14 research outputs found

    The Structure Properties of Rational Numbers Are Important Component of Mathematical Knowledge of Mathematics Teachers

    Get PDF
    У статті досліджуються деякі властивості поля (Q; +, •; 0, 1) раціональних чисел, його підкілець та підгруп адитивної групи (Q; +; 0) і мультиплікативної групи (Q \ {0}; •; 1) цього поля. Одним із основних підкілець поля раціональних чисел є кільце цілих чисел. Стимулом його розширення до мінімального числового поля, яким є поле раціональних чисел, є проблема розв'язності рівняння ax = b з цілими коефіцієнтами. Умова мінімальності поля, де назване рівняння має розв'язок при а / 0, дає відповідь на питання про зображення довільного раціонального числа часткою двох цілих чисел. Отже, множина раціональних чисел Q = Z и Q \ Z, де Z- множина цілих чисел, а Q \ Z- множина дробових чисел. Загальновідомим є однозначне подання будь-якого раціонального числа q / 0 нескоротним дробом. Проте, однозначних записів ненульових раціональних чисел існує нескінченна кількість. Наприклад, цікавим і корисним у багатьох задачах є однозначне подання раціонального числа q > 0 у вигляді: q = pnfL, де р - просте натуральне число, n є Z, a і b - b натуральні числа, причому (a,b) = (a, p) = (b, p) = 1. Для q< 0 відповідно матимемо: q = -n" a . b Стосовно кілець раціональних чисел, розглянуто питання їх дискретності та щільності. Доведено, зокрема, що щільним буде кожне підкільце поля раціональних чисел, яке містить дробове число. При дослідженні властивостей числових полів, яких не має поле раціональних чисел, продемонстровано доведення його неповноти без використання ірраціональних чисел. При розгляді адитивних і мультиплікативних груп раціональних чисел запропоновано одне з можливих доведень того, що група автоморфізмів групи (Q; +; 0) ізоморфна групі (Q \ {0}; •; 1), а група автоморфізмів підгруп групи (Q; +; 0) ізоморфна підгрупам групи (Q \ {0}; •; 1). Цей факт проілюстровано на прикладі групи (Z; + ; 0) цілих чисел та групи (Qp; +; 0) р-ових дробів для довільного простого числа р. Знання цих фактів допоможе вчителю математики поглибити та осучаснити знання учнів про систему раціональних чисел.There are investigated some structure properties of field (Q; +, •; 0,1) rational numbers, some properties of its subfields, some properties of subgroups of additive group (Q; +; 0) and multiplicative group (Q \ {0}; •; 1) of this field in this article. One of the basic subrings of rational numbers field is integer numbers ring. The stimulus to its extension to minimal numeral field (which are rational numbers field) is the problem of equation's ax = b with integer coefficients soluble. When such equation has a solution with a / 0, the minimal field condition gives an answer about representation any rational number as a quotient of two integer numbers. Thus, the rational numbers set Q = Z uQ \ Z when Z - the integer numbers set and Q \ Z- the fraction numbers set. The uniquely representation any rational number q / 0 as a two integer numbers quotient is commonly known. But uniquely representations any rational number exist infinitely a lot. For example, it's interesting and useful for many problems next uniquely representation any rational number: if q > 0 then q = pn а when p - prime number, n eZ, a and b are natural numbers being b (a, b) = (a, p) = (b,p) = 1; if q < 0 then q = -pn а. b On subject of rings of rational numbers field it's consider the issues about their discreteness and density. It's proved, in particular, that every some ring of rational numbers field is density when fractional number belongs to it. When we investigated the properties of numeral fields which rational numbers field don't have,it's showed the incompleteness of this field. It's proved this fact without using the irrational numbers. It's suggested the one of possible proof that the group of automorphisms of group (Q; +; 0) is isomorphic to group (Q \ {0}; •; 1), when we consider the additive and multiplicative groups of rational numbers field. It's proved that the group of automorphisms of group's (Q; +; 0) subgroups is isomorphic to subgroups of group (Q\ {0}; •; 1) too. The last fact is illustrated by an example of group (Z; +; 0) integer numbers and an example of group (Qp; +; 0) p- adic numbers for any prime number p. The teachers of Mathematics may make the knowledge of their students more deepen and more modern with all these facts

    Finite 2-Groups With Non-Cyclic Center and Non-Dedeikind Norm of Abelian Non-Cyclic Subgroups

    Get PDF
    Вивчаються скінченні 2-групи з недедекіндовою нормою абелевих нециклічних підгруп та нециклічним центром. Встановлюється зв`язок між нормами нециклічних та абелевих нециклічних підгруп.We study finite 2-groups with non-Dedekind norm of Abelian non-cyclic subgroups and non-cyclic center. The relations between the norms of non-cyclic and non-cyclic Abelian subgroups are determined

    Formation of Logical Literacy of Future Mathematics Teachers as an Important Component of Their Professional Training

    Get PDF
    Формулювання проблеми. Багатьом сучасним студентам притаманна несформованість логічної грамотності, основи якої не були закладені у них ще в середній школі. Однією з можливих причин цього явища є недостатність знань вчителя математики наукових основ шкільного курсу математики. Тому проблема формування логічної грамотності майбутніх учителів математики залишається актуальною. Матеріали і методи. При дослідженні використовувались наступні методи: порівняння та синтез теоретичних положень, розкритих у науковій та навчальній літературі; спостереження за ходом навчального процесу; аналіз результатів навчання студентів відповідно до проблеми дослідження; узагальнення власного педагогічного досвіду та досвіду колег з інших закладів вищої освіти. Результати. Логічна грамотність майбутніх учителів математики – це володіння ними достатнім обсягом логічних знань і умінь, необхідних для подальшого вивчення математичних дисциплін та у майбутній педагогічній діяльності. Логічні знання та вміння, якими повинен володіти логічно грамотний студент, майбутній вчитель математики, можна умовно поділити на три групи: логічні знання та вміння щодо математичних понять, символіки та означень; логічні знання та вміння щодо математичних виразів і тверджень; логічні знання та вміння щодо математичних теорем. Логічні знання та вміння щодо математичних означень включають у себе наступні компоненти: логічно грамотне формулювання означень; виявлення та аналіз логічної структури означень; коректний запис означень за допомогою логічних символів; побудова стверджувальної форми, еквівалентної запереченню визначальної частини означення. Логічні знання та уміння щодо математичних виразів і тверджень передбачають наступні дії: розпізнавати види виразів і тверджень; правильно конструювати вирази і твердження; виявляти та аналізувати логічну структуру тверджень; коректно використовувати квантори і логічні зв'язки; коректно записувати твердження за допомогою логічних символів; перекладати символічний запис тверджень на природну мову; перетворювати заперечення даного неелементарного твердження у рівносильне йому твердження у стверджувальній формі. Логічні знання та вміння щодо математичних теорем: відновлення опущених кванторів у теоремі; перехід від безумовної форми теореми до її умовної форми і навпаки; конструювання для даного твердження оберненого, протилежного і оберненого до протилежного тверджень; виявлення та аналіз логічної структури теорем; формулювання теорем із використанням термінів «необхідно» і «достатньо». Висновки. Процес формування логічної грамотності майбутніх учителів математики повинен бути цілеспрямованим та систематичним. Логічна грамотність повинна формуватися ще на шкільному рівні і цей процес повинен продовжуватися під час вивчення фундаментальних математичних курсів та методики навчання математики, а особливо курсу математичної логіки.Formulation of the problem. Many modern students are not characterized by the formation of logical literacy, the basis of which was not laid in them even in high school. One of the possible causes of this phenomenon is the lack of math teacher’s knowledge of the scientific foundations of the school's mathematics course. Therefore, the problem of the formation of logical literacy of future math teachers is relevant. Materials and methods. The following methods were used in the study: comparison and synthesis of theoretical positions, discovered in the scientific and educational literature; observing the course of the educational process; generalization of own pedagogical experience and experience of colleagues from other institutions of higher education. Results. The future math teachers’ logical literacy of is their possession of a sufficient volume of logical knowledge and skills necessary for further study of mathematical disciplines and future pedagogical activity. Logical knowledge and skills of the logically competent student, future mathematics teacher, can be divided into three groups: - logical knowledge and skills in mathematical concepts, symbols and definitions; - logical knowledge and skills in mathematical expressions and statements; - logical knowledge and skills in mathematical theorems. Logical knowledge and abilities for mathematical definitions include the following components: the logically competent formulation of definitions; the identification and analysis of the logical structure of definitions; the correct recording of definitions using logical symbols; the construction of an affirmative form equivalent to the denial of the defining part of the definition. Logical knowledge and abilities in mathematical expressions and statements include the following actions: to recognize types of expressions and statements; correctly construct expressions and statements; to detect and analyze the logical structure of statements; correctly use quantifiers and logical connections; correctly write statements using logical symbols; translate a symbolic statements into a natural language; to turn the negation of this non-elemental statement into an affirmative statement in the sense that it is equivalent to it. Logical knowledge and skills in mathematical theorems: restoration of omitted quantifiers in a theorem; the transition from the unconditional form of the theorem to its conditional form and vice versa; construction for this assertion of the inverse, opposite and inverse of the opposite statements; identification and analysis of the logical structure of the theorems; formulation of theorems using the terms "necessary" and "sufficient". Conclusions. The process of formation of future math teachers’ logical literacy should be purposeful and systematic. Logical literacy should be formed at school level, and this process should continue in the study of fundamental mathematical courses and methods of teaching mathematics, and especially the course of mathematical logic

    Linear Equations and their Systems Over the Field of Integers

    No full text
    В статті подані основні поняття і деякі факти, які відносяться до лінійних рівнянь і систем лінійних рівнянь над кільцем цілих чисел. Розглянуті деякі види та методи розв’язання лінійних рівнянь та систем лінійних рівнянь.The article presents the basic concepts and some facts that relate to linear equations and systems of linear equations over a ring of integers. Some types and methods of solving linear equations and systems of linear equations are considered

    Про норму розкладних підгруп в локально скінченних групах

    No full text
    We study the relationships between the norm of decomposable subgroups and the norm of Abelian non- cyclic subgroups in the class of locally finite groups. We also describe some properties of periodic lo- cally nilpotent groups in which the norm of decomposable subgroups is a non-Dedekind norm.Автори досліджують взаємозвязки між нормою розкладних підгруп і нормою абелевих нециклічних підгруп в класі локально скінченних груп. Також описують деякі властивості періодичних локально нільпотентних груп, норма розкладних підгруп яких недедекіндова

    On Non-Periodic Groups With Non-Dedekind Norm of Abelian Non-Cyclic Subgroups

    No full text
    Изучаются непериодические группы без свободных абелевых подгрупп ранга 2, норма абелевых нециклических подгрупп которых недедекиндова.Non-periodic groups without free Abelian subgroup of rank 2, which the norm of Abelian non-cyclic subgroups are non-Dedekind, are studied

    Про норму розкладних підгруп у неперіодичних групах

    No full text
    We study the relationships between the properties of nonperiodic groups and the norms of their de- composable subgroups. In particular, we analyze the influence of restrictions imposed on the norm of decomposable subgroups on the properties of the group in the case where this norm is non-Dedekind. We also describe the structure of nonperiodic locally nilpotent groups for which the indicated norm is non-Dedekind. Moreover, some relations between the norm of noncyclic Abelian subgroups and the norm of decomposable subgroups are established.Автори вивчають взаємозвязки між властивостями неперіодичних груп та норм їх нерозкладних підгруп. Зокрема, аналізується вплив обмежень, що накладаються на норму розкладних підгруп, на всю групу за умови, що така норма недедекіндова. Автори також описують структуру неперіодичних локально нільпотентних груп, для яких вказана норма недедекіндова. Більше того, деякі взаєзвязки між нормою абелевих нециклічних підгруп і норми розкладних підгруп встановлено

    Групи з умовою мінімальності для неінваріантних розкладних абелевих підгруп

    No full text
    The infinite groups, in which there is no any infinite descending chain of non-invariant decomposable abelian subgroups (md-groups)are studied. Infinite groups with the minimal condition for non-invariant abelian subgroups, infinite groups with the condition of normality for all decomposable abelian subgroups and others belong to the class of md-groups. The complete description of infinite locally finite and locally soluble non-periodic md-groups is given, the connection of the class of md-groups with other classes of groups are investigated.Нескінченні групи, в якій не існує жоднго нескінченного спадного ланцюга неінваріантних розкладних абелевих підгруп (md-групи) вивчаються. Нескінченні групи з умовою мінімальності для неінваріантних абелевих підгруп, нескінчені групи з умовою нормальності для всіх розкладені абелевих підгруп та інші відносяться до класу md--груп. Повний опис нескінченних локально скінченних і локально розвязних неперіодичних md--груп, зв'язок класу md-груп з іншими класами груп досліджується

    Скінченні 2-групи з недедекіндовою неметациклічною нормою абелевих нециклічних підгруп

    No full text
    The authors study finite 2-groups with non-Dedekind non-metacyclic norm of Abelian non-cyclic subgroups depending on the cyclicness or the noncyclicness of the center of a group G. The norm is defined as the intersection of the normalizers of Abelian non-cyclic subgroups of G. It is found out that such 2-groups are cyclic extensions of their norms of Abelian non-cyclic subgroups. Their structure is described.Автори вивчають скінченні 2-групи з недедекіндною неметациклічною нормою абелевих нециклічних підгруп залежно від циклічності чи нециклічності центру групи. Норма визначається як перетин нормалізаторів абелевих нециклічних підгруп. З'ясовано, що такі 2-групи є циклічними розширеннями своїх норм абелевих нециклічних підгруп. Описана їх структура

    Нециклічна норма у неперіодичних групах

    No full text
    The authors study non-periodic locally soluble by finite groups with the non-Dedekind norm of non-cyclic subgroups, which is the intersection of normalizes of all non-cyclic subgroups of a group. It is found that all non-cyclic subgroups are normal in these groups. Their structure is described.Автори вивчають неперіодичні локально скінченні групи з недедекіндовими нормами нециклічних підгруп, що є перетином нормалізаторів усіх нециклічних підгруп групи. Встановлено, що всі нециклічні підгрупи є нормальними в цих групах. Описана їх структура
    corecore