COMPUTATIONAL METHODS FOR RANDOM DIFFERENTIAL EQUATIONS: THEORY AND APPLICATIONS

Desde las contribuciones de Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz, Jacob y Johann Bernoulli en el siglo XVII hasta ahora, las ecuaciones en diferencias y las diferenciales han demostrado su capacidad para modelar satisfactoriamente problemas complejos de gran interés en Ingeniería, Física, Epidemiología, etc. Pero, desde un punto de vista práctico, los parámetros o inputs (condiciones iniciales/frontera, término fuente y/o coeficientes), que aparecen en dichos problemas, son fijados a partir de ciertos datos, los cuales pueden contener un error de medida. Además, pueden existir factores externos que afecten al sistema objeto de estudio, de modo que su complejidad haga que no se conozcan de forma cierta los parámetros de la ecuación que modeliza el problema. Todo ello justifica considerar los parámetros de la ecuación en diferencias o de la ecuación diferencial como variables aleatorias o procesos estocásticos, y no como constantes o funciones deterministas, respectivamente. Bajo esta consideración aparecen las ecuaciones en diferencias y las ecuaciones diferenciales aleatorias. Esta tesis hace un recorrido resolviendo, desde un punto de vista probabilístico, distintos tipos de ecuaciones en diferencias y diferenciales aleatorias, aplicando fundamentalmente el método de Transformación de Variables Aleatorias. Esta técnica es una herramienta útil para la obtención de la función de densidad de probabilidad de un vector aleatorio, que es una transformación de otro vector aleatorio cuya función de densidad de probabilidad es conocida. En definitiva, el objetivo de este trabajo es el cálculo de la primera función de densidad de probabilidad del proceso estocástico solución en diversos problemas basados en ecuaciones en diferencias y diferenciales aleatorias. El interés por determinar la primera función de densidad de probabilidad se justifica porque dicha función determinista caracteriza la información probabilística unidimensional, como media, varianza, asimetría, curtosis, etc., de la solución de la ecuación en diferencias o diferencial correspondiente. También permite determinar la probabilidad de que acontezca un determinado suceso de interés que involucre a la solución. Además, en algunos casos, el estudio teórico realizado se completa mostrando su aplicación a problemas de modelización con datos reales, donde se aborda el problema de la estimación de distribuciones estadísticas paramétricas de los inputs en el contexto de las ecuaciones en diferencias y diferenciales aleatorias.Ever since the early contributions by Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz, Jacob and Johann Bernoulli in the XVII century until now, difference and differential equations have uninterruptedly demonstrated their capability to model successfully interesting complex problems in Engineering, Physics, Chemistry, Epidemiology, Economics, etc. But, from a practical standpoint, the application of difference or differential equations requires setting their inputs (coefficients, source term, initial and boundary conditions) using sampled data, thus containing uncertainty stemming from measurement errors. In addition, there are some random external factors which can affect to the system under study. Then, it is more advisable to consider input data as random variables or stochastic processes rather than deterministic constants or functions, respectively. Under this consideration random difference and differential equations appear. This thesis makes a trail by solving, from a probabilistic point of view, different types of random difference and differential equations, applying fundamentally the Random Variable Transformation method. This technique is an useful tool to obtain the probability density function of a random vector that results from mapping another random vector whose probability density function is known. Definitely, the goal of this dissertation is the computation of the first probability density function of the solution stochastic process in different problems, which are based on random difference or differential equations. The interest in determining the first probability density function is justified because this deterministic function characterizes the one-dimensional probabilistic information, as mean, variance, asymmetry, kurtosis, etc. of corresponding solution of a random difference or differential equation. It also allows to determine the probability of a certain event of interest that involves the solution. In addition, in some cases, the theoretical study carried out is completed, showing its application to modelling problems with real data, where the problem of parametric statistics distribution estimation is addressed in the context of random difference and differential equations.Des de les contribucions de Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz, Jacob i Johann Bernoulli al segle XVII fins a l'actualitat, les equacions en diferències i les diferencials han demostrat la seua capacitat per a modelar satisfactòriament problemes complexos de gran interés en Enginyeria, Física, Epidemiologia, etc. Però, des d'un punt de vista pràctic, els paràmetres o inputs (condicions inicials/frontera, terme font i/o coeficients), que apareixen en aquests problemes, són fixats a partir de certes dades, les quals poden contenir errors de mesura. A més, poden existir factors externs que afecten el sistema objecte d'estudi, de manera que, la seua complexitat faça que no es conega de forma certa els inputs de l'equació que modelitza el problema. Tot aço justifica la necessitat de considerar els paràmetres de l'equació en diferències o de la equació diferencial com a variables aleatòries o processos estocàstics, i no com constants o funcions deterministes. Sota aquesta consideració apareixen les equacions en diferències i les equacions diferencials aleatòries. Aquesta tesi fa un recorregut resolent, des d'un punt de vista probabilístic, diferents tipus d'equacions en diferències i diferencials aleatòries, aplicant fonamentalment el mètode de Transformació de Variables Aleatòries. Aquesta tècnica és una eina útil per a l'obtenció de la funció de densitat de probabilitat d'un vector aleatori, que és una transformació d'un altre vector aleatori i la funció de densitat de probabilitat és del qual és coneguda. En definitiva, l'objectiu d'aquesta tesi és el càlcul de la primera funció de densitat de probabilitat del procés estocàstic solució en diversos problemes basats en equacions en diferències i diferencials. L'interés per determinar la primera funció de densitat es justifica perquè aquesta funció determinista caracteritza la informació probabilística unidimensional, com la mitjana, variància, asimetria, curtosis, etc., de la solució de l'equació en diferències o l'equació diferencial aleatòria corresponent. També permet determinar la probabilitat que esdevinga un determinat succés d'interés que involucre la solució. A més, en alguns casos, l'estudi teòric realitzat es completa mostrant la seua aplicació a problemes de modelització amb dades reals, on s'aborda el problema de l'estimació de distribucions estadístiques paramètriques dels inputs en el context de les equacions en diferències i diferencials aleatòries.Navarro Quiles, A. (2018). COMPUTATIONAL METHODS FOR RANDOM DIFFERENTIAL EQUATIONS: THEORY AND APPLICATIONS [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/98703TESI

Stochastic optimization methods for the simultaneous control of parameter-dependent systems

We address the application of stochastic optimization methods for the simultaneous control of parameter-dependent systems. In particular, we focus on the classical Stochastic Gradient Descent (SGD) approach of Robbins and Monro, and on the recently developed Continuous Stochastic Gradient (CSG) algorithm. We consider the problem of computing simultaneous controls through the minimization of a cost functional defined as the superposition of individual costs for each realization of the system. We compare the performances of these stochastic approaches, in terms of their computational complexity, with those of the more classical Gradient Descent (GD) and Conjugate Gradient (CG) algorithms, and we discuss the advantages and disadvantages of each methodology. In agreement with well-established results in the machine learning context, we show how the SGD and CSG algorithms can significantly reduce the computational burden when treating control problems depending on a large amount of parameters. This is corroborated by numerical experiments

Fundamentos sobre opciones financieras: Una revisión desde una perspectiva matemática

En este trabajo se introducen los conceptos fundamentales sobre un tipo de productos financieros denominados opciones o derivados sobre una acción. El trabajo está orientado a introducir, desde una perspectiva matemática, las principales características de este tipo de contratos financieros. Específicamente se describen mediante funciones matemáticas definidas a trozos los beneficios que pueden ofrecer a vencimiento este tipo de productos financieros y se discuten la posiciones que adopta el inversor que adquiere cada uno de los tipos de contratos existentes, así como las posiciones de mercado de su contrapartida.Cortés López, JC.; Navarro Quiles, A. (2016). Fundamentos sobre opciones financieras: Una revisión desde una perspectiva matemática. http://hdl.handle.net/10251/68275DE

Introducing randomness in the analysis of chemical reactions: An analysis based on random differential equations and probability density function

This is the peer reviewed version of the following article: Cortés, J-C, Navarro-Quiles, A, Romero, J-V, Roselló, M-D. Introducing randomness in the analysis of chemical reactions: An analysis based on random differential equations and probability density functions. Comp and Math Methods. 2021; 3:e1141, which has been published in final form at https://doi.org/10.1002/cmm4.1141. This article may be used for non-commercial purposes in accordance with Wiley Terms and Conditions for Self-Archiving.[EN] In this work we consider a particular randomized kinetic model for reaction-deactivation of hydrogen peroxide decomposition. We apply the Random Variable Transformation technique to obtain the first probability density function of the solution stochastic process under general conditions. From the rst probability density function, we can obtain fundamental statistical information, such as the mean and the variance of the solution, at every instant time. The transformation considered in the application of the Random Variable Transformation technique is not unique. Then, the first probability density function can take different expressions, although essentially equivalent in terms of computing probabilistic information. To motivate this fact, we consider in our analysis two different mappings. Several numerical examples show the capability of our approach and of the obtained results as well. We show, through simulations, that the choice of the transformation, that permits computing the first probability density function, is a crucial issue regarding the computational time.This work has been supported by the Spanish Ministerio de Economía, Industria y Competitividad (MINECO), the Agencia Estatal de Investigación (AEI) and Fondo Europeo de Desarrollo Regional (FEDER UE) grant MTM2017-89664-P. Computations have been carried thanks to the collaboration of Raúl San Julián Garcés and Elena López Navarro granted by European Union through the Operational Program of the European Regional Development Fund (ERDF)/European Social Fund (ESF) of the Valencian Community 2014-2020, grants GJIDI/2018/A/009 and GJIDI/2018/A/010, respectively.Cortés, J.; Navarro-Quiles, A.; Romero, J.; Roselló, M. (2021). Introducing randomness in the analysis of chemical reactions: An analysis based on random differential equations and probability density function. Computational and Mathematical Methods. 3(6):1-10. https://doi.org/10.1002/cmm4.1141S1103

Las Matemáticas para la Gestión del Riesgo en Carteras Financieras. Carteras compuestas por dos activos con correlaciones estadísticas arbitrarias

En este trabajo se determina la composición de una cartera formada por dos activos con rendimientos y riesgos individuales dados, de modo que el riesgo global de la cartera sea mínimo. La discusión está basada en el coeficiente de correlación estadístico de los dos activos que forman la cartera inversora. Se discuten diferentes soluciones, distinguiendo aquellas que no suponen la venta en corto de uno de los dos activos, así como las soluciones extremas con riesgo nulo.Cortés López, JC.; Navarro Quiles, A. (2016). Las Matemáticas para la Gestión del Riesgo en Carteras Financieras. Carteras compuestas por dos activos con correlaciones estadísticas arbitrarias. http://hdl.handle.net/10251/69157DE

Las Matemáticas para la Gestión del Riesgo en Carteras Financieras. Carteras compuestas por n activos con correlaciones estadísticas arbitrarias

En estas páginas se estudia el siguiente problema clave en la gestión del riesgo de carteras financieras formadas por un número arbitrario de activos: la determinación de los pesos porcentuales de cada uno de los activos que forman la cartera, de manera que se minimice el riesgo global de la inversión. Para ello, se asume que se conoce los retornos individuales esperados de cada uno de los activos de la cartera, así como las correlaciones estadísticas de dichos retornos.Cortés López, JC.; Navarro Quiles, A. (2016). Las Matemáticas para la Gestión del Riesgo en Carteras Financieras. Carteras compuestas por n activos con correlaciones estadísticas arbitrarias. http://hdl.handle.net/10251/69156DE

Solving fully randomized higher-order linear control differential equations: Application to study the dynamics of an oscillator

This is the peer reviewed version of the following article: Cortés, J-C, Navarro-Quiles, A, Romero, J-V, Roselló, M-D. Solving fully randomized higher-order linear control differential equations: Application to study the dynamics of an oscillator. Comp and Math Methods. 2021; 3:e1163, which has been published in final form at https://doi.org/10.1002/cmm4.1163. This article may be used for non-commercial purposes in accordance with Wiley Terms and Conditions for Self-Archiving.[EN] In this work, we consider control problems represented by a linear differential equation assuming that all the coefficients are random variables and with an additive control that is a stochastic process. Specifically, we will work with controllable problems in which the initial condition and the final target are random variables. The probability density function of the solution and the control has been calculated. The theoretical results have been applied to study, from a probabilistic standpoint, a damped oscillator.European Social Fund, Grant/Award Numbers: GJIDI/2018/A/009, GJIDI/2018/A/010; Spanish Ministerio de Economía, Industria y Competitividad (MINECO), the Agencia Estatal de Investigación (AEI) and Fondo Europeo de Desarrollo Regional (FEDER UE), Grant/Award Number: MTM2017-89664-P.Cortés, J.; Navarro-Quiles, A.; Romero, J.; Roselló, M. (2021). Solving fully randomized higher-order linear control differential equations: Application to study the dynamics of an oscillator. Computational and Mathematical Methods. 3(6):1-15. https://doi.org/10.1002/cmm4.1163S1153

Las Matemáticas para la Gestión del Riesgo en Carteras Financieras. Carteras con dos activos con correlaciones estadísticas extremas

Las matemáticas juegan un papel fundamental en el análisis de muchos problemas financieros. En este trabajo se aborda el estudio de la formación de carteras financieras formadas por dos activos de modo que el riesgo de la cartera sea mínimo. La clave para realizar el estudio se basa en introducir el concepto de correlación estadística entre los dos activos. A partir de herramientas matemáticas elementales se ilustra cómo puede abordarse el estudio de este importante problema financiero en diferentes casos extremos del grado de correlación entre los activos. El trabajo, aunque está planteado desde un escenario elemental, arroja luz sobre las ideas claves que permiten abordar el caso de un número arbitrario de activos financieros con una matriz de varianzas-covarianzas general.Cortés López, JC.; Navarro Quiles, A. (2016). Las Matemáticas para la Gestión del Riesgo en Carteras Financieras. Carteras con dos activos con correlaciones estadísticas extremas. http://hdl.handle.net/10251/69155DE

Solving second-order linear differential equations with random analytic coefficients about regular-singular points

[EN] In this contribution, we construct approximations for the density associated with the solution of second-order linear differential equations whose coefficients are analytic stochastic processes about regular-singular points. Our analysis is based on the combination of a random Fröbenius technique together with the random variable transformation technique assuming mild probabilistic conditions on the initial conditions and coefficients. The new results complete the ones recently established by the authors for the same class of stochastic differential equations, but about regular points. In this way, this new contribution allows us to study, for example, the important randomized Bessel differential equation.This work was partially funded by the Ministerio de Economia y Competitividad Grant MTM2017-89664-P. Ana Navarro Quiles acknowledges the funding received from Generalitat Valenciana through a postdoctoral contract (APOSTD/2019/128). Computations were carried out thanks to the collaboration of Raul San Julian Garces and Elena Lopez Navarro granted by the European Union through the Operational Program of the European Regional Development Fund (ERDF)/European Social Fund (ESF) of the Valencian Community 2014-2020, Grants GJIDI/2018/A/009 and GJIDI/2018/A/010, respectivelyCortés, J.; Navarro-Quiles, A.; Romero, J.; Roselló, M. (2020). Solving second-order linear differential equations with random analytic coefficients about regular-singular points. Mathematics. 8(2):1-20. https://doi.org/10.3390/math8020230S12082Hussein, A., & Selim, M. M. (2012). Solution of the stochastic radiative transfer equation with Rayleigh scattering using RVT technique. Applied Mathematics and Computation, 218(13), 7193-7203. doi:10.1016/j.amc.2011.12.088Dorini, F. A., Cecconello, M. S., & Dorini, L. B. (2016). On the logistic equation subject to uncertainties in the environmental carrying capacity and initial population density. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 33, 160-173. doi:10.1016/j.cnsns.2015.09.009Santos, L. T., Dorini, F. A., & Cunha, M. C. C. (2010). The probability density function to the random linear transport equation. Applied Mathematics and Computation, 216(5), 1524-1530. doi:10.1016/j.amc.2010.03.001Hussein, A., & Selim, M. M. (2019). A complete probabilistic solution for a stochastic Milne problem of radiative transfer using KLE-RVT technique. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 232, 54-65. doi:10.1016/j.jqsrt.2019.04.034Cortés, J.-C., Navarro-Quiles, A., Romero, J.-V., & Roselló, M.-D. (2018). Solving second-order linear differential equations with random analytic coefficients about ordinary points: A full probabilistic solution by the first probability density function. Applied Mathematics and Computation, 331, 33-45. doi:10.1016/j.amc.2018.02.051Cortés, J.-C., Jódar, L., Camacho, F., & Villafuerte, L. (2010). Random Airy type differential equations: Mean square exact and numerical solutions. Computers & Mathematics with Applications, 60(5), 1237-1244. doi:10.1016/j.camwa.2010.05.046Calbo, G., Cortés, J.-C., & Jódar, L. (2011). Random Hermite differential equations: Mean square power series solutions and statistical properties. Applied Mathematics and Computation, 218(7), 3654-3666. doi:10.1016/j.amc.2011.09.008Calbo, G., Cortés, J.-C., Jódar, L., & Villafuerte, L. (2011). Solving the random Legendre differential equation: Mean square power series solution and its statistical functions. Computers & Mathematics with Applications, 61(9), 2782-2792. doi:10.1016/j.camwa.2011.03.045Cortés, J.-C., Villafuerte, L., & Burgos, C. (2017). A Mean Square Chain Rule and its Application in Solving the Random Chebyshev Differential Equation. Mediterranean Journal of Mathematics, 14(1). doi:10.1007/s00009-017-0853-6Cortés, J.-C., Jódar, L., & Villafuerte, L. (2017). Mean square solution of Bessel differential equation with uncertainties. Journal of Computational and Applied Mathematics, 309, 383-395. doi:10.1016/j.cam.2016.01.034Khudair, A. R., Haddad, S. A. M., & Khalaf, S. L. (2016). Mean Square Solutions of Second-Order Random Differential Equations by Using the Differential Transformation Method. Open Journal of Applied Sciences, 06(04), 287-297. doi:10.4236/ojapps.2016.64028Qi, Y. (2018). A Very Brief Introduction to Nonnegative Tensors from the Geometric Viewpoint. Mathematics, 6(11), 230. doi:10.3390/math6110230Ragusa, M. A., & Tachikawa, A. (2016). Boundary regularity of minimizers of p(x)-energy functionals. Annales de l’Institut Henri Poincaré C, Analyse non linéaire, 33(2), 451-476. doi:10.1016/j.anihpc.2014.11.003Ragusa, M. A., & Tachikawa, A. (2019). Regularity for minimizers for functionals of double phase with variable exponents. Advances in Nonlinear Analysis, 9(1), 710-728. doi:10.1515/anona-2020-0022Braumann, C. A., Cortés, J.-C., Jódar, L., & Villafuerte, L. (2018). On the random gamma function: Theory and computing. Journal of Computational and Applied Mathematics, 335, 142-155. doi:10.1016/j.cam.2017.11.04

Las Matemáticas para la Gestión de Carteras con Riesgo. Parte IV: Carteras compuestas por n activos con correlaciones estadísticas arbitrarias. El caso en que se fija el rendimiento esperado de la cartera

En estas páginas se estudia el problema de la determinación de los pesos de los activos que constituyen una cartera financiera para minimizar el riesgo de la inversión global siendo que el rendimiento de la cartera está prefijado. Este problema está muy relacionado, pero es matemática y financieramente distinto, al que consiste en determinar los pesos de cada uno de los activos para minimizar el riesgo de la cartera asumiendo que se conocen los riesgos individuales de cada uno de los activos que forman la inversión global.Burgos Simon, C.; Cortés López, JC.; Navarro Quiles, A. (2017). Las Matemáticas para la Gestión de Carteras con Riesgo. Parte IV: Carteras compuestas por n activos con correlaciones estadísticas arbitrarias. El caso en que se fija el rendimiento esperado de la cartera. http://hdl.handle.net/10251/83145DE