Analyse des solutions du système des équations de Navier-Stokes avec des conditions aux limites de type vorticité pour les fluides barotropiques compressibles

The present work is devoted to the study of the Navier-Stokes equations for barotropic compressible fluids in a bounded three dimensional domain. The main originality of this work consists in the choice of non-classical boundary conditions. In the inviscid case - the Euler equations - a natural boundary condition is the impermeability of the velocity field on the boundary. In the viscous case, supplementary boundary conditions are needed: in 2004, in the case of the incompressible model, professors J. Neustupa and P. Penel suggested to complete the Navier-Stokes equations with the generalized impermeability boundary conditions that also concern the vorticity field. By this way, they have introduced an alternative theory to the classical one. We extend this theory to the viscous barotropic compressible model. We present two approximate models based on a separation of the original system into a Stokes problem adequate to the boundary conditions and two Poisson problem with Neumann boundary conditions. This approach particularly point out the interest of the Helmholtz decomposition, the importance of the Leray Schauder theorem in order to prove the existence of the solutions and the essential role of a pressure called the effective pressure. The limit procedure are difficult and technical but classical today. We have inspired from the works of the French (P.L. Lions) and Czech (A. Novotny and I. Straskraba) Schools. The second model provides us with a solution with a bounded density. P. B. Mucha and M. Pokorny recently developed the same analysis with Navier boundary conditions.Le travail présenté dans ce mémoire de thèse est consacré à l'analyse du système des équations de Navier-Stokes stationnaires pour les fluides barotropiques compressibles en géométrie bornée tridimensionnelle. La principale originalité tient au choix de conditions aux limites non classiques. Dans le cas inviscide, il s'agit alors des équations d'Euler, les conditions aux limites naturelles sont celles d'imperméabilité pour le champ des vitesses. Dans le cas visqueux, il faut introduire des conditions supplémentaires : en 2004 pour le modèle incompressible les professeurs J. Neustupa et P. Penel ont proposé de compléter les équations de Navier-Stokes par des conditions dites d'imperméabilité généralisée concernant également le champ de vorticité. Ils ont ainsi établi une théorie alternative à la théorie classique. Nous étendons cette théorie au modèle visqueux barotropique compressible. Nous présentons deux modèles approchés fondés sur un possible découplage en un problème de Stokes adéquat au choix des conditions aux limites et deux problèmes de Poisson avec conditions de Neumann. Cette approche met notamment en avant l'intérêt de la décomposition de Helmholtz, l'importance du théorème de Leray-Schauder pour démontrer l'existence de solutions, et le rôle essentiel d'une pression, dite pression effective. Quant aux passages à la limite, ils sont techniques et diffciles, mais désormais classiques. Nous nous sommes inspirés des travaux des écoles française (P.L. Lions) et tchèque (A. Novotny et I. Straskraba). Le second modèle approché fournit une solution à densité bornée. P.B. Mucha et M. Pokorny ont développé tout récemment la même analyse avec des conditions aux limites de Navier