Conditional limit theorems for multitype branching processes and illustration in epidemiological risk analysis

Cotutelle de thèse franco-allemandeThis thesis is concerned with the issue of extinction of populations composed of different types of individuals, and their behavior before extinction and in case of a very late extinction. We approach this question firstly from a strictly probabilistic viewpoint, and secondly from the standpoint of risk analysis related to the extinction of a particular model of population dynamics. In this context we propose several statistical tools. The population size is modeled by a branching process, which is either a continuous-time multitype Bienaymé-Galton-Watson process (BGWc), or its continuous-state counterpart, the multitype Feller diffusion process. We are interested in different kinds of conditioning on non-extinction, and in the associated equilibrium states. These ways of conditioning have been widely studied in the monotype case. However the literature on multitype processes is much less extensive, and there is no systematic work establishing connections between the results for BGWc processes and those for Feller diffusion processes. In the first part of this thesis, we investigate the behavior of the population before its extinction by conditioning the associated branching process X_t on non-extinction (X_t≠0), or more generally on non-extinction in a near future 0≤θ0, that this limit exists and is non-degenerate. This reflects a stationary behavior for the dynamics of the population conditioned on non-extinction, and provides a generalization of the so-called Yaglom limit, corresponding to the case θ=0. In a second step we study the behavior of the population in case of a very late extinction, obtained as the limit when θ tends to infinity of the process conditioned by X_{t+θ}≠0. The resulting conditioned process is a known object in the monotype case (sometimes referred to as Q-process), and has also been studied when X_t is a multitype Feller diffusion process. We investigate the not yet considered case where X_t is a multitype BGWc process and prove the existence of the associated Q-process. In addition, we examine its properties, including the asymptotic ones, and propose several interpretations of the process. Finally, we are interested in interchanging the limits in t and θ, as well as in the not yet studied commutativity of these limits with respect to the high-density-type relationship between BGWc processes and Feller processes. We prove an original and exhaustive list of all possible exchanges of limit (long-time limit in t, increasing delay of extinction θ, diffusion limit). The second part of this work is devoted to the risk analysis related both to the extinction of a population and to its very late extinction. We consider a branching population model (arising notably in the epidemiological context) for which a parameter related to the first moments of the offspring distribution is unknown. We build several estimators adapted to different stages of evolution of the population (phase growth, decay phase, and decay phase when extinction is expected very late), and prove moreover their asymptotic properties (consistency, normality). In particular, we build a least squares estimator adapted to the Q-process, allowing a prediction of the population development in the case of a very late extinction. This would correspond to the best or to the worst-case scenario, depending on whether the population is threatened or invasive. These tools enable us to study the extinction phase of the Bovine Spongiform Encephalopathy epidemic in Great Britain, for which we estimate the infection parameter corresponding to a possible source of horizontal infection persisting after the removal in 1988 of the major route of infection (meat and bone meal). This allows us to predict the evolution of the spread of the disease, including the year of extinction, the number of future cases and the number of infected animals. In particular, we produce a very fine analysis of the evolution of the epidemic in the unlikely event of a very late extinction.Cette thèse s'articule autour de la problématique de l'extinction de populations comportant différents types d'individus, et plus particulièrement de leur comportement avant extinction et/ou en cas d'une extinction très tardive. Nous étudions cette question d'un point de vue strictement probabiliste, puis du point de vue de l'analyse des risques liés à l'extinction pour un modèle particulier de dynamique de population, et proposons plusieurs outils statistiques. La taille de la population est modélisée soit par un processus de branchement de type Bienaymé-Galton-Watson à temps continu multitype (BGWc), soit par son équivalent dans un espace de valeurs continu, le processus de diffusion de Feller multitype. Nous nous intéressons à différents types de conditionnement à la non-extinction, et aux états d'équilibre associés. Ces conditionnements ont déjà été largement étudiés dans le cas monotype. Cependant la littérature relative aux processus multitypes est beaucoup moins riche, et il n'existe pas de travail systématique établissant des connexions entre les résultats concernant les processus BGWc et ceux concernant les processus de diffusion de Feller. Nous nous y sommes attelés. Dans la première partie de cette thèse, nous nous intéressons au comportement de la population avant son extinction, en conditionnant le processus de branchement X_t à la non-extinction (X_t≠0), ou plus généralement à la non-extinction dans un futur proche 0≤θ0, que cette limite existe et est non-dégénérée, traduisant ainsi un comportement stationnaire pour la dynamique de la population conditionnée à la non-extinction, et offrant une généralisation de la limite dite de Yaglom (correspondant au cas θ=0). Nous étudions dans un second temps le comportement de la population en cas d'une extinction très tardive, obtenu comme limite lorsque θ tends vers l'infini du processus X_t conditionné par X_{t+θ}≠0. Le processus conditionné ainsi obtenu est un objet connu dans le cadre monotype (parfois dénommé Q-processus), et a également été étudié lorsque le processus X_t est un processus de diffusion de Feller multitype. Nous examinons le cas encore non considéré où X_t est un BGWc multitype, prouvons l'existence du Q-processus associé, examinons ses propriétés, notamment asymptotiques, et en proposons plusieurs interprétations. Enfin, nous nous intéressons aux échanges de limites en t et en θ, ainsi qu'à la commutativité encore non étudiée de ces limites vis-à-vis de la relation de type grande densité reliant processus BGWc et processus de Feller. Nous prouvons ainsi une liste exhaustive et originale de tous les échanges de limites possibles (limite en temps t, retard de l'extinction θ, limite de diffusion). La deuxième partie de ce travail est consacrée à l'analyse des risques liés à l'extinction d'une population et à son extinction tardive. Nous considérons un certain modèle de population branchante (apparaissant notamment dans un contexte épidémiologique) pour lequel un paramètre lié aux premiers moments de la loi de reproduction est inconnu, et construisons plusieurs estimateurs adaptés à différentes phases de l'évolution de la population (phase de croissance, phase de décroissance, phase de décroissance lorsque l'extinction est supposée tardive), prouvant de plus leurs propriétés asymptotiques (consistance, normalité). En particulier, nous construisons un estimateur des moindres carrés adapté au Q-processus, permettant ainsi une prédiction de l'évolution de la population dans le meilleur ou le pire des cas (selon que la population est menacée ou au contraire invasive), à savoir celui d'une extinction tardive. Ces outils nous permettent d'étudier la phase d'extinction de l'épidémie d'Encéphalopathie Spongiforme Bovine en Grande-Bretagne, pour laquelle nous estimons le paramètre d'infection correspondant à une possible source d'infection horizontale persistant après la suppression en 1988 de la voie principale d'infection (farines animales). Cela nous permet de prédire l'évolution de la propagation de la maladie, notamment l'année d'extinction, le nombre de cas à venir et le nombre d'animaux infectés, et en particulier de produire une analyse très fine de l'évolution de l'épidémie dans le cas peu probable d'une extinction très tardive

Beyond the Q-process: various ways of conditioning the multitype Galton-Watson process

International audienceConditioning a multitype Galton-Watson process to stay alive into the indefinite future leads to what is known as its associated Q-process. We show that the same holds true if the process is conditioned to reach a positive threshold or a non-absorbing state. We also demonstrate that the stationary measure of the Q-process, obtained by construction as two successive limits (first by delaying the extinction in the original process and next by considering the long-time behavior of the obtained Q-process), is as a matter of fact a double limit. Finally, we prove that conditioning a multitype branching process on having an infinite total progeny leads to a process presenting the features of a Q-process. It does not however coincide with the original associated Q-process, except in the critical regime

Thils (Gustave). La Communion ecclésiale dans le cadre juridique de l'Etat moderne

Poulat Emile. Thils (Gustave). La Communion ecclésiale dans le cadre juridique de l'Etat moderne. In: Archives de sciences sociales des religions, n°96, 1996. pp. 170-171

L’épidémie d’ESB en Grande-Bretagne : un exemple générique d’évaluation des risques au cours des phases de croissance et de déclin

International audienceIn this paper we provide a comprehensive analysis of the Bovine spongiform encephalopathy (BSE) epidemic evolution in Great-Britain. Our study is based on a multi-type branching process model and on different stochastic and statistical tools. We first focus on the growth phase until the first sanitary control measure in 1988, and provide an estimation of the unknown parameters of our model, using a Bayesian approach. We then consider the decay phase of the epidemic and estimate its new infection parameter using a frequentist approach, which enables us to predict the future incidences of cases, the epidemic extinction time and the total epidemic size. We finally evaluate the risks that would be caused by a very long decay phase. For this purpose we condition the process on a very late extinction, and thanks to an estimation of the infection parameter, we predict the evolution of the epidemic in this worst-case scenario.Dans cet article nous proposons une analyse complète de l’évolution de l’épidémie d’encéphalopathie spongiforme bovine en Grande-Bretagne. Notre étude est basée sur un modèle de processus de branchement multitype et sur différents outils probabilistes et statistiques. Nous nous focalisons en premier lieu sur la phase de croissance jusqu’à la première mesure de contrôle sanitaire en 1988, pour laquelle nous proposons une estimation des paramètres inconnus de notre modèle via une approche bayésienne. Nous considérons ensuite la phase de déclin et estimons par une approche fréquentiste le paramètre d’infection afférent, ce qui nous permet de prédire l’incidence des cas à venir, le temps d’extinction de l’épidémie ainsi que sa taille totale. Pour finir, nous évaluons les risques qui seraient conséquents à une très longue phase de déclin. Dans ce but nous conditionnons le processus à une extinction très tardive, et prédisons grâce à une estimation du paramètre d’infection l’évolution de l’épidémie dans le cas de ce scénario le plus défavorable

L’épidémie d’ESB en Grande-Bretagne : un exemple générique d’évaluation des risques au cours des phases de croissance et de déclin

International audienceIn this paper we provide a comprehensive analysis of the Bovine spongiform encephalopathy (BSE) epidemic evolution in Great-Britain. Our study is based on a multi-type branching process model and on different stochastic and statistical tools. We first focus on the growth phase until the first sanitary control measure in 1988, and provide an estimation of the unknown parameters of our model, using a Bayesian approach. We then consider the decay phase of the epidemic and estimate its new infection parameter using a frequentist approach, which enables us to predict the future incidences of cases, the epidemic extinction time and the total epidemic size. We finally evaluate the risks that would be caused by a very long decay phase. For this purpose we condition the process on a very late extinction, and thanks to an estimation of the infection parameter, we predict the evolution of the epidemic in this worst-case scenario.Dans cet article nous proposons une analyse complète de l’évolution de l’épidémie d’encéphalopathie spongiforme bovine en Grande-Bretagne. Notre étude est basée sur un modèle de processus de branchement multitype et sur différents outils probabilistes et statistiques. Nous nous focalisons en premier lieu sur la phase de croissance jusqu’à la première mesure de contrôle sanitaire en 1988, pour laquelle nous proposons une estimation des paramètres inconnus de notre modèle via une approche bayésienne. Nous considérons ensuite la phase de déclin et estimons par une approche fréquentiste le paramètre d’infection afférent, ce qui nous permet de prédire l’incidence des cas à venir, le temps d’extinction de l’épidémie ainsi que sa taille totale. Pour finir, nous évaluons les risques qui seraient conséquents à une très longue phase de déclin. Dans ce but nous conditionnons le processus à une extinction très tardive, et prédisons grâce à une estimation du paramètre d’infection l’évolution de l’épidémie dans le cas de ce scénario le plus défavorable

L’épidémie d’ESB en Grande-Bretagne : un exemple générique d’évaluation des risques au cours des phases de croissance et de déclin

International audienceIn this paper we provide a comprehensive analysis of the Bovine spongiform encephalopathy (BSE) epidemic evolution in Great-Britain. Our study is based on a multi-type branching process model and on different stochastic and statistical tools. We first focus on the growth phase until the first sanitary control measure in 1988, and provide an estimation of the unknown parameters of our model, using a Bayesian approach. We then consider the decay phase of the epidemic and estimate its new infection parameter using a frequentist approach, which enables us to predict the future incidences of cases, the epidemic extinction time and the total epidemic size. We finally evaluate the risks that would be caused by a very long decay phase. For this purpose we condition the process on a very late extinction, and thanks to an estimation of the infection parameter, we predict the evolution of the epidemic in this worst-case scenario.Dans cet article nous proposons une analyse complète de l’évolution de l’épidémie d’encéphalopathie spongiforme bovine en Grande-Bretagne. Notre étude est basée sur un modèle de processus de branchement multitype et sur différents outils probabilistes et statistiques. Nous nous focalisons en premier lieu sur la phase de croissance jusqu’à la première mesure de contrôle sanitaire en 1988, pour laquelle nous proposons une estimation des paramètres inconnus de notre modèle via une approche bayésienne. Nous considérons ensuite la phase de déclin et estimons par une approche fréquentiste le paramètre d’infection afférent, ce qui nous permet de prédire l’incidence des cas à venir, le temps d’extinction de l’épidémie ainsi que sa taille totale. Pour finir, nous évaluons les risques qui seraient conséquents à une très longue phase de déclin. Dans ce but nous conditionnons le processus à une extinction très tardive, et prédisons grâce à une estimation du paramètre d’infection l’évolution de l’épidémie dans le cas de ce scénario le plus défavorable

L’épidémie d’ESB en Grande-Bretagne : un exemple générique d’évaluation des risques au cours des phases de croissance et de déclin

International audienceIn this paper we provide a comprehensive analysis of the Bovine spongiform encephalopathy (BSE) epidemic evolution in Great-Britain. Our study is based on a multi-type branching process model and on different stochastic and statistical tools. We first focus on the growth phase until the first sanitary control measure in 1988, and provide an estimation of the unknown parameters of our model, using a Bayesian approach. We then consider the decay phase of the epidemic and estimate its new infection parameter using a frequentist approach, which enables us to predict the future incidences of cases, the epidemic extinction time and the total epidemic size. We finally evaluate the risks that would be caused by a very long decay phase. For this purpose we condition the process on a very late extinction, and thanks to an estimation of the infection parameter, we predict the evolution of the epidemic in this worst-case scenario.Dans cet article nous proposons une analyse complète de l'évolution de l'épidémie d'encéphalopathie spongiforme bovine en Grande-Bretagne. Notre étude est basée sur un modèle de processus de branchement multitype et sur différents outils probabilistes et statistiques. Nous nous focalisons en premier lieu sur la phase de croissance jusqu'à la première mesure de contrôle sanitaire en 1988, pour laquelle nous proposons une estimation des paramètres inconnus de notre modèle via une approche bayésienne. Nous considérons ensuite la phase de déclin et estimons par une approche fréquentiste le paramètre d'infection afférent, ce qui nous permet de prédire l'incidence des cas à venir, le temps d'extinction de l'épidémie ainsi que sa taille totale. Pour finir, nous évaluons les risques qui seraient conséquents à une très longue phase de déclin. Dans ce but nous conditionnons le processus à une extinction très tardive, et prédisons grâce à une estimation du paramètre d'infection l'évolution de l'épidémie dans le cas de ce scénario le plus défavorable

Evaluating cancer etiology and risk with a mathematical model of tumor evolution

International audienceRecent evidence arising from DNA sequencing of healthy human tissues has clearly indicated that our organs accumulate a relevant number of somatic mutations due to normal endogenous mutational processes, in addition to those caused by environmental factors. A deeper understanding of the evolution of this endogenous mutational load is critical for understanding what causes cancer. Here we present a mathematical model of tumor evolution that is able to predict the expected number of endogenous somatic mutations present in various tissue types of a patient at a given age. These predictions are then compared to those observed in patients. We also obtain an improved fitting of the variation in cancer incidence across cancer types, showing that the endogenous mutational processes can explain 4/5 of the variation in cancer risk. Overall, these results offer key insights into cancer etiology, by providing further evidence for the major role these endogenous processes play in cancer