КОМПЛЕКСНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА БОЛЬШОЙ ВЫСОТЫ В КРУГАХ МАЛОГО РАДИУСА

It is shown that on the real line and in the complex plane there are intervals I of short length and circles K of small radius within which there are no algebraic numbers of small height. If the length of the intervals and the radius of the circles increase, then it is already possible to obtain nontrivial estimates for the number of algebraic numbers in I and in K.В работе показано, что на числовой прямой и комплексной плоскости существуют интервалы I малой длины и круги K малого радиуса, внутри которых нет алгебраических чисел с небольшой высотой. При увеличении длины интервала и радиуса круга уже можно получать нетривиальные оценки для количества алгебраических чисел в I и K

РЕГУЛЯНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ В КРУГАХ МАЛОГО РАДИУСА

For any sufficiently large positive integer Q≥Q0(n)we prove that there exist complex circles K1, K2 є C of radii r1 and r2, max(r1, r2)<c1(n)Q -1/4 , c1>c01(n), containing no algebraic numbers αєK1, βєK2 with heights bounded by Q, max(H(α), H(β))≤Q. We also show that if the radii of the circles K1 and K2 obey the condition min(r1, r2) >c2 (n)Q -1/4, c2>c02(n), then the number of algebraic numbers lying in these circles is bounded from below by c3(n)Q5r12r22.Полученные в сообщении результаты связаны с распределением алгебраических чисел большой высоты QєN в кругах малых радиусов ri=Q−γ , γ≥0 В работе доказано, что при любом Q≥Q0(n) в C существуют круги K1и K2 радиусов r1 и r2, max(r1, r2)<c1(n)Q -1/4 , c1>c01(n), в которых нет алгебраических чисел αєK1, βєK2, max(H(α), H(β))≤Q. Если же радиусы кругов удовлетворяют условию min(r1, r2) >c2 (n)Q -1/4, c2>c02(n), то количество алгебраических чисел в кругах K1 и K2 не менее, чем c3(n)Q5r12r22