Efficient Computation of the Nonlinear Schrödinger Equation with Time-Dependent Coefficients

open access articleMotivated by the limited work performed on the development of computational techniques for solving the nonlinear Schrödinger equation with time-dependent coefficients, we develop a modified Runge-Kutta pair with improved periodicity and stability characteristics. Additionally, we develop a modified step size control algorithm, which increases the efficiency of our pair and all other pairs included in the numerical experiments. The numerical results on the nonlinear Schrödinger equation with periodic solution verified the superiority of the new algorithm in terms of efficiency. The new method also presents a good behaviour of the maximum absolute error and the global norm in time, even after a high number of oscillations

A Parametric Method Optimised for the Solution of the (2+1)-Dimensional Nonlinear Schrödinger Equation

open access articleWe investigate the numerical solution of the nonlinear Schrödinger equation in two spatial dimensions and one temporal dimension. We develop a parametric Runge–Kutta method with four of their coefficients considered as free parameters, and we provide the full process of constructing the method and the explicit formulas of all other coefficients. Consequently, we produce an adaptable method with four degrees of freedom, which permit further optimisation. In fact, with this methodology, we produce a family of methods, each of which can be tailored to a specific problem. We then optimise the new parametric method to obtain an optimal Runge–Kutta method that performs efficiently for the nonlinear Schrödinger equation. We perform a stability analysis, and utilise an exact dark soliton solution to measure the global error and mass error of the new method with and without the use of finite difference schemes for the spatial semi-discretisation. We also compare the efficiency of the new method and other numerical integrators, in terms of accuracy versus computational cost, revealing the superiority of the new method. The proposed methodology is general and can be applied to a variety of problems, without being limited to linear problems or problems with oscillatory/periodic solutions

Runge-Kutta and Runge-Kutta-Nystrom with special properties for the numerical solution of differential equations

In the present thesis we examine systems of first and second order ordinary differential equations and second-order ordinary differential equations with oscillating solutions which are integrated numerically. For the solution of the above equations we use explicit Runge-Kutta and Runge-Kutta-Nystrom, that integrate exactly a set of special functions. The thesis consists of two parts. In the first part, we present the basic theory, which is used for the development, analysis and application of the Runge-Kutta and Runge-Kutta-Nystrom methods. We present the basic definitions of the two types of methods, a brief description of the tree theory and the definitions of the phase-lag and the dissipation. The second part consists of two chapters. In the first chapter we construct an explicit fifth algebraic order Runge-Kutta method, where we minimize the phase-lag for the integration of the one-dimensional time-independent Schrodinger equation and other related initial value problems. Afterwards, we compare the results derived from the new method, to those of other methods for the numerical integration of the Schrodinger equation. In the second chapter of the second part, two explicit fifth algebraic order Runge-Kutta-Nystrom methods are derived. The first one has constant coefficients and the second combines the properties of zero phase-lag and zero amplification factor, for the numerical integration of the radial one-dimensional time-independent Schrodinger equation, of the two-body problem and for three other related problems. Finally, we compare the results derived from the new method, to those of other methods.Στην παρούσα διδακτορική διατριβή μελετάται η αριθμητική επίλυση συστημάτων πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων συνήθων διαφορικών εξισώσεων με λύση ταλαντωτικής μορφής. Για την αριθμητική ολοκλήρωση των εξισώσεων αυτών, αναπτύσσονται άμεσες μέθοδοι Runge-Kutta και Runge-Kutta-Nystrom. Η διατριβή αποτελείται από δύο βασικά μέρη. Στο πρώτο μέρος παρουσιάζονται βασικές έννοιες που χρησιμοποιούνται για την ανάπτυξη, ανάλυση και εφαρμογή των μεθόδων Runge-Kutta και Runge-Kutta-Nystrom. Δίνονται οι βασικοί ορισμοί και η γενική μορφή και των δύο τύπων μεθόδων. Παρουσιάζεται συνοπτικά η θεωρία των δέντρων και αναφέρονται οι ορισμοί της υστέρησης φάσης και της απώλειας. Το δεύτερο μέρος αποτελείται από δύο κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο αναπτύσσεται μία άμεση μέθοδος Runge-Kutta πέμπτης αλγεβρικής τάξης, όπου ελαχιστοποιείται η υστέρηση φάσης, για την αριθμητική ολοκλήρωση της ανεξάρτητης του χρόνου, μονοδιάστατης εξίσωσης Schrodinger και άλλων σχετικών προβλημάτων αρχικών τιμών. Κατόπιν, γίνεται σύγκριση των αποτελεσμάτων που εξήχθησαν με αυτά άλλων μεθόδων που χρησιμοποιούνται για την αριθμητική επίλυση της εξίσωσης Schrodinger. Στο δεύτερο κεφάλαιο του δεύτερου μέρους παρουσιάζονται δύο άμεσες Runge-Kutta-Nystrom μέθοδοι πέμπτης αλγεβρικής τάξης, που η μία έχει σταθερούς συντελεστές και η άλλη συνδυάζει τις ιδιότητες της μηδενικής υστέρησης φάσης και της μηδενικής απώλειας, για την αριθμητική ολοκλήρωση της μονοδιάστατης εξίσωσης Schrodinger, καθώς επίσης του τροχιακού προβλήματος δύο σωμάτων και άλλων συναφών προβλημάτων. Για τις νέες μεθόδους γίνονται συγκρίσεις αποτελεσμάτων και με άλλες μεθόδους από τη βιβλιογραφία