Elastic buckling of selected flanges of cold-formed thin-walled beams

The paper is devoted to five different flanges of cold-formed thin-walled beams. Mathematical models of each of the flanges are formulated and solved. The theory of elastic stability of plates and cylindrical shallow shells is applied for this purpose. Critical stress for each flange of the beam is determined. Results of analytical solutions are discussed and compared with numerical (FEM) and experimental investigations. The formulas of critical stresses may be used in practical applications.У роботі розглянуто п’ять різних профілів холоднокатаних тонкостінних балок. Сформульовано та досліджено математичні моделі для кожного з п’яти профілів. У представлених моделях використано теорію пружної стійкості пластин та пологих циліндричних оболонок. Визначено критичні напруження для кожного типу профілю. Проаналізовано результати аналітичних досліджень та проведено їх порівняння із результатами числових досліджень методом скінченних елементів, а також експериментальними даними. Отримані у роботі формули для критичних напружень можуть бути використані на практиці.В роботе рассмотрено пять разных профилей холоднокатаных тонкостенных балок. Сформулированы и исследованы математические модели для каждого из пяти профилей. В представленных моделях использовано теорию упругой устойчивости пластин и цилиндрических пологих оболочек. Определены критические напряжения для каждого типа профиля. Проведен анализ аналитических результатов и представлено сравнение их с результатами численного исследования методом конечных элементов, а также экспериментальными данными. Представленные формулы для критических напряжений могут быть использованы в практике

Elastic buckling and optimization of asymmetric i-cross sections of cold-formed thin-walled beams

Subject of the paper includes two open asymmetric I-cross sections of cold-formed thin-walled beams. The both beams are simply supported and are subjects to pure bending. Every I-section is separately described by dimensionless parameters. Geometric properties with warping functions and inertia moments are determined. The strength, global and local stability conditions are defined for both beams. Mathematical solution of elastic local buckling problem for the flange of I-thin-walled beam is experimentally verified. Optimal open cross section shapes of both beams are determined. The optimization criterion is formulated on the basis of a dimensionless objective function. Optimal open cross sections of both beams are compared with a classical I-section beam.У роботі розглядаються холодноформовані тонкостінні двотаврові балки з відкритими асиметричними поперечними перерізами двох типів. Балки вільно оперті та перебувають в умовах чистого згинання. Переріз кожної з балок описують безрозмірними параметрами, що враховують їх геометрію, моменти інерції та деформацію. Визначені умови міцності, локальної та глобальної стійкості для обох типів балок. Проведено експериментальну перевірку отриманого розв’язку задачі про локальну втрату стійкості полиці двотавра. На основі сформульованого критерію оптимізації, з використанням безрозмірної цільової функції, визначено оптимальні форми поперечних перерізів для обох балок. Отримані оптимальні параметри поперечних перерізів порівняно з класичним двотавровим перерізом.В работе рассматриваются холодноформированные тонкостенные двухтавровые балки открытых асимметричных сечений двух типов. Принимается, что балки свободно опертые и находятся в условиях чистого изгиба. Сечения балок описывают безразмерными параметрами, которые учитывают их геометрию, моменты инерции и деформацию. Исследуются параметры прочности, условия локальной и глобальной устойчивости балок. Проведена экспериментальная проверка полученного математического решения задачи о локальной потере устойчивости полки двухтавра. На основании сформулированного критерия оптимизации, с использованием безразмерной функции цели, определены оптимальные формы поперечных сечений балок. Проведено сравнение полученных оптимальных параметров поперечных сечений с классическим двухтавровым сечением

Stateczność dna elipsoidalnego z króćcem środkowym pod obciążeniem osiowym

The subject of the numerical investigation is an ellipsoidal head with a central (axis-symmetrical) nozzle. The nozzle is loaded by axial load force. The ellipsoidal head is under axial-symmetrical compression load. The numerical FEM model is elaborated. The calculation will provide the critical loads and equilibrium paths for the sample head. The investigation will measure the influence of the diameter of the nozzle on the critical state of the ellipsoidal head.Praca poświęcona jest analizie stateczności dna elipsoidalnego będącego typowym elementem zbiorników ciśnieniowych. Dno zakończone jest króćcem obciążonym siłą osiową ściskającą lub rozciągającą. Przeanalizowano wpływ średnicy króćca na wartość obciążenia krytycznego, postać wyboczenia oraz na przebieg ścieżki równowagi dna

Optymalizacja otwartych antysymetrycznych przekrojów belek cienkościennych walcowanych na zimno

The paper deals with cold-formed thin-walled beams with the Z-, S- and Clothoid-section. A short survey of optimal designs of thin-walled beams with open cross-sections is given. Geometric properties of three cross- sections are described. Strength, local and global buckling conditions for thin-walled beams are presented. The optimal design criterion with a dimensionless objective function as a quality measure is defined. Results of numerical calculations for optimal shapes of three cross-sections are presented in tables and figures.W artykule rozważane są belki o przekrojach poprzecznych w kształcie Z-, S- oraz w kształcie klotoidy. Zamieszczono krótki przegląd zagadnień optymalnego projektowania belek cienkościennych o przekrojach otwartych. Opisano właściwości geometryczne trzech rozważanych przekrojów. Zapisano warunki wytrzymałości oraz lokalnej i ogólnej stateczności belek cienkościennych. Sformułowano kryterium optymalizacyjne z wykorzystaniem bezwymiarowej funkcji celu będącej miarą jakości przekroju. Wyniki numerycznych obliczeń optymalnych zarysów przekrojów poprzecznych przedstawiono w tablicach i na rysunkach

Stateczność dynamiczna porowatej powłoki walcowej poddanej impulsowemu obciążeniu złożonemu

This paper is devoted to a circular cylindrical thin-walled shell made of a porous-cellular material. The cylindrical shell is loaded by impulse of combined forces versus of the time. The impulses of forces by course are taken. In the paper a combined axial and external pressure are assumed. A shell is simply supported on all outer edges. The mechanical properties vary continuously on the thickness of a shell. On the ground of Magnucki's model a nonlinear hypothesis of deformation of a plane cross section of the shell is assumed. The displacement field of any cross section and nonlinear geometrical and physical relationships are assumed in a cylindrical coordinate system. The system of three partial differential equations for dynamic stability shell was obtained using the Hamilton's principle. This system of equations is solved by Galerkin method. In the next step the system of two motion equations was solved by the use of the numerical method (Runge-Kutta). The results of the calculation are presented for selected variables, for example, the time of the duration of external load, the amplitude of the impulse, dimensionless parameter of shell porosity, the share of axial load in the total loads. The results of the research for family ofporous shell are presented.W pracy przedstawiono analizę dynamicznej utraty stateczności powłoki, wywołanej działaniem zmiennego w czasie obciążenia o charakterze impulsowym. Przyjęto impuls o kształcie pófali sinusoidy. Zamknięta powłoka walcowa poddana została jednoczesnemu osiowemu ściskaniu i ciśnieniu zewnętrznemu. Powłoka zorientowana jest w walcowym układzie współrzędnych oraz podparta swobodnie na krawędziach zewnętrznych. Właściwości powłoki po grubości są zmienne i zależą od porowatości materiału. Przyjęty został nieliniowy stan przemieszczeń w przekroju poprzecznym. Związki pomiędzy przemieszczeniem i odkształceniem opisane są za pomocą geometrycznie nieliniowych równań. Równania stateczności powłoki zostały wyprowadzone z zasady Hamiltona, a następnie rozwiązane metodą ortogonalizacyjną Bubnowa-Galerkina. Otrzymano układ dwóch nieliniowych równań ruchu. Równania te rozwiązane zostały numerycznie metodą Rungego-Kutty. W pracy przedstawiono wyniki obliczeń dla przykładowych zmiennych: czas trwania i amplituda impulsu, parametr porowatości powłoki, udziałściskania osiowego do ciśnienia. Wyniki badań przedstawione zostały w postaci wykresów

Wyboczenie sprężyste belki porowatej

The work deals with the problem a straight beam of a rectangular cross-section pivoted at both ends and loaded with a lengthwise compressive force. The beam is made of an isotropic porous material. Its properties vary through thickness of the beam. The modulus of elesticity is minimal on the beam axis and assumes maximum values at its top and bottom surfaces. The principle of stationarity of the total potential energy enables one to define a system of differential equations that govern the beam stability. The system is analytically solved, which leads to an explicit expression for the critical load of the compressed beam. Results of the solution are verified on an example beam by means of the Finite Element Method (COSMOS).Przedmiotem pracy jest prosta belka o przekroju prostokątnym, podparta przegubowo na obu końcach, obciążona wzdłużną siłą ściskającą. Belka wykonana jest z materiału izotropowego porowatego. Właściwości tego materiału są zmienne na wysokości belki. Na osi belki moduł sprężystości jest najmniejszy, natomiast na powierzchniach górnej i dolnej największy. Z zasady stacjonarności całkowitej energii potencjalnej wyznaczono układ równań różniczkowych stateczności belki. Uklad ten rozwiązano analitycznie i zapisano w postaci zamkniętej wyrażenie na obciążenie krytyczne ściskanej belki. Wyniki tego rozwiązania zweryfikowano dla przykładowej belki za pomocą metody elementów skończonych (System COSMOS)

Stability Of An Ellipsoidal Head With A Central Nozzle Under Axial Load

The subject of the numerical investigation is an ellipsoidal head with a central (axis-symmetrical) nozzle. The nozzle is loaded by axial load force. The ellipsoidal head is under axial-symmetrical compression load. The numerical FEM model is elaborated. The calculation will provide the critical loads and equilibrium paths for the sample head.. The investigation will measure the influence of the diameter of the nozzle on the critical state of the ellipsoidal head

Elastic buckling of a triangular frame subject to in-plane tension

The paper is devoted to elastic buckling of a symmetrical triangular frame under tensile in-plane load. Three mathematical models of the triangular frame are formulated. The first model deals with the pre-buckling state, the second one with the in-plane buckling state, and the third one with the lateral buckling state of the frame. The FEM-numerical model of the frame is formulated and the critical loads are calculated. The comparison of the results obtained in the analytical and numerical-FEM analysis is presented in tables and graphs in figures

Marszczenie ściskanej okładziny belki trójwarstwowej poddanej czystemu zginaniu

The paper is devoted to sandwich beams under pure bending. The local buckling problem is analysed. The analytical description of the upper face wrinkling is proposed. From the principle of stationary total potential energy, formulae describing critical stresses in the faces of the beam are derived. The algorithm for determining the critical stresses is shown. Two particular cases of the solution following the core properties are mentioned. The finite element model of the sandwich beam is formulated. The comparison of the results obtained from the proposed analytical model and from FEM analysis is shown for a family of sandwich beams with different thicknesses and core properties.W pracy omówiono zagadnienie lokalnej stateczności belki trójwarstwowej poddanej czystemu zginaniu. Zaproponowano analityczny model marszczenia górnej, ściskanej okładziny. Z zasady stacjonarności energii potencjalnej wyprowadzono równanie opisujące naprężenia krytyczne. Zaproponowano algorytm pozwalający określić wartość naprężeń krytycznych w zależności od własności rdzenia. Opracowano model numeryczny MES belki trójwarstwowej. Dla rodziny belek przeprowadzono analizę numeryczną na wartości własne, a wyniki porównano z otrzymanymi z zaproponowanego modelu analitycznego

Kształtowanie środkowej powierzchni wypukłego dna walcowego zbiornika ciśnieniowego

The paper is devoted to a dished head of a pressure vessel subject to internal uniform pressure. A short survey of optimal design of the pressure vessel and its head is presented. The problem of shaping of the middle surface of the dished head with the use of trigonometric series is depicted. As a criterion of the shaping process, the continuity of curvatures of the surfaces in the joint of the circular cylindrical shell and the dished head is assumed. Results of the numerical calculation for optimal shapes of the head are presented in figures.Praca dotyczy dna wypukłego walcowego zbiornika ciśnieniowego obciążonego równomiernym ciśnieniem wewnętrznym. Zamieszczono krótki przegląd problemu optymalnego projektowania zbiornika i jego dna. Przedstawiono problem kształtowania środkowej powierzchni wypukłego dna z zastosowaniem szeregu trygonometrycznego. Warunek ograniczający kształt południka dna dotyczy ciągłości krzywizn w miejscu połączenia z powłoką walcową. Poszukiwano rozwiązania optymalnego, w którym głębokość dna jest minimalna przy ograniczeniu warunkiem wytrzymałości. Wyniki numerycznych obliczeń optymalnych kształtów dna przedstawiono na rysunkach