Monotonicity and local uniqueness for the Helmholtz equation

This work extends monotonicity-based methods in inverse problems to the case of the Helmholtz (or stationary Schr\"odinger) equation $(\Delta + k^2 q) u = 0$ in a bounded domain for fixed non-resonance frequency $k>0$ and real-valued scattering coefficient function $q$. We show a monotonicity relation between the scattering coefficient $q$ and the local Neumann-Dirichlet operator that holds up to finitely many eigenvalues. Combining this with the method of localized potentials, or Runge approximation, adapted to the case where finitely many constraints are present, we derive a constructive monotonicity-based characterization of scatterers from partial boundary data. We also obtain the local uniqueness result that two coefficient functions $q_1$ and $q_2$ can be distinguished by partial boundary data if there is a neighborhood of the boundary where $q_1\geq q_2$ and $q_1\not\equiv q_2$

Inverse boundary problems involving the magnetic Schrödinger operator

This thesis deals with various aspects of the inverse boundary value problem for the magnetic Schrödinger operator. The first paper extends earlier uniqueness results to the case where the domain is a half space. The two main features of this problem is that the domain is not a bounded set and that the DN-maps are known only on parts of the boundary. The results in this paper extend known results for the slab geometry to the half space case and moreover give some improvements on the conditions for the measurement sets. The second paper (which is joint work with Pedro Caro) deals with the problem of stability. The main aim of the paper is to show that log-type stability holds for rougher classes of potentials A and q, than were previously known. We prove stable determination of an inverse boundary value problem associated to a magnetic Schrödinger operator assuming that the magnetic and electric potentials are essentially bounded and the magnetic potentials admit a certain type of Hölder-type modulus of continuity. The third paper deals with the convection-diffusion equation, which is another first order perturbation of the Laplacian. This equation is closely related to the magnetic Schrödinger equation. Here we use this relationship to show that one can recover a certain scale of Hölder continuous velocity fields from the DN-map. A common theme in the second and third papers is that of lowering regularity requirements, i.e. extending known results so that they apply to larger and more irregular classes of potentials. This is a central research topic in inverse problems.Tämä väitöskirja käsittelee magneettisen Schrödinger operaattorin inversio-ongelmia. Nämä ongelmat ovat sovellusten näkökulmasta läheisessä suhteessa sironta ongelmiin. Ensimmäinen paperi käsittelee inversio-ongelmaa kun alueena on puoliavaruus. Ongelman kaksi pääpiirettä on, että tarkasteltava alue ei ole rajoitettu joukko ja että mittaus data tiedetään pelkästään osittain. Päätulos laajentaa aiempia tuloksia siten, että nämä pätevät myös puoliavaruuden tapauksessa. Ehdot jotka asetetaan mittaus alueille ovat myös löyhemmät kuin aiemmissa vastaavissa tulokisissa. Toinen paperi (joka on tehty yhteistyössä Pedro Caron kanssa) käsittelee, niin sanottua stabilisuus ongelmaa. Päätavoite on osoittaa, että stabiilisuus pätee karkeammille potentiaaleille A ja q, kuin mitä on aiemmin tiedetty. Stabiilisuus todistetaan tapauksessa, jossa sähköinen potentiaali on rajoitettu ja magneettinen potentiaali on tientynlaisessa Besov avaruudessa. Kolmas paperi käsittelee konvektio-diffuusio yhtälötä. Tämä yhtälö on Laplace yhtälön ensimmäisen kertaluvun häiriö ja sillä on läheinen suhde magneettiseen Schrödinger yhtälöön. Tämän paperin päälause osoittaa, että nopeuskenttä määräytyy DN-kuvauksesta, myös silloin kuin se on Hölder jatkuva tietyillä säännöllisyys indekseillä. Toisella ja kolmanella paperilla on osittain yhteinen aihe piiri, joka on säännöllisyys oletuksien höllentäminen. Eli toisin sanoen osoittaa, että yksikäsitteisyys ja stabilisuus tulokset pätevät myös verrattaen epäsäännöllisille potentiaali luokille. Tästä on muodostunut yksi keskeinen aihe inversio tutkimuksessa

Dimension bounds in monotonicity methods for the Helmholtz equation

Abstract The article [B. Harrach, V. Pohjola, and M. Salo, Anal. PDE] established a monotonicity inequality for the Helmholtz equation and presented applications to shape detection and local uniqueness in inverse boundary problems. The monotonicity inequality states that if two scattering coefficients satisfy q₁ ≤ q₂, then the corresponding Neumann-to-Dirichlet operators satisfy Λ(q₁) ≤ Λ(q₂) up to a finite-dimensional subspace. Here we improve the bounds for the dimension of this space. In particular, if q₁ and q₂ have the same number of positive Neumann eigenvalues, then the finite-dimensional space is trivial