Sobre expectiles, generalizaciones y algunas aplicaciones en análisis multivariante

El objetivo general del trabajo es construir nuevas funciones de profundidad, entendidas como el grado de centralidad de un punto respecto a una distribución multivariante, y sus respectivas regiones centrales. La utilidad de estas construcciones en el campo multivariante radica en que permiten construir un orden según el grado de centralidad que puede utilizarse para extender ciertas técnicas de estadística univariate que se basan en la relación de orden menor o igual. El trabajo está enmarcado en la Estadística Matemática, utiliza nociones y técnicas de Análisis Convexo, mientras que los algoritmos para calcular profundidades y regiones pueden ubicarse dentro de la Geometría Computacional. La tesis está dividida en cuatro partes claramente diferenciadas. En primer lugar un capítulo que contiene un marco teórico general, en el que se presentan de forma muy intuitiva las ideas de expectiles y funciones de profundidad, así como sus propiedades y algunas de las aplicaciones más conocidas. En segundo lugar un capítulo dedicado a la construcción de la profundidad expectílica, en el que, por la misma naturaleza de los expectiles, se logran formalizar algunos resultados de tipo asintótico, además de explotar la idea de regiones expectílicas en el ámbito del análisis descriptivo bivariado. Dado que, tal como se ilustra con datos simulados, las regiones expectílicas son sensibles a la presencia de datos extremos, nace el tercer capítulo, en el que se usa una familia de M-cuantiles distorsionados que generalizan inmediatamente a los expectiles. Las regiones asociadas a los M-cuantiles distorsionados son estudiadas desde el punto de vista analítico y geométrico, mostrando resaltando partcularmente la robustez frente a la presencia de outliers. Finalmente un capítulo donde se presenta la noción de regresión M-cuantílica de respuesta múltiple, a partir de la cual se logra construir una nueva familia de regiones centrales, llamadas regiones de regresión, que resultan ser una herramienta descriptiva de la distribución conjunta de las variables explicadas para un nivel dado del vector de regresores. Se muestra, además, cómo a partir de estas últimas regiones se puede obtener una nueva noción de profundidad, se analizan algunas de sus propiedades así como posibles aplicaciones en diferentes campos de estudio. Por último, se cierra el trabajo con la sección de conclusiones y algunas sugerencias para futuras investigaciones.Programa de Doctorado en Ingeniería Matemática por la Universidad Carlos III de MadridPresidente: Antonio Cuevas González.- Secretaria: Ana Arribas Gil.- Vocal: Alfonso Suárez Llorén

Expectile depth: Theory and computation for bivariate datasets

Expectiles are the solution to an asymmetric least squares minimization problem for univariate data. They resemble the quantiles, and just like them, expectiles are indexed by a level α in the unit interval. In the present paper, we introduce and discuss the main properties of the (multivariate) expectile regions, a nested family of sets, whose instance with level 0 < α ≤ 1/2 is built up by all points whose univariate projections lie between the expectiles of levels α and 1 − α of the projected dataset. Such level is interpreted as the degree of centrality of a point with respect to a multivariate distribution and therefore serves as a depth function. We propose here algorithms for determining all the extreme points of the bivariate expectile regions as well as for computing the depth of a point in the plane. We also study the convergence of the sample expectile regions to the population ones and the uniform consistency of the sample expectile depth. Finally, we present some real data examples for which the Bivariate Expectile Plot (BExPlot) is introduced.This research was partially supported by the Spanish Ministry of Science and Innovation under grant ECO2015-66593-P

Data depth and multiple output regression, the distorted M-quantiles approach

For a univariate distribution, its M-quantiles are obtained as solutions to asymmetric minimization problems dealing with the distance of a random variable to a fixed point. The asymmetry refers to the different weights for the values of the random variable at either side of the fixed point. We focus on M-quantiles whose associated losses are given in terms of a power. In this setting, the classical quantiles are obtained for the first power, while the expectiles correspond to quadratic losses. The M-quantiles considered here are computed over distorted distributions, which allows to tune the weight awarded to the more central or peripheral parts of the distribution. These distorted M-quantiles are used in the multivariate setting to introduce novel families of central regions and their associated depth functions, which are further extended to the multiple output regression setting in the form of conditional regression regions and conditional depths

Multivariate expectile trimming and the BExPlot

Expectiles are the solution to an asymmetric least squares minimization problem for univariate data. They resemble some similarities with the quantiles, and just like them, expectiles are indexed by a level α. In the present paper, we introduce and discuss the main properties of the expectile multivariate trimmed regions, a nested family of sets, whose instance with trimming level α is built up by all points whose univariate projections lie between the expectiles of levels α and 1 − α of the projected dataset. Such trimming level is interpreted as the degree of centrality of a point with respect to a multivariate distribution and therefore serves as a depth function. We study here the convergence of the sample expectile trimmed regions to the population ones and the uniform consistency of the sample expectile depth. We also provide efficient algorithms for determining the extreme points of the expectile regions as well as for computing the depth of a point in R2. These routines are based on circular sequence constructions. Finally, we present some real data examples for which the Bivariate Expectile Plot (BExPlot) is introduced.This research was partially supported by the Spanish Ministry of Science and Innovation under grant ECO2015-66593-P