando coordenadas cartesianas, avaliando nosso trabalho. Por último, discutimos algumas perspectivas para o desenvolvimento futuro do trabalho.In the present work we study the beam-plasma interaction using the weak turbulence theory. We start with an introduction to the kinetic theory of plasmas, studying fundamental features, like the statistical approach to the plasma equations, the procedures to be employed to deal with the correlation functions appearing in the statistical approach, and the system of Vlasov-Maxwell equations. In the sequence we discuss the Vlasov approximation and the solution of the Vlasov- Maxwell system in the linear approximation, emphasizing the description of waves in the plasma and the Landau damping. Along the development we present a relatively detailed description of the procedures introduced by Landau to treat the Vlasov-Maxwell system as an initial value problem, including a discussion about the resolution of integrals in the complex plane, with poles in the denominator, and the solution of the dispersion relation to find the normal mode of oscillations in the plasma. We also present a short review about the quasilinear approximation of the Vlasov-Maxwell system, in which we discuss the derivation of the quasilinear diffusion equation in the space of particle velocities, and study its properties of conservation. In the context of the quasilinear theory, we present a short review about the time evolution of the Landau damping in the case of Maxwellian velocity distribution, and about the instability which can occur in the case of a distribution function with a beam of particles. After the introduction to the linear approximation and to the quasilinear theory, we present the equations of weak turbulence theory for a unmagnetized plasma, including non-linear interactions between waves and particles. The formalism which is presented includes effects and spontaneous and induced emission, decay and scattering of waves. The system of coupled equations of the weak turbulence theory is then reduced to application to a bi-dimensional case, and then re-written in terms of polar coordinates and adapted to numerical solution. We then present a description of the numerical code developed using Fortran language, suitable to describe a plasma with electrons described by a Maxwellian distribution function with a tenuous beam, and ions described by a Maxwellian distribution. Finally, we compare our results with results obtained by other authors in previous works, developed using cartesian coordinates, as a validation of our work. Lastly we discuss some perspectives for future developments

Two dimensional kinetic analysis of electrostatic harmonic plasma waves

Electrostatic harmonic Langmuir waves are virtual modes excited in weakly turbulent plasmas, first observed in early laboratory beam-plasma experiments as well as in rocket-borne active experiments in space. However, their unequivocal presence was confirmed through computer simulated experiments and subsequently theoretically explained. The peculiarity of harmonic Langmuir waves is that while their existence requires nonlinear response, their excitation mechanism and subsequent early time evolution are governed by essentially linear process. One of the unresolved theoretical issues regards the role of nonlinear wave-particle interaction process over longer evolution time period. Another outstanding issue is that existing theories for these modes are limited to one-dimensional space. The present paper carries out two dimensional theoretical analysis of fundamental and (first) harmonic Langmuir waves for the first time. The result shows that harmonic Langmuir wave is essentially governed by (quasi)linear process and that nonlinear wave-particle interaction plays no significant role in the time evolution of the wave spectrum. The numerical solutions of the two-dimensional wave spectra for fundamental and harmonic Langmuir waves are also found to be consistent with those obtained by direct particle-in-cell simulation method reported in the literature