Fractals for minimalists

The aim of this note is to present an elementary way to fractals which completely avoids advanced analysis and uses purely naive set theory. The approach relies on fixed point methods, where the role of the Banach Contraction Principle is replaced by a slightly improved version of the Knaster--Tarski Fixed Point Theorem

Hutchinson without Blaschke: An alternative way to fractals

The original approach of Hutchinson to fractals considers the defining equation as a fixed point problem, and then applies the Banach Contraction Principle. To do this, the Blaschke Completeness Theorem is essential. Avoiding Blaschke's result, this note presents an alternative way to fractals via the Kuratowski noncompactness measure. Moreover, our technique extends the existence part of Hutchinson's Theorem to condensing maps instead of contractions

Fractals for minimalists

L

Support theorems for generalized monotone functions

This note presents a complete solution of the support problem for functions that are generalized monotone in the sense of Beckenbach. The key tool of the proof is Tornheim's uniform convergence theorem. As applications, we improve some known support results and give an abstract version of the Hermite--Hadamard inequality

Generalized fractals in semimetric spaces

The aim of the present paper is to extend the classical fractal theory using condensing maps and generalized contractions of semimetric spaces. Our method is independent from the approach of Hutchinson: It is based on the Kuratowski measure of noncompactness and avoids completely the Blaschke Completeness Theorem

Monoton leképezések fixpontjai 1

A KöMaL egy régi száma pontverseny kívüli problémaként közölte a Knaster--Tarski-féle fixponttételt. Cikkünkben elsőként fölidézzük a problémát, majd bemutatjuk egyik legfontosabb, halmazelmélethez kötődő alkalmazását. Ezáltal egyben bepillantást kívánunk adni a számosságaritmetika lenyűgözően szép, meglepetésekkel teli világába is

Monoton leképezések fixpontjai 2

A fraktálokat szokás leképezéscsaládok invariáns halmazainak tekinteni. Hutchinson nevezetes fraktáltétele is ezt veszi alapul, mivel ez az értelmezés kaput nyit a fixponttételek módszerei előtt. Célunk Hutchinson eredeti megközelítésének egyszerűsített formában történő bemutatása. Az egyszerűsítést a Knaster--Tarski-féle fixponttétel élesített változata biztosítja