Existence of a conjugate point in the incompressible Euler flow on a three-dimensional ellipsoid

The existence of a conjugate point on the volume-preserving diffeomorphism group of a compact Riemannian manifold M is related to the Lagrangian stability of a solution of the incompressible Euler equation on M. The Misiolek curvature is a reasonable criterion for the existence of a conjugate point on the volume-preserving diffeomorphism group corresponding to a stationary solution of the incompressible Euler equation. In this article, we introduce a class of stationary solutions on an arbitrary Riemannian manifold whose behavior is nice with respect to the Misiolek curvature and give a positivity result of the Misiolek curvature for solutions belonging to this class. Moreover, we also show the existence of a conjugate point in the three-dimensional ellipsoid case as its corollary.Comment: Any comments are appreciate

Os teoremas de singularidade na geometria Lorentziana

TCC (graduação) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Curso de Matemática.O objetivo deste trabalho é estudar os chamados Teoremas de Singularidade na Relatividade Geral. Muitos resultados recebem esta denominação hoje em dia, etodos estão ligados a algum tipo de ”falha” na geometria da variedade em questão; geralmente, incompletude de certos tipos de curvas. Apresentaremos aqui dois deles, um provado por Stephen Hawking, que trata de singularidades cosmológicas (conhecidas popularmente por big-bang e big-crunch) e outro de Roger Penrose, motivado por singularidades que ocorrem em certas geometrias descrevendo buracos negros. Evidentemente, demonstrações de existência de tais fenômenos são de grande interesse na Física. Contudo, muitas discussões ainda estão em andamento no sentido de determinar se as hipóteses necessárias para estes Teoremas serem verdadeiros são realísticas do ponto de físico, ou seja, se os modelos adequados para o nosso universo satisfazem tais hipóteses (ver, por exemplo, [HE], Capítulo 8). Por outro lado, existe um interesse geométrico intrínseco nos Teoremas de Singularidade, independente destas considerações

Deformation retraction of the group of strict contactomorphisms of the three-sphere to the unitary group

We prove that the group of strict contactomorphisms of the standard tight contact structure on the three-sphere deformation retracts to its unitary subgroup U(2).Comment: Expanded both content and references. Separated into two parts. Part 1 is a more detailed proof of our new result of the deformation retraction of the group of strict contactomorphisms on the three-sphere. Part 2 gives a self-contained treatment and proofs of existing results scattered among several papers in the literature on the Fr\'echet bundle structure of the group of strict contactomorphism

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Dada uma variedade diferenciavel M, para cada subgrupo de Lie G \2286 GL(n), pode-se contemplar a reducao do grupo estrutural do GL(n)-fibrado principal de referenciais sobre M a G. Quando existe, tal reducao se chama uma G-estrutura. Dentre todas as G-estruturas, ha uma classe favoravel delas, chamadas G-estruturas de tipo finito, para as quais o grupo G satisfaz uma certa condicao algebrica, a saber, que o k-esimo prolongamento da sua algebra de Lie, g, e o espaco vetorial nulo. Para estas G-estruturas, mostramos que seu grupo de automorfismos, que consiste dos difeomorfismos de M que mandam referenciais da G-estrutura sobre referenciais da G-estrutura, e um grupo de Lie. Casos particulares incluem grupos de isometrias Riemannianas, grupos de isometrias Lorentzianas e grupos conformes.Given a differentiable manifold M, for each group G \2286 GL(n), one might consider the reduction of the structure group of the GL(n)-principal bundle of frames over M to G. When such a reduction exists, it is called a G-structure over M. Among all G-structures, there exists a more tractable class, called G-structures of finite type, for which the group G satisfies a certain algebraic condition, namely, that the kth prolongation of its Lie algebra, g, is the null vector space. We prove, for such G-structures, that their automorphism group, which consists of all diffeo- morpshisms of M onto itself sending frames from the G-structure into frames again belonging to the G-structure, is a Lie group. Some special cases include isometry groups of Riemannian manifolds, isometry groups of Lorentzian manifolds and conformal groups