О приближениях функции |x|s средними Валле Пуссена рядов Фурье по системе рациональных дробей Чебышева – Маркова

The approximative properties of the Valle Poussin means of the Fourier series by the system of the Chebyshev – Markov rational fractions in the approximation of the function |x|s, 0 < s < 2 are investigated. The introduction presents the main results of the previously known works on the Vallee Poussin means in the polynomial and rational cases, as well as on the known literature data on the approximations of functions with power singularity. The Valle Poussin means on the interval [–1,1] as a method of summing the Fourier series by one system of the Chebyshev – Markov rational fractions are introduced. In the main section of the article, a integral representation for the error of approximations by the rational Valle Poussin means of the function |x|s, 0 < s < 2, on the segment [–1,1], an estimate of deviations of the Valle Poussin means from the function |x|s, 0 < s < 2, depending on the position of the point on the segment, a uniform estimate of deviations on the segment [–1,1] and its asymptotic expression are found. The optimal value of the parameter is obtained, at which the deviation error of the Valle Poussin means from the function |x|s, 0 < s <2, on the interval [–1,1] has the highest velocity of zero. As a consequence of the obtained results, the problem of approximation of the function |x|s, s > 0, by the Valle Poussin means of the Fourier series by the system of the Chebyshev first-kind polynomials is studied in detail. The pointwise estimation of approximation and asymptotic estimation are established.The work is both theoretical and applied. Its results can be used to read special courses at mathematical faculties and to solve specific problems of computational mathematics.Исследуются аппроксимативные свойства средних Валле Пуссена рядов Фурье по системе рациональных дробей Чебышева – Маркова в приближении функции |x|s, 0 < s < 2. Приведены основные результаты ранее известных работ о средних Валле Пуссена в полиномиальном и рациональном случаях, а также известные литературные сведения о приближениях функций со степенной особенностью. Вводятся в рассмотрение средние Валле Пуссена на отрезке [–1,1] как метод суммирования рядов Фурье по одной системе рациональных дробей Чебышева – Маркова. Найдено интегральное представление приближений рациональными средними Валле Пуссена функции |x|s, 0 < s < 2, на отрезке [–1,1], оценка уклонений средних Валле Пуссена от функции |x|s, 0 < s < 2, в зависимости от положения точки x на отрезке, равномерная оценка уклонений на отрезке [–1,1] и асимптотическое выражение ее мажоранты. Установлено оптимальное значение параметра, при котором уклонения средних Валле Пуссена от функции |x|s, 0 < s < 2, на отрезке [–1,1] имеют наиболее высокую скорость стремления к нулю. Как следствие полученных результатов подробно исследована задача о приближениях функции |x|s, s > 0, средними Валле Пуссена рядов Фурье по системе многочленов Чебышева первого рода. Найдены поточечная оценка приближений и асимптотическая оценка.Работа носит как теоретический, так и прикладной характер. Возможно применение как при чтении спецкурсов на математических факультетах, так и для решения конкретных задач вычислительной математики

Суммы Абеля – Пуассона сопряженных рядов Фурье – Чебышева и их аппроксимационные свойства

Herein, the approximation properties of the Abel – Poisson means of rational conjugate Fourier series on the system of the Chebyshev–Markov algebraic fractions are studied, and the approximations of conjugate functions with density | x |s , s ∈(1, 2), on the segment [–1,1] by this method are investigated. In the introduction, the results related to the study of the polynomial and rational approximations of conjugate functions are presented. The conjugate Fourier series on one system of the Chebyshev – Markov algebraic fractions is constructed. In the main part of the article, the integral representation of the approximations of conjugate functions on the segment [–1,1] by the method under study is established, the asymptotically exact upper bounds of deviations of conjugate Abel – Poisson means on classes of conjugate functions when the function satisfies the Lipschitz condition on the segment [–1,1] are found, and the approximations of the conjugate Abel – Poisson means of conjugate functions with density | x |s , s ∈(1, 2), on the segment [–1,1] are studied. Estimates of the approximations are obtained, and the asymptotic expression of the majorant of the approximations in the final part is found. The optimal value of the parameter at which the greatest rate of decreasing the majorant is provided is found. As a consequence of the obtained results, the problem of approximating the conjugate function with density | x |s , s ∈(1, 2), by the Abel – Poisson means of conjugate polynomial series on the system of Chebyshev polynomials of the first kind is studied in detail. Estimates of the approximations are established, as well as the asymptotic expression of the majorants of the approximations. This work is of both theoretical and applied nature. It can be used when reading special courses at mathematical faculties and for solving specific problems of computational mathematics.Изучаются аппроксимационные свойства сумм Абеля – Пуассона рациональных сопряженных рядов Фурье по системе алгебраических дробей Чебышева – Маркова, а также исследуются приближения данным методом сопряженных на отрезке [–1,1] функций с плотностью | x |s , s ∈(1, 2). Приведены результаты, относящиесяк исследованиям полиномиальных и рациональных приближений сопряженных функций. Проводится построение сопряженного ряда Фурье по одной системе алгебраических дробей Чебышева – Маркова. Устанавливается интегральное представление приближений сопряженных на отрезке [–1,1] функций изучаемым методом, найдены асимптотически точные верхние грани уклонений сопряженных сумм Абеля – Пуассона на классах H(γ)[-1,1], γ ∈ (0,1], сопряженных функций fˆ, когда функция f удовлетворяет на отрезке [–1,1] условию Липшица порядка γ, γ ∈ (0,1], а также изучены приближения сопряженными суммами Абеля – Пуассона сопряженных функций с плотностью | x |s , s ∈(1, 2), на отрезке [–1,1]. Получены оценки приближений, асимптотическое выражение мажоранты приближений при r → 1. Найдено оптимальное значение параметра, при котором обеспечивается наибольшая скорость убывания мажоранты. Как следствие полученных результатов подробно исследована задача приближения сопряженной функции с плотностью | x |s , s > 0, суммами Абеля – Пуассона сопряженных полиномиальных рядов по системе многочленов Чебышева первого рода. Установлены оценки приближений, а также асимптотическое выражение мажоранты приближений. Работа носит как теоретический, так и прикладной характер. Возможно применение при чтении спецкурсов на математических факультетах и для решения конкретных задач вычислительной математики

О рациональных приближениях интегралов Пуассона на отрезке суммами Фейера интегральных операторов Фурье – Чебышева

   Изучаются аппроксимации суммами Фейера рациональных интегральных операторов Фурье – Чебышева с ограничениями на число геометрически различных полюсов. В качестве объекта исследований выступает класс функций, задаваемых интегралами Пуассона на отрезке [–1, 1]. Установлены интегральные представления приближений и оценки сверху равномерных приближений. В случае, когда граничная функция имеет на отрезке [–1, 1] степенную особенность, найдены оценки сверху поточечных и равномерных приближений, асимптотическое выражение мажоранты равномерных приближений. Подробно исследуется задача об аппроксимации интегралов Пуассона при двух геометрически различных полюсах аппроксимирующей рациональной функции. В этом случае найдены оптимальные значения параметров, при которых достигается наибольшая скорость равномерных приближений изучаемым методом. В случае, когда интеграл Пуассона является представлением функции |x|s, s ∈ (0, 1], оценки равномерных приближений являются выше соответствующих полиномиальных аналогов. В качестве следствия получены асимптотические выражения точных верхних граней отклонений сумм Фейера полиномиальных рядов Фурье – Чебышева на классах интегралов Пуассона на отрезке, а также оценки равномерных приближений функций, задаваемых интегралами Пуассона на отрезке, с граничной функцией, имеющей степенную особенность, суммами Фейера полиномиальных рядов Фурье – Чебышева.   Approximations of the Fejér sums of the Fourier – Chebyshev rational integral operators with restrictions on numerical geometrically different poles are herein studied. The object of research is the class of functions defined by Poisson integrals on the segment [–1, 1]. Integral representations of approximations and upper estimates of uniform approximations are established. In the case when the boundary function has a power singularity on the segment [–1, 1], upper estimates of pointwise and uniform approximations are found, and the asymptotic representation of the majorant of uniform approximations is found. As a separate problem, approximations of Poisson integrals for two geometrically different poles of the approximating rational function are considered. In this case, the optimal values of the parameters at which the highest rate of uniform approximations by the studied method is achieved are found. If the function |x|s, s ∈ (0, 1], is approximated, then this rate is higher than the corresponding polynomial analogues. Consequently, asymptotic expressions of the exact upper bounds of the deviations of Fejer sums of polynomial Fourier – Chebyshev series on classes of Poisson integrals on a segment are obtained. Estimates of uniform approximations by Fejer sums of polynomial Fourier – Chebyshev series of functions given by Poisson integrals on a segment with a boundary function having a power singularity are also obtained.   Изучаются аппроксимации суммами Фейера рациональных интегральных операторов Фурье – Чебышева с ограничениями на число геометрически различных полюсов. В качестве объекта исследований выступает класс функций, задаваемых интегралами Пуассона на отрезке [–1, 1]. Установлены интегральные представления приближений и оценки сверху равномерных приближений. В случае, когда граничная функция имеет на отрезке [–1, 1] степенную особенность, найдены оценки сверху поточечных и равномерных приближений, асимптотическое выражение мажоранты равномерных приближений. Подробно исследуется задача об аппроксимации интегралов Пуассона при двух геометрически различных полюсах аппроксимирующей рациональной функции. В этом случае найдены оптимальные значения параметров, при которых достигается наибольшая скорость равномерных приближений изучаемым методом. В случае, когда интеграл Пуассона является представлением функции |x|s, s ∈ (0, 1], оценки равномерных приближений являются выше соответствующих полиномиальных аналогов. В качестве следствия получены асимптотические выражения точных верхних граней отклонений сумм Фейера полиномиальных рядов Фурье – Чебышева на классах интегралов Пуассона на отрезке, а также оценки равномерных приближений функций, задаваемых интегралами Пуассона на отрезке, с граничной функцией, имеющей степенную особенность, суммами Фейера полиномиальных рядов Фурье – Чебышева