4 research outputs found
Π ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ |x|s ΡΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΠ°Π»Π»Π΅ ΠΡΡΡΠ΅Π½Π° ΡΡΠ΄ΠΎΠ² Π€ΡΡΡΠ΅ ΠΏΠΎ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π΄ΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ Π§Π΅Π±ΡΡΠ΅Π²Π° β ΠΠ°ΡΠΊΠΎΠ²Π°
The approximative properties of the Valle Poussin means of the Fourier series by the system of the Chebyshev β Markov rational fractions in the approximation of the function |x|s, 0 < s < 2 are investigated. The introduction presents the main results of the previously known works on the Vallee Poussin means in the polynomial and rational cases, as well as on the known literature data on the approximations of functions with power singularity. The Valle Poussin means on the interval [β1,1] as a method of summing the Fourier series by one system of the Chebyshev β Markov rational fractions are introduced. In the main section of the article, a integral representation for the error of approximations by the rational Valle Poussin means of the function |x|s, 0 < s < 2, on the segment [β1,1], an estimate of deviations of the Valle Poussin means from the function |x|s, 0 < s < 2, depending on the position of the point on the segment, a uniform estimate of deviations on the segment [β1,1] and its asymptotic expression are found. The optimal value of the parameter is obtained, at which the deviation error of the Valle Poussin means from the function |x|s, 0 < s <2, on the interval [β1,1] has the highest velocity of zero. As a consequence of the obtained results, the problem of approximation of the function |x|s, s > 0, by the Valle Poussin means of the Fourier series by the system of the Chebyshev first-kind polynomials is studied in detail. The pointwise estimation of approximation and asymptotic estimation are established.The work is both theoretical and applied. Its results can be used to read special courses at mathematical faculties and to solve specific problems of computational mathematics.ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΡΡ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΡ
ΠΠ°Π»Π»Π΅ ΠΡΡΡΠ΅Π½Π° ΡΡΠ΄ΠΎΠ² Π€ΡΡΡΠ΅ ΠΏΠΎ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ
Π΄ΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ Π§Π΅Π±ΡΡΠ΅Π²Π° β ΠΠ°ΡΠΊΠΎΠ²Π° Π² ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ |x|s, 0 < s < 2. ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΡΠ°Π½Π΅Π΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΡ
ΡΠ°Π±ΠΎΡ ΠΎ ΡΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΡ
ΠΠ°Π»Π»Π΅ ΠΡΡΡΠ΅Π½Π° Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΈ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ
, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡΡ. ΠΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π² ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΠ΅ ΠΠ°Π»Π»Π΅ ΠΡΡΡΠ΅Π½Π° Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ [β1,1] ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΡΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΄ΠΎΠ² Π€ΡΡΡΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ
Π΄ΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ Π§Π΅Π±ΡΡΠ΅Π²Π° β ΠΠ°ΡΠΊΠΎΠ²Π°. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅Π½ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΠ°Π»Π»Π΅ ΠΡΡΡΠ΅Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ |x|s, 0 < s < 2, Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ [β1,1], ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠ° ΡΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΡ
ΠΠ°Π»Π»Π΅ ΠΡΡΡΠ΅Π½Π° ΠΎΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ |x|s, 0 < s < 2, Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ x Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½Π°Ρ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠ° ΡΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ [β1,1] ΠΈ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΅ ΠΌΠ°ΠΆΠΎΡΠ°Π½ΡΡ. Π£ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ°, ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΡ
ΠΠ°Π»Π»Π΅ ΠΡΡΡΠ΅Π½Π° ΠΎΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ |x|s, 0 < s < 2, Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ [β1,1] ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²ΡΡΠΎΠΊΡΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊ Π½ΡΠ»Ρ. ΠΠ°ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ
ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½Π° Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ |x|s, s > 0, ΡΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΠ°Π»Π»Π΅ ΠΡΡΡΠ΅Π½Π° ΡΡΠ΄ΠΎΠ² Π€ΡΡΡΠ΅ ΠΏΠΎ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² Π§Π΅Π±ΡΡΠ΅Π²Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠ΄Π°. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ ΠΏΠΎΡΠΎΡΠ΅ΡΠ½Π°Ρ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠ° ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠ°.Π Π°Π±ΠΎΡΠ° Π½ΠΎΡΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΠΎΠΉ Ρ
Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ. ΠΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΏΠ΅ΡΠΊΡΡΡΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΡΠ°ΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅ΡΠ°Ρ
, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ
Π·Π°Π΄Π°Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ
Π‘ΡΠΌΠΌΡ ΠΠ±Π΅Π»Ρ β ΠΡΠ°ΡΡΠΎΠ½Π° ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ΄ΠΎΠ² Π€ΡΡΡΠ΅ β Π§Π΅Π±ΡΡΠ΅Π²Π° ΠΈ ΠΈΡ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°
Herein, the approximation properties of the Abel β Poisson means of rational conjugate Fourier series on the system of the ChebyshevβMarkov algebraic fractions are studied, and the approximations of conjugate functions with density | x |s , s β(1, 2), on the segment [β1,1] by this method are investigated. In the introduction, the results related to the study of the polynomial and rational approximations of conjugate functions are presented. The conjugate Fourier series on one system of the Chebyshev β Markov algebraic fractions is constructed. In the main part of the article, the integral representation of the approximations of conjugate functions on the segment [β1,1] by the method under study is established, the asymptotically exact upper bounds of deviations of conjugate Abel β Poisson means on classes of conjugate functions when the function satisfies the Lipschitz condition on the segment [β1,1] are found, and the approximations of the conjugate Abel β Poisson means of conjugate functions with density | x |s , s β(1, 2), on the segment [β1,1] are studied. Estimates of the approximations are obtained, and the asymptotic expression of the majorant of the approximations in the final part is found. The optimal value of the parameter at which the greatest rate of decreasing the majorant is provided is found. As a consequence of the obtained results, the problem of approximating the conjugate function with density | x |s , s β(1, 2), by the Abel β Poisson means of conjugate polynomial series on the system of Chebyshev polynomials of the first kind is studied in detail. Estimates of the approximations are established, as well as the asymptotic expression of the majorants of the approximations. This work is of both theoretical and applied nature. It can be used when reading special courses at mathematical faculties and for solving specific problems of computational mathematics.ΠΠ·ΡΡΠ°ΡΡΡΡ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΡΠΌΠΌ ΠΠ±Π΅Π»Ρ β ΠΡΠ°ΡΡΠΎΠ½Π° ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ
ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ
ΡΡΠ΄ΠΎΠ² Π€ΡΡΡΠ΅ ΠΏΠΎ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
Π΄ΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ Π§Π΅Π±ΡΡΠ΅Π²Π° β ΠΠ°ΡΠΊΠΎΠ²Π°, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ
Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ [β1,1] ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ | x |s , s β(1, 2). ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ, ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΠΈΠ΅ΡΡΠΊ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ
ΠΈ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΄Π° Π€ΡΡΡΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
Π΄ΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ Π§Π΅Π±ΡΡΠ΅Π²Π° β ΠΠ°ΡΠΊΠΎΠ²Π°. Π£ΡΡΠ°Π½Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ
Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ [β1,1] ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈΠ·ΡΡΠ°Π΅ΠΌΡΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΡΡ
Π½ΠΈΠ΅ Π³ΡΠ°Π½ΠΈ ΡΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ
ΡΡΠΌΠΌ ΠΠ±Π΅Π»Ρ β ΠΡΠ°ΡΡΠΎΠ½Π° Π½Π° ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°Ρ
H(Ξ³)[-1,1], Ξ³ β (0,1], ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ fΛ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ [β1,1] ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΠΈΠΏΡΠΈΡΠ° ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Ξ³, Ξ³ β (0,1], Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠΌΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΠ±Π΅Π»Ρ β ΠΡΠ°ΡΡΠΎΠ½Π° ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ | x |s , s β(1, 2), Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ [β1,1]. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Ρ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠΈ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΠΆΠΎΡΠ°Π½ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈ r β 1. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ°, ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΠΆΠΎΡΠ°Π½ΡΡ. ΠΠ°ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ
ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½Π° Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ | x |s , s > 0, ΡΡΠΌΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΠ±Π΅Π»Ρ β ΠΡΠ°ΡΡΠΎΠ½Π° ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ
ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ΄ΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² Π§Π΅Π±ΡΡΠ΅Π²Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠ΄Π°. Π£ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Ρ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠΈ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΠΆΠΎΡΠ°Π½ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π Π°Π±ΠΎΡΠ° Π½ΠΎΡΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΠΎΠΉ Ρ
Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ. ΠΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΏΠ΅ΡΠΊΡΡΡΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΡΠ°ΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅ΡΠ°Ρ
ΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ
Π·Π°Π΄Π°Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ
Π ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠ² ΠΡΠ°ΡΡΠΎΠ½Π° Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ ΡΡΠΌΠΌΠ°ΠΌΠΈ Π€Π΅ΠΉΠ΅ΡΠ° ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠ² Π€ΡΡΡΠ΅ β Π§Π΅Π±ΡΡΠ΅Π²Π°
Β Β ΠΠ·ΡΡΠ°ΡΡΡΡ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΡΠΌΠΌΠ°ΠΌΠΈ Π€Π΅ΠΉΠ΅ΡΠ° ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ
ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ
ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠ² Π€ΡΡΡΠ΅ β Π§Π΅Π±ΡΡΠ΅Π²Π° Ρ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ
ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ². Π ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ° ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Π²ΡΡΡΡΠΏΠ°Π΅Ρ ΠΊΠ»Π°ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡΡ
ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ ΠΡΠ°ΡΡΠΎΠ½Π° Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ [β1, 1]. Π£ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠΈ ΡΠ²Π΅ΡΡ
Ρ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ [β1, 1] ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠΈ ΡΠ²Π΅ΡΡ
Ρ ΠΏΠΎΡΠΎΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ
ΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΠΆΠΎΡΠ°Π½ΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΎΠ± Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠ² ΠΡΠ°ΡΡΠΎΠ½Π° ΠΏΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ
Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ
ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Ρ
Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ², ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ·ΡΡΠ°Π΅ΠΌΡΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ. Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΠΡΠ°ΡΡΠΎΠ½Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ |x|s, s β (0, 1], ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π²ΡΡΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ
ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ
Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΎΠ². Π ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Ρ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΠ½ΡΡ
Π²Π΅ΡΡ
Π½ΠΈΡ
Π³ΡΠ°Π½Π΅ΠΉ ΠΎΡΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠΌΠΌ Π€Π΅ΠΉΠ΅ΡΠ° ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ΄ΠΎΠ² Π€ΡΡΡΠ΅ β Π§Π΅Π±ΡΡΠ΅Π²Π° Π½Π° ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°Ρ
ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠ² ΠΡΠ°ΡΡΠΎΠ½Π° Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡΡ
ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ ΠΡΠ°ΡΡΠΎΠ½Π° Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅, Ρ Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ, ΡΡΠΌΠΌΠ°ΠΌΠΈ Π€Π΅ΠΉΠ΅ΡΠ° ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ΄ΠΎΠ² Π€ΡΡΡΠ΅ β Π§Π΅Π±ΡΡΠ΅Π²Π°.Β Β Approximations of the FejΓ©r sums of the Fourier β Chebyshev rational integral operators with restrictions on numerical geometrically different poles are herein studied. The object of research is the class of functions defined by Poisson integrals on the segment [β1, 1]. Integral representations of approximations and upper estimates of uniform approximations are established. In the case when the boundary function has a power singularity on the segment [β1, 1], upper estimates of pointwise and uniform approximations are found, and the asymptotic representation of the majorant of uniform approximations is found. As a separate problem, approximations of Poisson integrals for two geometrically different poles of the approximating rational function are considered. In this case, the optimal values of the parameters at which the highest rate of uniform approximations by the studied method is achieved are found. If the function |x|s, s β (0, 1], is approximated, then this rate is higher than the corresponding polynomial analogues. Consequently, asymptotic expressions of the exact upper bounds of the deviations of Fejer sums of polynomial Fourier β Chebyshev series on classes of Poisson integrals on a segment are obtained. Estimates of uniform approximations by Fejer sums of polynomial Fourier β Chebyshev series of functions given by Poisson integrals on a segment with a boundary function having a power singularity are also obtained.Β Β ΠΠ·ΡΡΠ°ΡΡΡΡ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΡΠΌΠΌΠ°ΠΌΠΈ Π€Π΅ΠΉΠ΅ΡΠ° ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ
ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ
ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠ² Π€ΡΡΡΠ΅ β Π§Π΅Π±ΡΡΠ΅Π²Π° Ρ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ
ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ². Π ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ° ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Π²ΡΡΡΡΠΏΠ°Π΅Ρ ΠΊΠ»Π°ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡΡ
ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ ΠΡΠ°ΡΡΠΎΠ½Π° Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ [β1, 1]. Π£ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠΈ ΡΠ²Π΅ΡΡ
Ρ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ [β1, 1] ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠΈ ΡΠ²Π΅ΡΡ
Ρ ΠΏΠΎΡΠΎΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ
ΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΠΆΠΎΡΠ°Π½ΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΎΠ± Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠ² ΠΡΠ°ΡΡΠΎΠ½Π° ΠΏΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ
Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ
ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Ρ
Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ², ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ·ΡΡΠ°Π΅ΠΌΡΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ. Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΠΡΠ°ΡΡΠΎΠ½Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ |x|s, s β (0, 1], ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π²ΡΡΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ
ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ
Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΎΠ². Π ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Ρ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΠ½ΡΡ
Π²Π΅ΡΡ
Π½ΠΈΡ
Π³ΡΠ°Π½Π΅ΠΉ ΠΎΡΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠΌΠΌ Π€Π΅ΠΉΠ΅ΡΠ° ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ΄ΠΎΠ² Π€ΡΡΡΠ΅ β Π§Π΅Π±ΡΡΠ΅Π²Π° Π½Π° ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°Ρ
ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠ² ΠΡΠ°ΡΡΠΎΠ½Π° Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡΡ
ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ ΠΡΠ°ΡΡΠΎΠ½Π° Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅, Ρ Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ, ΡΡΠΌΠΌΠ°ΠΌΠΈ Π€Π΅ΠΉΠ΅ΡΠ° ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ΄ΠΎΠ² Π€ΡΡΡΠ΅ β Π§Π΅Π±ΡΡΠ΅Π²Π°