kk-Theory for Banach Algebras I: The Non-Equivariant Case

kk$^{\text{ban}}$ is a bivariant K-theory for Banach algebras that has reasonable homological properties, a product and is Morita invariant in a very general sense. We define it here by a universal property and ensure its existence in a rather abstract manner using triangulated categories. The definition ensures that there is a natural transformation from Lafforgue's theory KK$^{\text{ban}}$ into it so that one can take products of elements in KK$^{\text{ban}}$ that lie in kk$^{\text{ban}}$.Comment: 43 page

A note on Banach C₀(X)-modules

The projective tensor product over C₀(X) of locally C₀(X)-convex non-degene-rate Banach C₀(X)-modules is again locally C₀(X)-convex

KK-Theory for Banach Algebras and Proper Groupoids

Analog zur Definition der Assembly-Abbildung von Baum-Connes hat V. Lafforgue einen Homomorphismus \mu_A^B von K^top(G,B) nach K(A(G,B)) konstruiert, wobei G eine lokalkompaktes Gruppoid, B eine G-C^*-Algebra und A(G) eine sogenannte unbedingte Vervollständigung von C_c(G) ist. In der vorliegenden Arbeit werden statt G-C^*-Algebren nicht-entartete G-Banachalgebren betrachtet, und es wird bewiesen, daß der Homomorphismus \mu_A^B einen natürlichen Schnitt hat, falls die G-Banachalgebra B eigentlich (und die Vervollständigung A(G) nicht zu exotisch) ist. Die wichtigste Zutat zum Beweis ist die folgende Verallgemeinerung des Satzes von Green-Julg: Wenn G eigentlich und B eine G-Banachalgebra ist (und A(G) schwachen Bedingungen genügt), dann sind KK^ban_G(C_0(X),B) und RKK^ban(C_0(X/G); C_0(X/G), A(G,B)) isomorph, wobei X den Einheitenraum von G bezeichne. Es wird auch gezeigt, daß die Gruppoid-Version der KK^ban-Theorie unter verallgemeinerten Morphismen von Gruppoiden funktoriell ist.In analogy to the definition of the assembly map of Baum-Connes, V. Lafforgue has constructed a homomorphism \mu_A^B from K^top(G,B) to K_0(A(G,B)), where G is a locally compact groupoid, B is a G-C^*-algebra and A(G) is a so-called unconditional completion of C_c(G). In the present thesis, non-degenerate G-Banach algebras are considered instead of G-C^*-algebras. The main result asserts that the map \mu_A^B is split surjective if the G-Banach algebra B is proper (and A(G) satisfies some mild condition). The proof rests on the following generalised version of the Green-Julg theorem: If G is proper and B is a G-Banach algebra (and A(G) satisfies some mild condition), then KK^ban_G(C_0(X),B) is naturally isomorphic to KK^ban(C_0(X/G); C_0(X/G), A(G,B)), where X denotes the unit space of G. It is also proved that the groupoid version of KK^ban is functorial under generalised morphisms of groupoids

Regeln lehren und Vorstellungen verankern

Das Lernen von Mathematik spielt sich häufig im Spannungsverhältnis zwischen konzeptuellem und prozeduralem Wissen ab (Rittle-Johnson & Siegler, 1998; Byr­nes & Wasik, 1991; Lenz & Wittmann, 2021; Hallett et al., 2012). Konzeptuelles Wissen wird dabei als solches Wissen verstanden, welches mit mathematischen Be­griffen, den mit ihnen verbundenen Vorstellungen und den Zusammenhängen der Begriffe untereinander zu tun hat; prozedural hingegen bedeutet, dass es darum geht, wie mathematische Objekte manipuliert, mit ihnen gearbeitet und gerechnet wird - häufig geht es dabei auch um das Durchführen von Algorithmen

Arbeitskreis: HochschulMathematikDidaktik

Der Bericht blickt auf die vergangene Herbsttagung 2016 in Würzburg sowie der Arbeitskreissitzung auf der Jahrestagung der GDM in Potsdam zurück. Zudem gibt er einen Ausblick auf die kommende Herbsttagung