A Pickands type estimator of the extreme value index

One of the main goal of extreme value analysis is to estimate the probability of rare events given a sample from an unknown distribution. The upper tail behavior of this distribution is described by the extreme value index. We present a new estimator of the extreme value index adapted to any domain of attraction. Its construction is similar to the one of Pickands' estimator. its weak consistency and its asymptotic distribution are established and a bias reduction method is proposed. Our estimator is compared with classical extreme value index estimators through a simulation study

On kernel smoothing for extremal quantile regression

Nonparametric regression quantiles obtained by inverting a kernel estimator of the conditional distribution of the response are long established in statistics. Attention has been, however, restricted to ordinary quantiles staying away from the tails of the conditional distribution. The purpose of this paper is to extend their asymptotic theory far enough into the tails. We focus on extremal quantile regression estimators of a response variable given a vector of covariates in the general setting, whether the conditional extreme-value index is positive, negative, or zero. Specifically, we elucidate their limit distributions when they are located in the range of the data or near and even beyond the sample boundary, under technical conditions that link the speed of convergence of their (intermediate or extreme) order with the oscillations of the quantile function and a von-Mises property of the conditional distribution. A simulation experiment and an illustration on real data were presented. The real data are the American electric data where the estimation of conditional extremes is found to be of genuine interest.Comment: Published in at http://dx.doi.org/10.3150/12-BEJ466 the Bernoulli (http://isi.cbs.nl/bernoulli/) by the International Statistical Institute/Bernoulli Society (http://isi.cbs.nl/BS/bshome.htm

Unification and Logarithmic Space

We present an algebraic characterization of the complexity classes Logspace and NLogspace, using an algebra with a composition law based on unification. This new bridge between unification and complexity classes is inspired from proof theory and more specifically linear logic and Geometry of Interaction. We show how unification can be used to build a model of computation by means of specific subalgebras associated to finite permutations groups. We then prove that whether an observation (the algebraic counterpart of a program) accepts a word can be decided within logarithmic space. We also show that the construction can naturally represent pointer machines, an intuitive way of understanding logarithmic space computing

Nonparametric estimation of the conditional tail index

International audienceWe present a nonparametric family of estimators for the tail index of a Pareto-type distribution when covariate information is available. Our estimators are based on a weighted sum of the log-spacings between some selected observations. This selection is achieved through a moving window approach on the covariate domain and a random threshold on the variable of interest. Asymptotic normality is proved under mild regularity conditions and illustrated for some weight functions. Finite sample performances are presented on a real data study

Non-parametric estimation of extreme risk measures from conditional heavy-tailed distributions

International audienceIn this paper, we introduce a new risk measure, the so-called Conditional Tail Moment. It is the moment of order a>0 of the loss distribution above the upper alpha-quantile. Estimating the Conditional Tail Moment permits to estimate all risk measures based on conditional moments such as Conditional Tail Expectation, Conditional Value-at-Risk or Conditional Tail Variance. Here, we focus on the estimation of these risk measures in case of extreme losses (where alpha converges to 0). It is moreover assumed that the loss distribution is heavy-tailed and depends on a covariate. The estimation method thus combines nonparametric kernel methods with extreme-value statistics. The asymptotic distribution of the estimators is established and their finite sample behavior is illustrated both on simulated data and on a real data set of daily rainfalls in the Cévennes-Vivarais region (France)

Estimation de mesures de risque pour des pluies extrêmes dans la région Cévennes-Vivarais

International audienceMany risk measures can be found in the literature such as the Value-at-Risk and the Conditional Tail Expectation. In statistical terms, the Value-at-Risk is a upper quantile of the distribution of the variable of interest. In hydrology, the Value-at-Risk of the rainfall distribution is the return level. The Conditional Tail Expectation is the mean of the rainfalls larger than the Value-at-Risk. Here, we focus on the estimation of these risk measures in case of extreme rainfall modeled by heavy-tailed distributions. In order to take into account the geographical factors, we also assume that these risk measures depend on a covariate. We present the theoretical properties of our estimators and we illustrate their behaviour on a real data set of daily rainfalls in the Cévennes-Vivarais region.On dénombre de nombreuses mesures de risque dans la littérature dont la Value-at-Risk et la Conditional Tail Expectation. En termes statistiques, la Value-at-Risk est un quantile de la distribution de la variable aléatoire d'intérêt. En termes hydrologiques, la Value-at-Risk de la distribution des pluies est le niveau de retour. La Conditional Tail Expectation est la moyenne des précipitations plus élevées que la Value-at-Risk. On s'intéresse à l'estimation de ces mesures de risque dans le cas de pluies extrêmes modélisées par des lois à queues lourdes. Afin de prendre en compte les facteurs géographiques dans notre estimation on considèrera aussi ces mesures de risque en présence d'une covariable. On donnera les propriétés théoriques de nos estimateurs et on illustrera leurs comportements sur un jeu de données pluviométriques provenant de la région Cévennes-Vivarais

Estimation non-paramétrique de mesures de risque pour des lois conditionnelles à queues lourdes avec application à des extrêmes pluviométriques

National audienceL'étude et la maîtrise des risques extrêmes est d'un grand intéret afin d'anticiper des catastrophes et ainsi permettre l'aménagement du territoire. Les hydrologues s'intéressent à l'estimation de la hauteur de pluie journalière pouvant être dépassée par exemple tous les 100 ans. On parle dans ce cas de pluie centennale. Cette mesure de risque est appelée Value-at-Risk et représente le quantile d'ordre p de la fonction de survie de la variable aléatoire d'intérêt. Bien que cette mesure de risque soit la plus utilisée, elle ne fournit qu'une information ponctuelle et donc sous-estime l'impactdu sinistre. Dans le but de lui trouver une alternative, d'autres mesures de risques ont été proposées afin de prendre en compte les incertitudes sur les évènements extrêmes.Nos travaux consistent à introduire et à estimer une nouvelle mesure de risque appellée Conditional Tail Moment. Elle est définie comme le moment d'ordre a > 0 de la loi de la variable aléatoire d'intérêt au-delà du quantile d'ordre p. Estimer le Conditional Tail Moment permet d'estimer toutes les mesures de risque basées sur les moments conditionnels telles que la Conditional Tail Expectation, la Conditional Value-at-Risk ou la Condi-tional Tail Variance. On s'intéresse à l'estimation de ces mesures de risque dans un cadre extrême, c'est-à-dire lorsque p tend vers 0 lorsque la taille de l'échantillon augmente. On suppose également que la loi de la variable aléatoire d'intérêt est à queue lourde et qu'elle dépend d'une covariable. Les estimateurs proposés combinent des méthodes d'estimation non-paramétrique à noyau avec des méthodes issues de la statistique des valeurs extrêmes. On établira le comportement asymptotique de nos estimateurs. On appliquera nos travaux à un jeu de données pluviométriques fourni par le Laboratoire d'étude des Transferts en Hydrologie et Environnement de Grenoble. On dispose des hauteurs de pluies journalières en millimètres entre les années 1958 et 2000 sur 523 stations situées dans la région des Cévennes-Vivarais. Dans ce contexte, les variables d'intérêt sont les précipitations journalières et les covariables sont les coordonnées géographiques des stations. En conclusion, on pourra estimer des mesures de risque extrêmes en des sites où l'on ne dispose pas de mesure

Estimation de mesures de risque pour des pluies extrêmes dans la région Cévennes-Vivarais

National audienceOn dénombre de nombreuses mesures de risque dans la littérature dont la Value-at-Risk et la Conditional Tail Expectation. En termes statistiques, la Value-at-Risk est un quantile de la distribution de la variable aléatoire d'intérêt. En termes hydrologiques, la Value-at-Risk de la distribution des pluies est le niveau de retour. La Conditional Tail Expectation est la moyenne des précipitations plus élevées que la Value-at-Risk. On s'intéresse à l'estimation de ces mesures de risque dans le cas de pluies extrêmes modélisées par des lois à queues lourdes. Afin de prendre en compte les facteurs géographiques dans notre estimation on considèrera aussi ces mesures de risque en présence d'une covariable. On donnera les propriétés théoriques de nos estimateurs et on illustrera leurs comportements sur un jeu de données pluviométriques provenant de la région Cévennes-Vivarais