Revisiting Tropical Polynomial Division: Theory, Algorithms and Application to Neural Networks

Tropical geometry has recently found several applications in the analysis of neural networks with piecewise linear activation functions. This paper presents a new look at the problem of tropical polynomial division and its application to the simplification of neural networks. We analyze tropical polynomials with real coefficients, extending earlier ideas and methods developed for polynomials with integer coefficients. We first prove the existence of a unique quotient-remainder pair and characterize the quotient in terms of the convex bi-conjugate of a related function. Interestingly, the quotient of tropical polynomials with integer coefficients does not necessarily have integer coefficients. Furthermore, we develop a relationship of tropical polynomial division with the computation of the convex hull of unions of convex polyhedra and use it to derive an exact algorithm for tropical polynomial division. An approximate algorithm is also presented, based on an alternation between data partition and linear programming. We also develop special techniques to divide composite polynomials, described as sums or maxima of simpler ones. Finally, we present some numerical results to illustrate the efficiency of the algorithms proposed, using the MNIST handwritten digit and CIFAR-10 datasets

Wärmetransport in eindimensionalen Spinsystemen

Es wurde der Wärmetranport an eindimensionalen Spinsystemen untersucht. Die Wärmeleitfähigkeit wurde als Funktion der Temperatur und unter dem Einfluss externer Magnetfelder an sechs unterschiedlichen Systemen der Familie der Vanadate, am Kuprat LiCu2O2 und am Nickelat Y2BaNiO5 gemessen. Die untersuchten Vanadate waren die S = 1/2-Spinleiter-Systeme CaV2O5 und MgV2O5, das S = 1/2-Dimer-System CsV2O5, das System alpha-NaV2O5, in dem ein Phasenübergang von einer Hochtemperatur-Phase mit 1/4-gefüllten Spinleitern zu einer ladungsgeordneten Tieftemperatur-Phase mit Zig-Zag-Spinketten stattfindet, das S = 1/2-Spinketten-System gamma-LiV2O5 und das System beta-Na0.33V2O5, in dem sich drei unterschiedliche Phasenübergänge (Ordnung der Natrium-Atome, Metall-Isolator-Übergang begleitet von einer Ladungsordnung der Vanadium-Atome und Übergang zur antiferromagnetischen Ordnung) ereignen. Für die Wärmeleitfähigkeitsmessungen an CaV2O5, MgV2O5 und CsV2O5 standen nur polykristalline Proben zur Verfügung. Für alle anderen Vanadate wurde an Einkristallen gemessen. Die Analyse der Messdaten, die hauptsächlich mit Hilfe des Debye- Modells für die phononische Wärmeleitfähigkeit durchgeführt wurde, ergab, dass bei allen im Rahmen dieser Arbeit untersuchten Vanadate die Wärmeleitfähigkeit hauptsächlich phononischen Ursprungs ist. Speziell bei den einkristallinen Proben ist das Hauptargument für eine größtenteils phononische Wärmeleitfähigkeit in diesen Systemen die geringe qualitative Anisotropie, die kappa entlang den unterschiedlichen Messrichtungen aufweist. Eine Magnetfeldabhängigkeit wurde nur bei der Wärmeleitfähigkeit entlang der magnetischen Richtung in beta-Na0.33V2O5 im Temperaturbereich des Maximums beobachtet, deren Ursprung ungeklärt bleibt. LiCu2O2 ist ein S = 1/2-Spinketten-System, in dem ein Phasenübergang zu einer helikalmagnetischen Ordnung stattfindet. Aufgrund der geringen qualitativen Anisotropie von kappa bei den Messungen in der Ebene der Spinketten und senkrecht dazu wurde die Wärmeleitfähigkeit von LiCu2O2 als hauptsächlich phononischen Ursprungs interpretiert. Es konnte keine Magnetfeldabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit beobachtet werden. Bei Y2BaNiO5 handelt es sich um ein Haldane-System (S = 1-Spinketten-System). Die Analyse, die mit Hilfe des Debye-Modells für die phononische Wärmeleitfähigkeit durchgeführt wurde, liefert aufgrund der ausgeprägten Anisotropie der Wärmeleitfähigkeit bei den Messungen entlang der Spinketten und senkrecht dazu den Hinweis auf einen magnetischen Beitrag zu entlang der Spinketten von Y2BaNiO5. Es wurde keine Magnetfeldabhängigkeit von beobachtet. Die berechnete Energie-Diffusionskonstante DE(T) nähert sich dem theoretischen Hochtemperaturwert bei Raumtemperatur an. Die Hauptstreuzentren für die Magnonen sind bei tiefen Temperaturen vermutlich magnetische Verunreinigungen in der gemessenen Probe

Matrix Factorization in Tropical and Mixed Tropical-Linear Algebras

Matrix Factorization (MF) has found numerous applications in Machine Learning and Data Mining, including collaborative filtering recommendation systems, dimensionality reduction, data visualization, and community detection. Motivated by the recent successes of tropical algebra and geometry in machine learning, we investigate two problems involving matrix factorization over the tropical algebra. For the first problem, Tropical Matrix Factorization (TMF), which has been studied already in the literature, we propose an improved algorithm that avoids many of the local optima. The second formulation considers the approximate decomposition of a given matrix into the product of three matrices where a usual matrix product is followed by a tropical product. This formulation has a very interesting interpretation in terms of the learning of the utility functions of multiple users. We also present numerical results illustrating the effectiveness of the proposed algorithms, as well as an application to recommendation systems with promising results

Η Φαρμακογονιδιωματική στο πλαίσιο της Σύγχρονης Βιοηθικής

Η φαρμακογονιδιωματική, ως η μελέτη των γενετικών πολυμορφισμών που επηρεάζουν την ανταπόκριση ενός ασθενούς στο φάρμακο, είναι μια νέα σχετικά μέθοδος, που υπόσχεται να πραγματοποιήσει το όνειρο του κάθε γιατρού για αποτελεσματικά φάρμακα χωρίς παρενέργειες. Για να επιτευχθεί όμως αυτό, θα πρέπει να γίνουν απαραίτητα εξετάσεις που αφορούν το γονιδίωμα και να αξιοποιηθεί ένας μεγάλος όγκος δεδομένων, χρησιμοποιώντας τη σύγχρονη τεχνολογία. Η διαχείριση μιας τόσο μεγάλης ποσότητας ευαίσθητων προσωπικών δεδομένων, δημιουργεί πολλά ερωτηματικά, κυρίως ως προς τη δυνατότητα να προστατευθεί το απόρρητο των ασθενών. Το απόρρητο, στο νέο πλαίσιο που δημιουργείται, αφενός μεν από την ανάγκη προστασίας των γονιδιωματικών δεδομένων, εξαιτίας του κινδύνου γενετικού στιγματισμού, αφετέρου δε από την ανάγκη για την, όσο το δυνατό, ελεύθερη κυκλοφορία των γενετικών δεδομένων, ώστε να μπορέσει η φαρμακογονιδιωματική να υλοποιήσει τους στόχους της, αντιμετωπίζεται με αντιφατικούς, πολλές φορές, τρόπους. Τα γενετικά δεδομένα επίσης και οι εξειδικευμένες γνώσεις που χρειάζονται για την προσπέλαση της πολυπλοκότητάς τους, δημιουργούν καινούργια διλήμματα σχετικά με την ενημέρωση του ασθενούς κατά το στάδιο της συναίνεσής του, λόγω της μεγάλης ασάφειας των αποτελεσμάτων που μπορεί να προκύψουν. Η κοινοκτημοσύνη που διακρίνει τα γενετικά δεδομένα, δημιουργεί το εύλογο ερώτημα, εάν η ατομική συγκατάθεση είναι αρκετή, ώστε να μην προσβληθεί η αυτονομία και όλων όσοι επηρεάζονται από αυτές τις εξετάσεις, χωρίς να έχουν συναινέσει. Οι εταιρείες που ειδικεύονται στις γενετικές εξετάσεις, εκμεταλλευόμενες ίσως τη πολυδιαφημιζόμενη δυναμική των γενετικών εξετάσεων, απευθύνουν γενετικά τεστ απευθείας στους καταναλωτές, με κίνδυνο παρερμηνείας των αποτελεσμάτων. Τέλος, τα στοχευμένα αποτελεσματικά και στερούμενα ιδιαίτερων παρενεργειών φάρμακα, μπορούν να βελτιώσουν τις γνωστικές λειτουργίες, με αποτέλεσμα την επίταση των γνωσιακών δεξιοτήτων και των ανισοτήτων. Ολοκληρώνοντας, επιχειρείται μια γενική αποτίμηση των βασικών διλλημάτων και θέσεων.Pharmacogenomics, the study of DNA variants which affect a patient's response to medication, is a relatively new method that promises to make every doctor’s dream for effective medicine without side-effects come true. However, in order for this to be achieved, there will need to be mandatory genome testing and utilization of a large volume of data by the use of modern technology. Handling such big amounts of sensitive personal data raises many questions, primarily concerning the ability to protect patient privacy. Privacy, in the new context created by the need for protection of genome testing data, due to the danger of genetic stigma and the need, at the same time, for as much as possible freedom of genetic data so that pharmacogenomics can achieve its goals, is often faced in contradictory ways. Genetic data as well as the specialized knowledge required to overcome their complexity create new dilemmas about informing the patient during the consent phase, because of the great ambiguity of the results that may arise, as well as the shared ownership of the genetic data that distinguishes them, makes us wonder if individual consent is enough for us to not to offend the autonomy of those who are affected by the testing and without giving consent. Companies specialized in genetic testing, by making use, perhaps, of the much advertised power of genetic test, give genetic tests directly to consumers, risking a misinterpretation of the results. Also, specialized, effective medicine that do not have serious side-effects can enhance cognitive abilities and thus increase cognitive skills and inequity. Lastly, there will be a general assessment of the main dilemmas and viewpoints

Mesoscopic Phase Coherence in a Quantum Spin Fluid

Mesoscopic quantum phase coherence is important because it improves the prospects for handling quantum degrees of freedom in technology. Here we show that the development of such coherence can be monitored using magnetic neutron scattering from a one-dimensional spin chain Y2BaNiO5, a quantum spin fluid where no classical, static magnetic order is present. In the cleanest samples, the quantum coherence length is 20 nm, almost an order of magnitude larger than the classical antiferromagnetic correlation length of 3 nm. We also demonstrate that the coherence length can be modified by static and thermally activated defects in a quantitatively predictable manner