Del Pezzo surfaces with 1/3(1,1) points

We classify del Pezzo surfaces with 1/3(1,1) points in 29 qG-deformation families grouped into six unprojection cascades (this overlaps with work of Fujita and Yasutake), we tabulate their biregular invariants, we give good model constructions for surfaces in all families as degeneracy loci in rep quotient varieties and we prove that precisely 26 families admit qG-degenerations to toric surfaces. This work is part of a program to study mirror symmetry for orbifold del Pezzo surfaces.Comment: 42 pages. v2: model construction added of last remaining surface, minor corrections, minor changes to presentation, references adde

Deux points de vue sur les variétés de Fano : géométrie du diviseur anticanonique et classification des surfaces à singularités 1/3(1,1)

This thesis concerns Fano varieties, which are central objects within the classification of algebraic varieties.The first problem we discuss involves smooth Fano varieties of dimension four. We study the potential singularities of an anticanonical divisor and determine their explicit local expression. As an intermediate step, we show that they are terminal points, that is the singularities which are closest to the smooth case from the point of view of birational geometry. We then show that the latter result generalizes in arbitrary dimension if we suppose that a nonvanishing conjecture of Kawamata holds.The second approach is to examine Fano varieties of smaller dimensions which admit singularities. The objects we consider are log del Pezzo surfaces with 1/3(1,1) points. This is the simplest example of a rigid singularity, that is it remains unchanged under Q-Gorenstein deformations. We give a complete classification of these surfaces, finding 29 families. We also provide a table describing almost all of them as complete intersections in toric varieties. This work belongs to an overarching project that aims at studying mirror symmetry for del Pezzo surfaces with cyclic quotient singularities.Cette thèse concerne l'étude des variétés de Fano, qui sont des objets centraux de la classification des variétés algébriques. La première question abordée concerne les variétés de Fano lisses de dimension quatre. On cherche a étudier les potentielles singularités d'un diviseur anticanonique de sorte qu'on puisse les écrire sous une forme locale explicite. En tant qu'étape intermédiaire, on démontre aussi que ces points sont au plus des singularités terminales, c'est-à-dire les singularités les plus proches du cas lisse du point de vue de la géométrie birationnelle. On montre ensuite que ce dernier résultat se généralise en dimension arbitraire en admettant une conjecture de non-annulation de Kawamata.De façon complémentaire, on s¿intéresse à des variétés de Fano de dimension plus petite, mais admettant des singularités. Il s¿agit des surfaces de del Pezzo ayant des singularités de type 1/3(1,1). Ceci est l'exemple le plus simple de singularité rigide, c'est-à-dire qui reste inchangée à une déformation Q-Gorenstein près. On classifie entièrement ces objets en trouvant 29 familles. On obtient ainsi un tableau contenant des modèles de ces surfaces, qui pour la plupart sont des intersections complètes dans des variétés toriques. Ce travail s'inscrit dans un contexte plus large, qui a pour cible de calculer leur cohomologie quantique pour ensuite vérifier si deux conjectures en symmetrie miroir

Two viewpoints on Fano varieties : geometry of the anticanonical divisor and classification of surfaces with 1/3(1,1) singularities

Cette thèse concerne l'étude des variétés de Fano, qui sont des objets centraux de la classification des variétés algébriques. La première question abordée concerne les variétés de Fano lisses de dimension quatre. On cherche a étudier les potentielles singularités d'un diviseur anticanonique de sorte qu'on puisse les écrire sous une forme locale explicite. En tant qu'étape intermédiaire, on démontre aussi que ces points sont au plus des singularités terminales, c'est-à-dire les singularités les plus proches du cas lisse du point de vue de la géométrie birationnelle. On montre ensuite que ce dernier résultat se généralise en dimension arbitraire en admettant une conjecture de non-annulation de Kawamata.De façon complémentaire, on s¿intéresse à des variétés de Fano de dimension plus petite, mais admettant des singularités. Il s¿agit des surfaces de del Pezzo ayant des singularités de type 1/3(1,1). Ceci est l'exemple le plus simple de singularité rigide, c'est-à-dire qui reste inchangée à une déformation Q-Gorenstein près. On classifie entièrement ces objets en trouvant 29 familles. On obtient ainsi un tableau contenant des modèles de ces surfaces, qui pour la plupart sont des intersections complètes dans des variétés toriques. Ce travail s'inscrit dans un contexte plus large, qui a pour cible de calculer leur cohomologie quantique pour ensuite vérifier si deux conjectures en symmetrie miroir.This thesis concerns Fano varieties, which are central objects within the classification of algebraic varieties.The first problem we discuss involves smooth Fano varieties of dimension four. We study the potential singularities of an anticanonical divisor and determine their explicit local expression. As an intermediate step, we show that they are terminal points, that is the singularities which are closest to the smooth case from the point of view of birational geometry. We then show that the latter result generalizes in arbitrary dimension if we suppose that a nonvanishing conjecture of Kawamata holds.The second approach is to examine Fano varieties of smaller dimensions which admit singularities. The objects we consider are log del Pezzo surfaces with 1/3(1,1) points. This is the simplest example of a rigid singularity, that is it remains unchanged under Q-Gorenstein deformations. We give a complete classification of these surfaces, finding 29 families. We also provide a table describing almost all of them as complete intersections in toric varieties. This work belongs to an overarching project that aims at studying mirror symmetry for del Pezzo surfaces with cyclic quotient singularities

Combinatorial Reid's recipe for consistent dimer models

Reid's recipe for a finite abelian subgroup $G\subset \text{SL}(3,\mathbb{C})$ is a combinatorial procedure that marks the toric fan of the $G$-Hilbert scheme with irreducible representations of $G$. The geometric McKay correspondence conjecture of Cautis--Logvinenko that describes certain objects in the derived category of $G\text{-Hilb}$ in terms of Reid's recipe was later proved by Logvinenko et al. We generalise Reid's recipe to any consistent dimer model by marking the toric fan of a crepant resolution of the vaccuum moduli space in a manner that is compatible with the geometric correspondence of Bocklandt--Craw--Quintero-V\'{e}lez. Our main tool generalises the jigsaw transformations of Nakamura to consistent dimer models.Comment: 29 pages, published versio