A NURBS-based Discontinuous Galerkin method for conservation laws with high-order moving meshes

International audienceThe objective of the present work is to develop a new numerical framework for simulations including moving bodies, in the specific context of high-order meshes consistent with Computer-Aided Design (CAD) representations. Thus, the proposed approach combines ideas from isogeometric analysis, able to handle exactly CAD-based geometries, and Discontinuous Galerkin (DG) methods with an Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) formulation , able to solve complex problems with moving grids. The resulting approach is a DG method based on rational Bézier elements, that can be easily constructed from Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS), formulated in a general ALE setting. We focus here on applications in compressible aerodynamics, but the method could be applied to other models. Two verification exercises are conducted, to assess rigorously the properties of the method and the convergence rates for representations up to sixth order. Finally, two problems are analysed in depth, involving compressible Euler and Navier-Stokes equations , for an oscillating cylinder and a pitching airfoil. In particular, the convergence of flow characteristics is investigated, as well as the impact of using curved boundaries in the context of deformable domains

A fully-conservative sliding grid algorithm for compressible flows using an Isogeometric Discontinuous Galerkin scheme

International audienceThis work aims at developing a high-order, fully conservative, discretization of sliding grids with applications to compressible flows at different regimes (from subsonic to supersonic). The proposed approach combines a discontinuous Galerkin formulation for Navier-Stokes equations with rational representations originating from Isogeometric Analysis, which allows to design a watertight and fully conservative sliding grid algorithm. A verification exercise is first carried out to rigorously establish the convergence rate of the method. Then, the accuracy and robustness are demonstrated for a flow around a pitching ellipse at different regimes. A comparison with a grid deformation technique and a sensitivity study with respect to the location of the sliding interface are also investigated. Finally, the flow around a vertical-axis wind turbine configuration is simulated to show the potentiality of the proposed approach to deal with more complex geometries

A NURBS-based Discontinuous Galerkin Framework for Compressible Aerodynamics

AIAA 2020-2972International audienceWe propose a Discontinuous Galerkin (DG) method for the numerical solution of the compressible Navier-Stokes equations with a functional representation derived from Computer Aided Design (CAD). The extraction of a set of DG-compliant basis functions from Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS) is briefly discussed and the discretization of the equations is presented in this new framework. The benefits of using high-order geometries are assessed in a first numerical example. The proposed scheme is then extended to deformable domains through an Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) formulation and a NURBS-based mesh movement, allowing smooth high-order deformations. A verification test case is carried out to evaluate the impact of mesh movement on numerical solutions. Finally, we propose a dynamic mesh deformation-adaptation algorithm to couple the ALE formulation with Adaptive Mesh Refinement (AMR), based on hierarchical properties of NURBS. The potential of the developed approach is investigated in an application dealing with a pitching aifoil

CAD-Consistent Aerodynamic Design via the Isogeometric Paradigm

International audienceThis work aims at proposing an aerodynamic design optimization methodology entirely based on Computer-Aided Design (CAD) representations, yielding a fully integrated geometry-simulation-optimization framework. Specifically, the geometry to optimize is defined thanks to CAD standards, like Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS); the resolution of compressible Euler / Navier-Stokes equation is achieved using a Discontinuous Galerkin (DG) method based on rational Bézier elements with adaptive mesh refinement, which is geometrically exact with respect to CAD boundaries; The global optimization of CAD control points is carried out using a Bayesian Optimization method. The whole design chain is therefore consistent with respect to the CAD geometry. The proposed approach is demonstrated for the optimization of an airfoil in transonic regime

A NURBS-based Discontinuous Galerkin method for CAD compliant flow simulations

International audienceIn this work, we explain how a classical nodal Discontinuous Galerkin (DG) method for conservation laws can be modified to be geometrically exact with respect to CAD (Computer-Aided Design) data. The proposed approach relies on the use of rational Bézier elements, that can exactly match geometries defined by NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines) after some basic transformations. It has been found convenient to use the same basis to describe the solution, yielding a so-called isogeometric formulation. The resulting method exhibits optimal convergence rates and facilitates couplings with geometry, e.g. for local refinement, shape sensitivity analysis, or moving computational domains. Illustrations are provided for two-dimensional compressible Euler and Navier-Stokes equations

Geometrically Consistent Aerodynamic Optimization using an Isogeometric Discontinuous Galerkin Method

International audienceThe objective of the current work is to define a design optimization methodology in aerodynamics, in which all numerical components are based on a unique geometrical representation, consistent with Computer-Aided Design (CAD) standards. In particular, the design is parameterized by Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS), the computational domain is automatically constructed using rational Bézier elements extracted from NURBS boundaries without any approximation and the resolution of the flow equations relies on an adaptive Discontinuous Galerkin (DG) method based on rational representations. A Bayesian framework is used to optimize NURBS control points, in a single-or multi-objective, constrained, global optimization framework. The resulting methodology is therefore fully CAD-consistent, high-order in space and time, includes local adaption and shock capturing capabilities, and exhibits high parallelization performance. The proposed methods are described in details and their properties are established. Finally, two design optimization problems are provided as illustrations: the shape optimization of an airfoil in transonic regime, for drag reduction with lift constraint, and the multi-objective optimization of the control law of a morphing airfoil in subsonic regime, regarding the time-averaged lift, the minimum instantaneous lift and the energy consumption

Méthode de Galerkin discontinue isogéométrique avec domaines dépendants du temps

Time-dependent domains are encountered in a vast category of fluid mechanics applications. Such problems are often characterised by complex geometries and physical phenomena. The aim of the present dissertation is the development of an accurate and reliable methodology to investigate compressible flows with time-dependent geometries. To this end, we combine ideas from Isogeometric Analysis (IGA) and high-order numerical schemes for fluid dynamics, specifically Discontinuous Galerkin (DG) methods. We start by discussing the implementation details of the Isogeometric DG method. To this end, we introduce the DG scheme for conservation laws and the fundamentals of IGA. The mathematical representation of Computer Aided Design (CAD) is explained and some important geometry manipulation algorithms are presented. We then show how a DG-compatible description can be extracted starting from a CAD object, allowing us to employ a geometrically exact DG discretisation to solve the equations of fluid mechanics. Finally, we conduct two simple numerical experiments to illustrate the impact of the boundary representation on flow simulations.We then proceed to extend the Isogeometric DG methodology to deformable domains using the Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) formalism. After an analysis of the existing ALE-DG schemes, we propose an ALE formulation using the Isogeometric framework. The CAD basis functions are also adopted to deform the mesh, leading to a fully unified description of the simulation variables. Besides, we show how the proposed grid velocity algorithm can be seamlessly coupled with Adaptive Mesh Refinement (AMR). The presented approach is firstly validated with two analytical problems, showing optimal convergence rates. Then, we simulate the flows past an oscillating cylinder and a pitching airfoil to prove the robustness of the methodology. We conclude by demonstrating the capabilities of the developed ALE-AMR coupling algorithm using the pitching airfoil benchmark. Secondly, we propose to employ sliding grids for flows with rotating components, as an alternative to the deformation-based ALE technique. Using the CAD basis functions, circular interfaces can be exactly represented. Therefore, it is possible to develop a high-order and fully conservative sliding mesh formulation. We begin by detailing the treatment of the sliding interface geometry and the computation of the numerical fluxes. Then, we show the optimal convergence of the implemented approach using an analytical problem. We further characterise the behaviour of the sliding interface considering the flow past a pitching ellipse. We show that the sliding mesh technique and the deformation-based ALE methodology are equivalent in terms of accuracy. Finally, a vertical axis wind turbine is simulated to present a more topologically complex test case. Lastly, we apply the proposed ALE formulation to a flow control problem. In particular, we consider a dynamic trailing edge morphing actuation to control the separation of the laminar boundary layer around a NACA 6-series airfoil. Using the proposed mesh deformation algorithm, we develop a high-order accurate trailing edge morphing model. In order to find the optimal set of control parameters, the flow solver is coupled with a Bayesian optimisation algorithm. Thanks to the strong coupling between the geometry description and the numerical schemes, the resulting design chain is fully automated. The capabilities of the proposed framework are explored considering both single-objective and multi-objective optimisation problems.Les domaines dépendant du temps sont rencontrés dans une vaste catégorie d'applications de la mécanique des fluides. De tels problèmes sont souvent caractérisés par des géométries et des phénomènes physiques complexes. L'objectif de cette thèse est de développer une méthodologie précise et fiable pour étudier les écoulements compressibles avec des géométries dépendant du temps. Ainsi, nous combinons des idées provenant de l'Analyse Isogéométrique et des schémas numériques d'ordre élevé pour la dynamique des fluides, en particulier les méthodes de Galerkin Discontinues (GD).Nous commençons par discuter les détails de mise en œuvre de la méthode GD Isogéométrique. Ainsi, nous introduisons le schéma DG pour les lois de conservation et les principes fondamentaux de l'Analyse Isogéométrique. La représentation mathématique de la Conception Assistée par Ordinateur (CAO) est expliquée et des algorithmes de manipulation de la géométrie sont présentés. Nous montrons ensuite comment une description compatible avec la méthode GD peut être extraite à partir de la CAO, ce qui nous permet d'employer une discrétisation GD géométriquement exacte pour résoudre les équations de la mécanique des fluides. Enfin, nous réalisons deux expériences numériques simples pour illustrer l'impact de la représentation des frontières sur les simulations d'écoulement.Nous étendons ensuite la méthodologie GD Isogéométrique aux domaines déformables en utilisant le formalisme Lagrangien-Eulérien Arbitraire (ALE). Après une analyse des schémas ALE-GD existants, nous proposons une formulation ALE utilisant le cadre Isogéométrique. Les fonctions de base de la CAO sont également adoptées pour déformer le maillage, ce qui conduit à une description entièrement unifiée des variables de simulation. En outre, nous montrons comment l'algorithme de déformation de maillage proposé peut être couplé de manière transparente avec le Raffinement de Maillage Adaptatif (AMR). L'approche présentée est d'abord validée avec deux problèmes analytiques, montrant des taux de convergence optimaux. Ensuite, nous simulons les écoulements à travers un cylindre oscillant et un profil aérodynamique pour prouver la robustesse de la méthodologie. Deuxièmement, nous proposons d'utiliser des maillages glissants pour les écoulements avec des composantes en rotation, comme alternative à la technique ALE basée sur la déformation. En utilisant les fonctions de base de la CAO, les interfaces circulaires peuvent être représentées exactement. Par conséquent, il est possible de développer une formulation de glissement de maillage d'ordre élevé et entièrement conservative. Nous commençons par détailler le traitement de la géométrie de l'interface de glissement et le calcul des flux numériques. Ensuite, nous montrons la convergence optimale de l'approche implémentée en utilisant un problème analytique. Nous caractérisons ensuite le comportement de l'interface de glissement en considérant l'écoulement autour d’un obstacle elliptique oscillant. Enfin, une éolienne à axe vertical est simulée pour présenter un cas d'essai plus complexe sur le plan topologique. Enfin, nous appliquons la formulation ALE proposée à un problème de contrôle d'écoulement. En particulier, nous considérons un actionnement dynamique de morphing du bord de fuite pour contrôler la séparation de la couche limite laminaire autour d'un profil NACA. En utilisant l'algorithme de déformation de maillage proposé, nous développons un modèle de morphing de bord de fuite d'ordre élevé. Afin de trouver le jeu optimal de paramètres de contrôle, le simulateur d'écoulements est couplé à un algorithme d'optimisation Bayésienne. Grâce au couplage fort entre la description de la géométrie et les schémas numériques, la chaîne de conception résultante est entièrement automatisée. Les possibilités du cadre proposé sont explorées en considérant des problèmes d'optimisation simple-objectifs et multi-objectifs

Méthode de Galerkin discontinue isogéométrique avec domaines dépendants du temps

Time-dependent domains are encountered in a vast category of fluid mechanics applications. Such problems are often characterised by complex geometries and physical phenomena. The aim of the present dissertation is the development of an accurate and reliable methodology to investigate compressible flows with time-dependent geometries. To this end, we combine ideas from Isogeometric Analysis (IGA) and high-order numerical schemes for fluid dynamics, specifically Discontinuous Galerkin (DG) methods. We start by discussing the implementation details of the Isogeometric DG method. To this end, we introduce the DG scheme for conservation laws and the fundamentals of IGA. The mathematical representation of Computer Aided Design (CAD) is explained and some important geometry manipulation algorithms are presented. We then show how a DG-compatible description can be extracted starting from a CAD object, allowing us to employ a geometrically exact DG discretisation to solve the equations of fluid mechanics. Finally, we conduct two simple numerical experiments to illustrate the impact of the boundary representation on flow simulations.We then proceed to extend the Isogeometric DG methodology to deformable domains using the Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) formalism. After an analysis of the existing ALE-DG schemes, we propose an ALE formulation using the Isogeometric framework. The CAD basis functions are also adopted to deform the mesh, leading to a fully unified description of the simulation variables. Besides, we show how the proposed grid velocity algorithm can be seamlessly coupled with Adaptive Mesh Refinement (AMR). The presented approach is firstly validated with two analytical problems, showing optimal convergence rates. Then, we simulate the flows past an oscillating cylinder and a pitching airfoil to prove the robustness of the methodology. We conclude by demonstrating the capabilities of the developed ALE-AMR coupling algorithm using the pitching airfoil benchmark. Secondly, we propose to employ sliding grids for flows with rotating components, as an alternative to the deformation-based ALE technique. Using the CAD basis functions, circular interfaces can be exactly represented. Therefore, it is possible to develop a high-order and fully conservative sliding mesh formulation. We begin by detailing the treatment of the sliding interface geometry and the computation of the numerical fluxes. Then, we show the optimal convergence of the implemented approach using an analytical problem. We further characterise the behaviour of the sliding interface considering the flow past a pitching ellipse. We show that the sliding mesh technique and the deformation-based ALE methodology are equivalent in terms of accuracy. Finally, a vertical axis wind turbine is simulated to present a more topologically complex test case. Lastly, we apply the proposed ALE formulation to a flow control problem. In particular, we consider a dynamic trailing edge morphing actuation to control the separation of the laminar boundary layer around a NACA 6-series airfoil. Using the proposed mesh deformation algorithm, we develop a high-order accurate trailing edge morphing model. In order to find the optimal set of control parameters, the flow solver is coupled with a Bayesian optimisation algorithm. Thanks to the strong coupling between the geometry description and the numerical schemes, the resulting design chain is fully automated. The capabilities of the proposed framework are explored considering both single-objective and multi-objective optimisation problems.Les domaines dépendant du temps sont rencontrés dans une vaste catégorie d'applications de la mécanique des fluides. De tels problèmes sont souvent caractérisés par des géométries et des phénomènes physiques complexes. L'objectif de cette thèse est de développer une méthodologie précise et fiable pour étudier les écoulements compressibles avec des géométries dépendant du temps. Ainsi, nous combinons des idées provenant de l'Analyse Isogéométrique et des schémas numériques d'ordre élevé pour la dynamique des fluides, en particulier les méthodes de Galerkin Discontinues (GD).Nous commençons par discuter les détails de mise en œuvre de la méthode GD Isogéométrique. Ainsi, nous introduisons le schéma DG pour les lois de conservation et les principes fondamentaux de l'Analyse Isogéométrique. La représentation mathématique de la Conception Assistée par Ordinateur (CAO) est expliquée et des algorithmes de manipulation de la géométrie sont présentés. Nous montrons ensuite comment une description compatible avec la méthode GD peut être extraite à partir de la CAO, ce qui nous permet d'employer une discrétisation GD géométriquement exacte pour résoudre les équations de la mécanique des fluides. Enfin, nous réalisons deux expériences numériques simples pour illustrer l'impact de la représentation des frontières sur les simulations d'écoulement.Nous étendons ensuite la méthodologie GD Isogéométrique aux domaines déformables en utilisant le formalisme Lagrangien-Eulérien Arbitraire (ALE). Après une analyse des schémas ALE-GD existants, nous proposons une formulation ALE utilisant le cadre Isogéométrique. Les fonctions de base de la CAO sont également adoptées pour déformer le maillage, ce qui conduit à une description entièrement unifiée des variables de simulation. En outre, nous montrons comment l'algorithme de déformation de maillage proposé peut être couplé de manière transparente avec le Raffinement de Maillage Adaptatif (AMR). L'approche présentée est d'abord validée avec deux problèmes analytiques, montrant des taux de convergence optimaux. Ensuite, nous simulons les écoulements à travers un cylindre oscillant et un profil aérodynamique pour prouver la robustesse de la méthodologie. Deuxièmement, nous proposons d'utiliser des maillages glissants pour les écoulements avec des composantes en rotation, comme alternative à la technique ALE basée sur la déformation. En utilisant les fonctions de base de la CAO, les interfaces circulaires peuvent être représentées exactement. Par conséquent, il est possible de développer une formulation de glissement de maillage d'ordre élevé et entièrement conservative. Nous commençons par détailler le traitement de la géométrie de l'interface de glissement et le calcul des flux numériques. Ensuite, nous montrons la convergence optimale de l'approche implémentée en utilisant un problème analytique. Nous caractérisons ensuite le comportement de l'interface de glissement en considérant l'écoulement autour d’un obstacle elliptique oscillant. Enfin, une éolienne à axe vertical est simulée pour présenter un cas d'essai plus complexe sur le plan topologique. Enfin, nous appliquons la formulation ALE proposée à un problème de contrôle d'écoulement. En particulier, nous considérons un actionnement dynamique de morphing du bord de fuite pour contrôler la séparation de la couche limite laminaire autour d'un profil NACA. En utilisant l'algorithme de déformation de maillage proposé, nous développons un modèle de morphing de bord de fuite d'ordre élevé. Afin de trouver le jeu optimal de paramètres de contrôle, le simulateur d'écoulements est couplé à un algorithme d'optimisation Bayésienne. Grâce au couplage fort entre la description de la géométrie et les schémas numériques, la chaîne de conception résultante est entièrement automatisée. Les possibilités du cadre proposé sont explorées en considérant des problèmes d'optimisation simple-objectifs et multi-objectifs

Isogeometric discontinuous Galerkin method with time-dependent domains

Les domaines dépendant du temps sont rencontrés dans une vaste catégorie d'applications de la mécanique des fluides. De tels problèmes sont souvent caractérisés par des géométries et des phénomènes physiques complexes. L'objectif de cette thèse est de développer une méthodologie précise et fiable pour étudier les écoulements compressibles avec des géométries dépendant du temps. Ainsi, nous combinons des idées provenant de l'Analyse Isogéométrique et des schémas numériques d'ordre élevé pour la dynamique des fluides, en particulier les méthodes de Galerkin Discontinues (GD).Nous commençons par discuter les détails de mise en œuvre de la méthode GD Isogéométrique. Ainsi, nous introduisons le schéma DG pour les lois de conservation et les principes fondamentaux de l'Analyse Isogéométrique. La représentation mathématique de la Conception Assistée par Ordinateur (CAO) est expliquée et des algorithmes de manipulation de la géométrie sont présentés. Nous montrons ensuite comment une description compatible avec la méthode GD peut être extraite à partir de la CAO, ce qui nous permet d'employer une discrétisation GD géométriquement exacte pour résoudre les équations de la mécanique des fluides. Enfin, nous réalisons deux expériences numériques simples pour illustrer l'impact de la représentation des frontières sur les simulations d'écoulement.Nous étendons ensuite la méthodologie GD Isogéométrique aux domaines déformables en utilisant le formalisme Lagrangien-Eulérien Arbitraire (ALE). Après une analyse des schémas ALE-GD existants, nous proposons une formulation ALE utilisant le cadre Isogéométrique. Les fonctions de base de la CAO sont également adoptées pour déformer le maillage, ce qui conduit à une description entièrement unifiée des variables de simulation. En outre, nous montrons comment l'algorithme de déformation de maillage proposé peut être couplé de manière transparente avec le Raffinement de Maillage Adaptatif (AMR). L'approche présentée est d'abord validée avec deux problèmes analytiques, montrant des taux de convergence optimaux. Ensuite, nous simulons les écoulements à travers un cylindre oscillant et un profil aérodynamique pour prouver la robustesse de la méthodologie. Deuxièmement, nous proposons d'utiliser des maillages glissants pour les écoulements avec des composantes en rotation, comme alternative à la technique ALE basée sur la déformation. En utilisant les fonctions de base de la CAO, les interfaces circulaires peuvent être représentées exactement. Par conséquent, il est possible de développer une formulation de glissement de maillage d'ordre élevé et entièrement conservative. Nous commençons par détailler le traitement de la géométrie de l'interface de glissement et le calcul des flux numériques. Ensuite, nous montrons la convergence optimale de l'approche implémentée en utilisant un problème analytique. Nous caractérisons ensuite le comportement de l'interface de glissement en considérant l'écoulement autour d’un obstacle elliptique oscillant. Enfin, une éolienne à axe vertical est simulée pour présenter un cas d'essai plus complexe sur le plan topologique. Enfin, nous appliquons la formulation ALE proposée à un problème de contrôle d'écoulement. En particulier, nous considérons un actionnement dynamique de morphing du bord de fuite pour contrôler la séparation de la couche limite laminaire autour d'un profil NACA. En utilisant l'algorithme de déformation de maillage proposé, nous développons un modèle de morphing de bord de fuite d'ordre élevé. Afin de trouver le jeu optimal de paramètres de contrôle, le simulateur d'écoulements est couplé à un algorithme d'optimisation Bayésienne. Grâce au couplage fort entre la description de la géométrie et les schémas numériques, la chaîne de conception résultante est entièrement automatisée. Les possibilités du cadre proposé sont explorées en considérant des problèmes d'optimisation simple-objectifs et multi-objectifs.Time-dependent domains are encountered in a vast category of fluid mechanics applications. Such problems are often characterised by complex geometries and physical phenomena. The aim of the present dissertation is the development of an accurate and reliable methodology to investigate compressible flows with time-dependent geometries. To this end, we combine ideas from Isogeometric Analysis (IGA) and high-order numerical schemes for fluid dynamics, specifically Discontinuous Galerkin (DG) methods. We start by discussing the implementation details of the Isogeometric DG method. To this end, we introduce the DG scheme for conservation laws and the fundamentals of IGA. The mathematical representation of Computer Aided Design (CAD) is explained and some important geometry manipulation algorithms are presented. We then show how a DG-compatible description can be extracted starting from a CAD object, allowing us to employ a geometrically exact DG discretisation to solve the equations of fluid mechanics. Finally, we conduct two simple numerical experiments to illustrate the impact of the boundary representation on flow simulations.We then proceed to extend the Isogeometric DG methodology to deformable domains using the Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) formalism. After an analysis of the existing ALE-DG schemes, we propose an ALE formulation using the Isogeometric framework. The CAD basis functions are also adopted to deform the mesh, leading to a fully unified description of the simulation variables. Besides, we show how the proposed grid velocity algorithm can be seamlessly coupled with Adaptive Mesh Refinement (AMR). The presented approach is firstly validated with two analytical problems, showing optimal convergence rates. Then, we simulate the flows past an oscillating cylinder and a pitching airfoil to prove the robustness of the methodology. We conclude by demonstrating the capabilities of the developed ALE-AMR coupling algorithm using the pitching airfoil benchmark. Secondly, we propose to employ sliding grids for flows with rotating components, as an alternative to the deformation-based ALE technique. Using the CAD basis functions, circular interfaces can be exactly represented. Therefore, it is possible to develop a high-order and fully conservative sliding mesh formulation. We begin by detailing the treatment of the sliding interface geometry and the computation of the numerical fluxes. Then, we show the optimal convergence of the implemented approach using an analytical problem. We further characterise the behaviour of the sliding interface considering the flow past a pitching ellipse. We show that the sliding mesh technique and the deformation-based ALE methodology are equivalent in terms of accuracy. Finally, a vertical axis wind turbine is simulated to present a more topologically complex test case. Lastly, we apply the proposed ALE formulation to a flow control problem. In particular, we consider a dynamic trailing edge morphing actuation to control the separation of the laminar boundary layer around a NACA 6-series airfoil. Using the proposed mesh deformation algorithm, we develop a high-order accurate trailing edge morphing model. In order to find the optimal set of control parameters, the flow solver is coupled with a Bayesian optimisation algorithm. Thanks to the strong coupling between the geometry description and the numerical schemes, the resulting design chain is fully automated. The capabilities of the proposed framework are explored considering both single-objective and multi-objective optimisation problems

An Arbitrary Lagrangian Eulerian Formulation for Isogeometric Discontinuous Galerkin Schemes

International audienceIn this work the Isogeometric Discontinuous Galerkin [1] method for solving hyperbolic conservation laws is extended to time dependent geometries using an Arbitrary Lagrangian Eulerian (ALE) approach. Among the various ALE formulations that have been proposed in the context of Discontinuous Galerkin schemes, we consider the one presented in [2], which ensures the respect of the preservation of constant solutions without the need of any additional equation. The Isogeometric paradigm allows us to easily handle arbitrary high-order mesh deformations by simply moving the control point net, obtaining smooth displacements thanks to the regularity properties of NURBS. The proposed approach is validated using analytic test cases for the 2D advection and compressible Euler equations, optimal convergence rates are shown from 2 nd up to 6 th order of accuracy, without significant loss of precision with respect to fixed grids. Next, the laminar viscous flow around a 2D oscillating cylinder [3] is investigated using NURBS patches, so that the geometry can be exactly represented even with very coarse discretizations. Different mesh movement techniques are compared, the simulation is performed using both a rigidly moving domain and a smooth displacement field. We show that the use of a high-order deformation does not impact the time evolution of the aerodynamic coefficients. We also propose a strategy to deal with non-conforming grids in the case of non-linear mesh movement laws, allowing the use of a quadtree-like local mesh refinement in the ALE framework. This methodology is exploited for the simulation of a pitching NACA 0012 airfoil, where the Isogeometric approach is compared with classical linear grids in order to assess the gain of using a high-order geometric representation. REFERENCES [1] Duvigneau, R. Isogeometric analysis for compressible flows using a Discontinuous Galerkin method, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 333 (2018), 443-461 [2] Nguyen, V. T. An arbitrary Lagrangian-Eulerian Discontinuous Galerkin method for simulations of flows over variable geometries, Journal of Fluids and Structures 26 (2010), 312-329 [3] Persson, P. O. Peraire, J. Bonet, J. Discontinuous Galerkin solution of the Navier-Stokes equations on deformable domains, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 198 (2009), 1585-159