Numerical methods and accurate computations with structured matrices

Esta tesis doctoral es un compendio de 11 artículos científicos. El tema principal de la tesis es el Álgebra Lineal Numérica, con énfasis en dos clases de matrices estructuradas: las matrices totalmente positivas y las M-matrices. Para algunas subclases de estas matrices, es posible desarrollar algoritmos para resolver numéricamente varios de los problemas más comunes en álgebra lineal con alta precisión relativa independientemente del número de condición de la matriz. La clave para lograr cálculos precisos está en el uso de una parametrización diferente que represente la estructura especial de la matriz y en el desarrollo de algoritmos adaptados que trabajen con dicha parametrización.Las matrices totalmente positivas no singulares admiten una factorización única como producto de matrices bidiagonales no negativas llamada factorización bidiagonal. Si conocemos esta representación con alta precisión relativa, se puede utilizar para resolver ciertos sistemas de ecuaciones y para calcular la inversa, los valores propios y los valores singulares con alta precisión relativa. Nuestra contribución en este campo ha sido la obtención de la factorización bidiagonal con alta precisión relativa de matrices de colocación de polinomios de Laguerre generalizados, de matrices de colocación de polinomios de Bessel, de clases de matrices que generalizan la matriz de Pascal y de matrices de q-enteros. También hemos estudiado la extensión de varias propiedades óptimas de las matrices de colocación de B-bases normalizadas (que en particular son matrices totalmente positivas). En particular, hemos demostrado propiedades de optimalidad de las matrices de colocación del producto tensorial de B-bases normalizadas.Si conocemos las sumas de filas y las entradas extradiagonales de una M-matriz no singular diagonal dominante con alta precisión relativa, entonces podemos calcular su inversa, determinante y valores singulares también con alta precisión relativa. Hemos buscado nuevos métodos para lograr cálculos precisos con nuevas clases de M-matrices o matrices relacionadas. Hemos propuesto una parametrización para las Z-matrices de Nekrasov con entradas diagonales positivas que puede utilizarse para calcular su inversa y determinante con alta precisión relativa. También hemos estudiado la clase denominada B-matrices, que está muy relacionada con las M-matrices. Hemos obtenido un método para calcular los determinantes de esta clase con alta precisión relativa y otro para calcular los determinantes de las matrices de B-Nekrasov también con alta precisión relativa. Basándonos en la utilización de dos matrices de escalado que hemos introducido, hemos desarrollado nuevas cotas para la norma infinito de la inversa de una matriz de Nekrasov y para el error del problema de complementariedad lineal cuando su matriz asociada es de Nekrasov. También hemos obtenido nuevas cotas para la norma infinito de las inversas de Bpi-matrices, una clase que extiende a las B-matrices, y las hemos utilizado para obtener nuevas cotas del error para el problema de complementariedad lineal cuya matriz asociada es una Bpi-matriz. Algunas clases de matrices han sido generalizadas al caso de mayor dimensión para desarrollar una teoría para tensores extendiendo la conocida para el caso matricial. Por ejemplo, la definición de la clase de las B-matrices ha sido extendida a la clase de B-tensores, dando lugar a un criterio sencillo para identificar una nueva clase de tensores definidos positivos. Hemos propuesto una extensión de la clase de las Bpi-matrices a Bpi-tensores, definiendo así una nueva clase de tensores definidos positivos que puede ser identificada en base a un criterio sencillo basado solo en cálculos que involucran a las entradas del tensor. Finalmente, hemos caracterizado los casos en los que las matrices de Toeplitz tridiagonales son P-matrices y hemos estudiado cuándo pueden ser representadas en términos de una factorización bidiagonal que sirve como parametrización para lograr cálculos con alta precisión relativa.<br /

Matrices estructuradas y alta precisión relativa

Esta memoria se enmarca, dentro del Algebra Lineal Numérica, en el campo de estudio de métodos numéricos adaptados a clases de matrices con estructura especial, que es un campo que muestra una intensa y creciente actividad investigadora. Concretamente, considerará clases de matrices para las que se encontrarán métodos numéricos cuyo cálculo se podrá llevar a cabo con alta precisión relativa. Conseguir cálculos precisos es una propiedad muy deseable para cualquier método numérico. El ideal es conseguir alta precisión relativa (independientemente del condicionamiento del problema). Sin embargo, hasta ahora sólo se ha podido garantizar dicha alta precisión relativa en un número muy reducido de métodos numéricos para una lista muy reducida de problemas matemáticos. En particular, en métodos aplicados a matrices con una estructura especial. Hasta ahora, las principales clases de matrices para las que se han podido desarrollar métodos con alta precisión relativa han sido clases de matrices cuya estructura tiene alguna relación con la positividad o bien con la dominancia diagonal. Las matrices no negativas han aparecido con gran frecuencia en aplicaciones a los campos más diversos, como la Física, Química, Biología, Ingeniería, Economía y Ciencias Sociales. Además, el bien conocido resultado sobre la positividad de su valor propio dominante y vector propio asociado (Teorema de Perron-Frobenius) ha sido un instrumento clave en la modelización matemática de muchas situaciones reales. En general, las clases de matrices relacionadas con la positividad se han mostrado muy fructíferas en las aplicaciones. En particular, en los problemas de aproximación, representación aproximada de curvas y superficies y diseño geométrico asistido por ordenador es frecuente que aparezcan matrices con una estructura especial relacionada con la positividad. Por ejemplo, es muy frecuente que aparezcan matrices no negativas e incluso totalmente positivas (es decir, con todos sus menores no negativos). En los últimos años, se han visto las grandes ventajas que conlleva encontrar algoritmos adaptados a la estructura especial de estas matrices. Las matrices totalmente positivas están dentro de la clase más amplia de las matrices signo regulares, que es una de las clases de matrices a considerar en la tesis. Una matriz de orden n es signo regular si todos sus menores de orden k, para cada k=1,... ,n, tienen el mismo signo o son cero. El interés de las matrices signo regulares no singulares en muchas aplicaciones es debido a su caracterización como aplicaciones lineales que disminuyen la variación de signo. Se pueden encontrar muchas aplicaciones de estas transformaciones en [4], [15], y [19]. Uno de los logros de la memoria ha sido la caracterización de las matrices signo regulares no singulares Jacobi (o tridiagonales). En contraste con los abundantes resultados publicados sobre matrices totalmente positivas (véase, por ejemplo, los libros [10], [12], [15] y [21] o los surveys que aparecen en [2], [8], [9], [11] y [13]), son mucho más escasos los resultados publicados en el caso de las signo regulares. Una de las razones que podría explicar esta diferencia es el papel que ha jugado en los últimos años la eliminación de Neville (véase [14]) en la teoría de la Total Positividad. Este procedimiento de eliminación es muy conveniente cuando se trata con matrices totalmente positivas y también preserva su estructura. Además, los multiplicadores de la eliminación de Neville determinan la descomposición de matrices totalmente positivas no singulares en producto de bidiagonales y son parámetros naturales de las matrices totalmente positivas de cara a obtener algoritmos con alta precisión relativa. De hecho, en [16] se probó que si se conocen dichos multiplicadores y los pivotes diagonales (que determinan la descomposición bidiagonal de la matriz) con alta precisión relativa, entonces se pueden calcular sus inversas, valores propios o valores singulares con alta precisión relativa. Esta idea se ha aplicado a garantizar cálculos con alta precisión relativa en subclases de matrices totalmente positivas como las de Vandermonde [6], las de Bernstein-Vandemonde [17], las de Pascal [1] o matrices de colocación de bases racionales [5]. En esta memoria presentamos una clase de matrices, llamadas SBD, que incluyen a las totalmente positivas y a sus inversas. Veremos que para esta clase de matrices también podremos obtener algoritmos con alta precisión relativa para calcular sus inversas, valores propios o valores singulares a partir de la descomposición bidiagonal. Otra de las clases de matrices relacionada con algoritmos de alta precisión relativa es la clase de las M-matrices. Recordemos que las M-matrices (en el caso no singular) son matrices que tienen elementos diagonales positivos, elementos extradiagonales no positivos y cuya inversa es no negativa. Constituyen una clase de matrices que ha dado lugar a importantes aplicaciones en Análisis Numérico, en programación lineal, en sistemas dinámicos y en economía (véase [3]). Una descomposición reveladora del rango de una matriz A es una factorización A=XDY^T, donde D es diagonal no singular y X,Y son bien condicionadas. En [6] se probó que si se conoce una descomposición reveladora del rango con alta precisión relativa, también se pueden conocer los valores singulares con alta precisión relativa. Métodos para el cálculo de una descomposición reveladora del rango de M-matrices diagonal dominantes se han obtenido en [7] y [20], usando ambos eliminación gaussiana, pero [7] con la estrategia de pivotaje completo y [20] con la estrategia introducida en [18]. En el caso de estas matrices, los parámetros naturales que se suponen conocidos de antemano para poder garantizar alta precisión relativa son los elementos extradiagonales y las sumas de filas. Aquí veremos que un método que se puede implementar mejorando las propiedades de [7] y [20]. Además lo extendemos a una clase de Z-matrices (recordemos que una matriz cuadrada es una Z-matriz si sus elementos extradiagonales son no positivos) que llamamos cuasi-diagonal dominantes. En el Capítulo 1 introducimos conceptos y notaciones básicos así como resultados auxiliares. Muchas de las clases de matrices conocidas mencionadas en la memoria habrán sido presentadas en este capítulo, así como las descomposiciones matriciales usadas más importantes. También se introducirán los algoritmos de corte de esquinas, de gran importancia en diseño geométrico asistido por ordenador (CAGD) y para los que obtendremos una aplicación en el Capítulo 3. Finalmente, introducimos el concepto de alta precisión relativa y recordamos que podremos asegurar que un algoritmo cumplirá dicha propiedad si no usa restas (salvo en los datos iniciales). El Capítulo 2 está dedicado a las matrices signo regulares no singulares de Jacobi y a alguna extensión de las mismas. Por un lado, se caracterizan de diversas maneras y, por otro lado, se ve su relación con las matrices diagonal dominantes y otras clases de matrices. El Capítulo 3 se dedica a las matrices SBD, que son introducidas en el mismo, y a otras clases de matrices relacionadas. Realizamos un estudio sistemático de clases de matrices que admitan descomposiciones bidiagonales con objeto de tratar de adaptarles las técnicas que han permitidos la obtención de algoritmos con alta precisión relativa en el caso de matrices totalmente positivas. Para ello fue conveniente explorar condiciones de signo en las descomposiciones bidiagonales. Para las clases de matrices resultantes de nuestro estudio, las matrices SBD, se realizó también un análisis matricial clásico, estudiando los signos de sus menores o su comportamiento con respecto a los complementos de Schur o al producto de Hadamard, comparando dicho comportamiento con el de las matrices totalmente positivas, como se puede ver en este capítulo. Se prueba la estabilidad backward (o regresiva) que tiene la eliminación Gaussiana sin realizar pivotaje en las matrices SBD. Se extienden a clases de matrices más amplias desigualdades válidas para las matrices totalmente positivas y relacionadas con el mínimo valor propio, el complemento de Schur y el producto de Hadamard. También se presenta una aplicación a diseño asistido por ordenador. En el Capítulo 4 encontramos para la clase de las M-matrices no singulares diagonal dominantes una implementación de su factorización LDU (con una adecuada estrategia de pivotaje) que es más económica que las de [7] y [20]. Así, se podrá aplicar con ventaja en el cálculo de valores singulares con alta precisión relativa. También extendemos y adaptamos las técnicas que han permitido la obtención de algoritmos con alta precisión relativa para M-matrices no singulares diagonal dominantes a clases de matrices más generales u otras clases de matrices relacionadas. En particular, a las Z-matrices cuasi-diagonal dominantes. Finalmente, se presentarán otras clases de matrices relacionadas y se estudiarán algunas de sus propiedades. Terminamos la memoria con un apéndice que presenta una aplicación informática que puede resultar muy útil cuando se quieren comparar experimentos numéricos obtenidos con dos entornos distintos de cálculo matemático, como les ocurre a los experimentos numéricos presentados en esta memoria. Bibliografía [1] P. Alonso, J. Delgado, R. Gallego, and J.M. Peña, Conditioning and accurate computations with Pascal matrices, J. Comput. Appl. Math. 252 (2013), 21-26. [2] T. Ando, Totally positive matrices, Linear Algebra Appl. 90 (1987), 165-219. [3] A. Berman and R.J. Plemmons, Nonnegative matrices in the mathematical sciences, Classics in Applied Mathematics, 9, SIAM, Philadelphia, 1994. [4] L.D. Brown, I.M. Johnstone, and K.B. MacGibbon, Variation diminishing transformations: a direct approach to total positivity and its statistical applications, J. Amer. Statist. 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Aplicaciones de las P-matrices a modelos matemáticos

Se planteará la construcción de un modelo matemático aplicado a la resolución de algún problema perteneciente a alguna rama de las ciencias naturales o sociales. Tras la formulación matemática del modelo, se procederá a su resolución matemática, interpretando posteriormente las soluciones en el contexto original en que surge el modelo

Interpolación en mallas rectangulares no uniformes

Dado un espacio de funciones y un conjunto de puntos, una función interpolante es una función delespacio que pasa por dichos puntos. La interpolación conduce a la obtención de nuevos puntos partiendo de un conjunto discreto de puntos conocidos, siendo la interpolación polinómica en una variable unmétodo bastante antiguo muy utilizado en matemática aplicada (véase [1]). En el caso multivariado, eldesarrollo de este tema se ha visto influenciado por la disponibilidad de instalaciones computacionalesmás complejas, y es por eso que el interés es bastante reciente, comenzando en la segunda mitad delsiglo XX. La interpolación multivariada de polinomios es, a pesar de ser relativamente reciente, un tema fundamental en teoría de la aproximación y análisis numérico (véase [3]-[6]). Hoy en día es muyutilizada como técnica de remuestreo (para estimar la precisión de muestras estadísticas) para el procesamiento digital de imágenes y la visión por computadora. En este trabajo veremos el desarrollo deciertas fórmulas y técnicas en interpolación en dos variables, así como programas informáticos que nospermiten ejecutarlas de forma rápida y eficaz.El método más clásico para la interpolación bivariada es el producto tensorial de funciones de interpolación en una variable. En el primer capítulo introducimos estos espacios de tipo producto tensorial.El problema de interpolación de Lagrange en espacios polinómicos bivariados de este tipo se introduceen el segundo capítulo. La unisolvencia de este problema requiere ciertas condiciones, como que lospuntos de interpolación formen una malla rectangular. Veremos en el segundo capítulo una caracterización de la unisolvencia del problema de interpolación de Lagrange bivariado, que permite mostrarejemplos sencillos en los que esta no se cumple.Más adelante, en el capítulo 3 sobre interpolaciones en mallas rectangulares, obtendremos la expresión del polinomio de interpolación de Lagrange bivariado a partir del resultado conocido en unavariable y tras haber demostrado que la solución es única.De manera similar, tras adaptar conceptos de interpolación en una variable al contexto bivariado ydemostrar que, para interpolar en una malla basta con hacerlo primero en una variable y luego en la otra,podremos obtener una fórmula de Newton bivariada en el capítulo 4. Después, en el capítulo 5, demostraremos ciertas propiedades y expresiones sobre el error de interpolación de la fórmula de Newton endos variables.El capítulo 6 es un caso particular de todo lo anterior, en el que fijamos el grado total del polinomiobivariado en vez de especificar cuál es el grado en cada variable, de forma que se tiene una malla triangular en vez de una rectangular, lo cual simplifica las operaciones.La aplicación de toda esta teoría se verá en la parte final del trabajo (el capítulo 7), donde utilizaremos programas desarrollados en Fortran para obtener y representar gráficamente el polinomio deinterpolación de ciertas funciones, así como el error obtenido.<br /

Cálculos precisos con algunas clases de matrices

El problema de controlar el error de redondeo es fundamental en análisis numérico. Un análisis del error clásico depende del condicionamiento del problema y un enfoque novedoso en este tema radica en considerar algoritmos con alta precisión relativa. En particular, para cálculos con clases de matrices estructuradas. En estos algoritmos se parte de parametrizaciones de las matrices que permiten asegurar la alta precisión relativa independientemente del condicionamiento de las mismas. Hasta ahora, los ejemplos de clases de matrices encontrados que presentan esta ventaja son o están relacionados con subclases de las P-matrices. Recordemos que una P-matriz es una matriz cuadrada con todos los menores principales positivos. En este documento recopilamos parametrizaciones adecuadas para dos subclases de las P-matrices que destacan por sus muchas aplicaciones: las matrices totalmente positivas no singulares y las M-matrices no singulares. Presentamos la factorización bidiagonal y la eliminación de Neville, ambas herramientas fundamentales para realizar cálculos con alta precisión relativa al trabajar con una matriz totalmente positiva, e ilustramos como emplear la parametrización dada por la factorización bidiagonal para llevar a cabo diversos cálculos matriciales de forma precisa. Los cálculos que describimos son la base necesaria para la obtención de inversas y valores propios y singulares de estas matrices asegurando la alta precisión relativa. En el caso de las M-matrices no singulares, presentamos algoritmos con alta precisión relativa cuando éstas además cumplen la condición de dominancia diagonal. Podemos calcular los valores singulares de estas matrices apoyándonos en la descomposición LDU obtenida utilizando eliminación Gaussiana con las llamadas técnicas de pivotaje simétrico. Además, presentamos algoritmos con alta precisión relativa para las Z-matrices Nekrasov con elementos diagonales positivos, las cuales constituyen una clase de matrices para las que hasta ahora no había algoritmos con alta precisión relativa. Para dicha clase de matrices se propone una parametrización a partir de la cual se obtienen algoritmos con alta precisión relativa para el cálculo de inversas y para el cálculo de sistemas de ecuaciones lineales con términos independientes no negativos

Matrices de Nekrasov y alta precisión relativa

Esta memoria se centra en el estudio de las matrices de Nekrasov, una clase de matrices íntimamente relacionada con las M-matrices diagonalmente dominantes. Se introduce una parametrización para las matrices de Nekrasov, a partir de la cual se desarrollan algoritmos con alta precisión relativa para el cálculo de inversas y para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con términos independientes no negativos. También, se construyen dos matrices de escalado para las matrices de Nekrasov que las llevan a forma estrictamente diagonalmente dominante. A partir de ahí, se deducen cotas para la norma de la inversa de una matriz de Nekrasov, problema con importantes aplicaciones potenciales

Algorithmic characterization of pentadiagonal ASSR matrices

Amatrix is sign regular if all its minors of the same order are of the same sign. A very important subclass of sign regular matrices is formed by those matrices whose non-trivial minors are non-zero. These matrices are called almost strictly sign regular matrices. In this work, an algorithmic characterization of pentadiagonal almost strictly sign regular matrices is presented