Representations of certain irrational W-algebras

U disertaciji proučavamo neke iracionalne $\mathcal{W}$-algebre i njihove reprezentacije. Glavni primjer koji istražujemo je prosta Bershadsky-Polyakov verteks algebra $\mathcal{W}_k(=\mathcal{W}_k(sl_3, f_\theta))$, tj. minimalna afina $\mathcal{W}$-algebra pridružena $sl_3$. T. Arakawa je dokazao u članku [9] da je $\mathcal{W}_k$ racionalna ako je $k$ polucijeli broj veći od $-3/2$. Mi proučavamo slučajeve kad je $\mathcal{W}_k$ iracionalna, te klasificiramo $\mathcal{W}_k$-module za neke $k$. Klasifikacija ireducibilnih modula koristi Zhuovu teoriju i formule za singularne vektore. Istaknimo da je Zhuova algebra realizirana kao kvocijent Smithove algebre iz [44]. Klasifikacija ireducibilnih jakih modula za algebru $\mathcal{W}_k$ (tj. modula s konačno-dimenzionalnim težinskim potprostorima za operator $L(0)$) je zato povezana s klasifikacijom konačno-dimenzionalnih reprezentacija Smithove algebre. U slučaju $k=-5/3$ pokazujemo da je $\mathcal{W}_k$ realizirana kao verteks podalgebra Weylove verteks algebre. Dokazujemo da tada $\mathcal{W}_k$ ima točno 6 ireducibilnih jakih modula. U slučaju $k=-9/4$, $\mathcal{W}_k$ je važan primjer logaritamske verteks algebre. Klasificiramo jake $\mathcal{W}_k$ module za $k=-9/4$ i dokazujemo da $\mathcal{W}_k$ ima točno 3 ireducibilna jaka modula. Da bi pokazali da je $\mathcal{W}_k$ iracionalna, konstruiramo neprebrojivu familiju težinskih modula za $\mathcal{W}_k$ izvan kategorije $\mathcal{O}$. Konstruiramo familiju singularnih vektora koja generalizira Arakawine formule za singularne vektore za $k$ polucijeli broj iz [9]. U slučajevima $k=-1$ i $k=0$ klasificiramo sve module u kategoriji $\mathcal{O}$. U slučaju $k=0$, dajemo eksplicitnu realizaciju verteks algebre $\mathcal{W}_k$ i njenih modula kao određene iracionalne podalgebre verteks algebri pridruženih rešetkama. Također proučavamo algebru $\mathcal{W}_k$ u slučaju kad je $k$ cijeli broj veći od -1.In this thesis we study certain irrational $\mathcal{W}$-algebras and their representations. Main example that we investigate is the simple Bershadsky-Polyakov vertex algebra $\mathcal{W}_k(=\mathcal{W}_k(sl_3, f_\theta))$, i.e. the minimal affine $\mathcal{W}$-algebra associated to $sl_3$. T. Arakawa proved in [9] that $\mathcal{W}_k$ is rational if $k$ is a half integer greater that $-3/2$. We study cases where $\mathcal{W}_k$ is irrational, and classify $\mathcal{W}_k$-modules for certain $k$. Main tools that we use to classify irreducible modules are Zhu's theory and formulas for singular vectors. Zhu algebra is realized as a quotient of the Smith algebra from [44]. Classification of irreducible strong modules for $\mathcal{W}_k$ (i.e. modules with finite dimensional weight subspaces for the the operator $L(0)$) is hence connected to the classification of finite dimensional representations of the Smith algebra. In the case $k=-5/3$, we show that $\mathcal{W}_k$ is realized as a vertex subalgebra of the Weyl vertex algebra. We prove that in this case $\mathcal{W}_k$ has exactly 6 irreducible strong modules. In the case $k=-9/4$ , $\mathcal{W}_k$ is an important example of a logarithmic vertex algebra. We classify strong $\mathcal{W}_k$-modules for $k=-9/4$ and prove that $\mathcal{W}_k$ has exactly 3 irreducible strong modules. In order to show that $\mathcal{W}_k$ is irrational, we construct an uncountable family of weight modules for $\mathcal{W}_k$ outside of category $\mathcal{O}$. We construct a family of singular vectors which generalizes Arakawa’s formulas for singular vectors for $k$ half integer from [9]. For $k=-1$ and $k=0$ we classify all modules in the category $\mathcal{O}$. In the case $k=0$, we give an explicit realization of the vertex algebra $\mathcal{W}_k$ and its modules as certain irrational subalgebras of lattice VOAs. We also study the algebra $\mathcal{W}_k$ when $k$ is an integer greater than -1

Spare Parts Forecasting Based on Reliability

Stochastic models for spare parts forecasting have not been widely researched in scientific literature from the aspect of their reliability. In this chapter, the authors present models which analyze standard reliability parameters of technical systems’ parts/components. By analyzing system reliability and failure rate, we estimate the required number of spare parts in the moment of expected failure or when reliability falls below the predefined level. Two different approaches based on data availability are presented herewith

Representations of certain irrational W-algebras

U disertaciji proučavamo neke iracionalne $\mathcal{W}$-algebre i njihove reprezentacije. Glavni primjer koji istražujemo je prosta Bershadsky-Polyakov verteks algebra $\mathcal{W}_k(=\mathcal{W}_k(sl_3, f_\theta))$, tj. minimalna afina $\mathcal{W}$-algebra pridružena $sl_3$. T. Arakawa je dokazao u članku [9] da je $\mathcal{W}_k$ racionalna ako je $k$ polucijeli broj veći od $-3/2$. Mi proučavamo slučajeve kad je $\mathcal{W}_k$ iracionalna, te klasificiramo $\mathcal{W}_k$-module za neke $k$. Klasifikacija ireducibilnih modula koristi Zhuovu teoriju i formule za singularne vektore. Istaknimo da je Zhuova algebra realizirana kao kvocijent Smithove algebre iz [44]. Klasifikacija ireducibilnih jakih modula za algebru $\mathcal{W}_k$ (tj. modula s konačno-dimenzionalnim težinskim potprostorima za operator $L(0)$) je zato povezana s klasifikacijom konačno-dimenzionalnih reprezentacija Smithove algebre. U slučaju $k=-5/3$ pokazujemo da je $\mathcal{W}_k$ realizirana kao verteks podalgebra Weylove verteks algebre. Dokazujemo da tada $\mathcal{W}_k$ ima točno 6 ireducibilnih jakih modula. U slučaju $k=-9/4$, $\mathcal{W}_k$ je važan primjer logaritamske verteks algebre. Klasificiramo jake $\mathcal{W}_k$ module za $k=-9/4$ i dokazujemo da $\mathcal{W}_k$ ima točno 3 ireducibilna jaka modula. Da bi pokazali da je $\mathcal{W}_k$ iracionalna, konstruiramo neprebrojivu familiju težinskih modula za $\mathcal{W}_k$ izvan kategorije $\mathcal{O}$. Konstruiramo familiju singularnih vektora koja generalizira Arakawine formule za singularne vektore za $k$ polucijeli broj iz [9]. U slučajevima $k=-1$ i $k=0$ klasificiramo sve module u kategoriji $\mathcal{O}$. U slučaju $k=0$, dajemo eksplicitnu realizaciju verteks algebre $\mathcal{W}_k$ i njenih modula kao određene iracionalne podalgebre verteks algebri pridruženih rešetkama. Također proučavamo algebru $\mathcal{W}_k$ u slučaju kad je $k$ cijeli broj veći od -1.In this thesis we study certain irrational $\mathcal{W}$-algebras and their representations. Main example that we investigate is the simple Bershadsky-Polyakov vertex algebra $\mathcal{W}_k(=\mathcal{W}_k(sl_3, f_\theta))$, i.e. the minimal affine $\mathcal{W}$-algebra associated to $sl_3$. T. Arakawa proved in [9] that $\mathcal{W}_k$ is rational if $k$ is a half integer greater that $-3/2$. We study cases where $\mathcal{W}_k$ is irrational, and classify $\mathcal{W}_k$-modules for certain $k$. Main tools that we use to classify irreducible modules are Zhu's theory and formulas for singular vectors. Zhu algebra is realized as a quotient of the Smith algebra from [44]. Classification of irreducible strong modules for $\mathcal{W}_k$ (i.e. modules with finite dimensional weight subspaces for the the operator $L(0)$) is hence connected to the classification of finite dimensional representations of the Smith algebra. In the case $k=-5/3$, we show that $\mathcal{W}_k$ is realized as a vertex subalgebra of the Weyl vertex algebra. We prove that in this case $\mathcal{W}_k$ has exactly 6 irreducible strong modules. In the case $k=-9/4$ , $\mathcal{W}_k$ is an important example of a logarithmic vertex algebra. We classify strong $\mathcal{W}_k$-modules for $k=-9/4$ and prove that $\mathcal{W}_k$ has exactly 3 irreducible strong modules. In order to show that $\mathcal{W}_k$ is irrational, we construct an uncountable family of weight modules for $\mathcal{W}_k$ outside of category $\mathcal{O}$. We construct a family of singular vectors which generalizes Arakawa’s formulas for singular vectors for $k$ half integer from [9]. For $k=-1$ and $k=0$ we classify all modules in the category $\mathcal{O}$. In the case $k=0$, we give an explicit realization of the vertex algebra $\mathcal{W}_k$ and its modules as certain irrational subalgebras of lattice VOAs. We also study the algebra $\mathcal{W}_k$ when $k$ is an integer greater than -1

A LEGAL STATUS OF TRAFFIC ROADS AND THEIR ENTRY IN LAND REGISTERS

U radu se razmatra pravni status prometnica – javnih cesta i nerazvrstanih cesta unatrag tridesetak godina u Republici Hrvatskoj analizom zakonskih rješenja kojima je bio, odnosno kojima je uređen pravni status prometnica. Isto tako razmatra se i pitanje upisa prometnica u zemljišnim knjigama, te ukazuje na probleme. Posebno se analizira Prijedlog Zakona o cestama i rješenja koja donosi taj propis, a koji je u prosincu 2010. godine bio u parlamentarnoj proceduri u prvom čitanjuThe author in the article considers a legal status of traffic roads – public roads and unclassified roads in the last thirty years in the Republic of Croatia analysing the legislative acts which have regulated the legal status in question. Moreover, he discusses the issue concerning the traffic roads entry in land registers and points at certain problems arising from it. A special attention has been given to the Bill on Traffic Road Act and legal solutions within it. In December 2010, the Bill was given a first reading before the Parliament

LEGAL STATUS OF AGRICULTURAL LAND IN REPUBLIC OF CROATIA – HIS TORI CAL OVERVIE W, DE LEGE LATA , DE LEGE FERENDA

Autor u radu govori o pravnom statusu i raspolaganju poljoprivrednim zemljištem u Republici Hrvatskoj od donošenja Ustava Republike Hrvatske 1990. godine, pa do danas. Prikazane su odredbe propisa koje su regulirale pitanje vlasništva nad poljoprivrednim zemljištem koje je bilo u društvenom vlasništvu, kao i načine na koji je država pokušavala u razdoblju od 1991. do danas raspolagati kako svojim poljoprivrednim zemljištem, tako i privatnim zemljištem koje je neobrađeno. Isto tako ukazuje se na potrebu donošenja propisa kojima će se okrupniti poljoprivredni posjedi, te spriječiti da se kroz nasljeđivanje poljoprivredne površine dijele.The aim of this article is to present the content of the provisions of Agricultural Land Act from 1991 to 2013 which regulate legal status and disposal of agricultural land owned by the state. The author analyses the provisions concerning the legal status of agricultural land, and types of disposal of agricultural land owned by the state (lease, sealing, lease of long duration, concession) through that period. At the end of article author points out the necessary amendments to the regulation for the implemention of the consolidation process and the inheritance of agricultural land

Representations of certain irrational W-algebras

U disertaciji proučavamo neke iracionalne $\mathcal{W}$-algebre i njihove reprezentacije. Glavni primjer koji istražujemo je prosta Bershadsky-Polyakov verteks algebra $\mathcal{W}_k(=\mathcal{W}_k(sl_3, f_\theta))$, tj. minimalna afina $\mathcal{W}$-algebra pridružena $sl_3$. T. Arakawa je dokazao u članku [9] da je $\mathcal{W}_k$ racionalna ako je $k$ polucijeli broj veći od $-3/2$. Mi proučavamo slučajeve kad je $\mathcal{W}_k$ iracionalna, te klasificiramo $\mathcal{W}_k$-module za neke $k$. Klasifikacija ireducibilnih modula koristi Zhuovu teoriju i formule za singularne vektore. Istaknimo da je Zhuova algebra realizirana kao kvocijent Smithove algebre iz [44]. Klasifikacija ireducibilnih jakih modula za algebru $\mathcal{W}_k$ (tj. modula s konačno-dimenzionalnim težinskim potprostorima za operator $L(0)$) je zato povezana s klasifikacijom konačno-dimenzionalnih reprezentacija Smithove algebre. U slučaju $k=-5/3$ pokazujemo da je $\mathcal{W}_k$ realizirana kao verteks podalgebra Weylove verteks algebre. Dokazujemo da tada $\mathcal{W}_k$ ima točno 6 ireducibilnih jakih modula. U slučaju $k=-9/4$, $\mathcal{W}_k$ je važan primjer logaritamske verteks algebre. Klasificiramo jake $\mathcal{W}_k$ module za $k=-9/4$ i dokazujemo da $\mathcal{W}_k$ ima točno 3 ireducibilna jaka modula. Da bi pokazali da je $\mathcal{W}_k$ iracionalna, konstruiramo neprebrojivu familiju težinskih modula za $\mathcal{W}_k$ izvan kategorije $\mathcal{O}$. Konstruiramo familiju singularnih vektora koja generalizira Arakawine formule za singularne vektore za $k$ polucijeli broj iz [9]. U slučajevima $k=-1$ i $k=0$ klasificiramo sve module u kategoriji $\mathcal{O}$. U slučaju $k=0$, dajemo eksplicitnu realizaciju verteks algebre $\mathcal{W}_k$ i njenih modula kao određene iracionalne podalgebre verteks algebri pridruženih rešetkama. Također proučavamo algebru $\mathcal{W}_k$ u slučaju kad je $k$ cijeli broj veći od -1.In this thesis we study certain irrational $\mathcal{W}$-algebras and their representations. Main example that we investigate is the simple Bershadsky-Polyakov vertex algebra $\mathcal{W}_k(=\mathcal{W}_k(sl_3, f_\theta))$, i.e. the minimal affine $\mathcal{W}$-algebra associated to $sl_3$. T. Arakawa proved in [9] that $\mathcal{W}_k$ is rational if $k$ is a half integer greater that $-3/2$. We study cases where $\mathcal{W}_k$ is irrational, and classify $\mathcal{W}_k$-modules for certain $k$. Main tools that we use to classify irreducible modules are Zhu's theory and formulas for singular vectors. Zhu algebra is realized as a quotient of the Smith algebra from [44]. Classification of irreducible strong modules for $\mathcal{W}_k$ (i.e. modules with finite dimensional weight subspaces for the the operator $L(0)$) is hence connected to the classification of finite dimensional representations of the Smith algebra. In the case $k=-5/3$, we show that $\mathcal{W}_k$ is realized as a vertex subalgebra of the Weyl vertex algebra. We prove that in this case $\mathcal{W}_k$ has exactly 6 irreducible strong modules. In the case $k=-9/4$ , $\mathcal{W}_k$ is an important example of a logarithmic vertex algebra. We classify strong $\mathcal{W}_k$-modules for $k=-9/4$ and prove that $\mathcal{W}_k$ has exactly 3 irreducible strong modules. In order to show that $\mathcal{W}_k$ is irrational, we construct an uncountable family of weight modules for $\mathcal{W}_k$ outside of category $\mathcal{O}$. We construct a family of singular vectors which generalizes Arakawa’s formulas for singular vectors for $k$ half integer from [9]. For $k=-1$ and $k=0$ we classify all modules in the category $\mathcal{O}$. In the case $k=0$, we give an explicit realization of the vertex algebra $\mathcal{W}_k$ and its modules as certain irrational subalgebras of lattice VOAs. We also study the algebra $\mathcal{W}_k$ when $k$ is an integer greater than -1

ACQUISTO PER USUCAPIONE DI BENI DI PROPRIETÀ SOCIALE ALLA LUCE DELLA NUOVA GIURISPRUDENZA DELLA CORTE EUROPEA DEI DIRITTI DELL’UOMO

Dosjelost kao institut građanskog prava poznat je još od rimskog prava i predstavlja način stjecanja prava vlasništva (i nekih drugih stvarnih prava) na temelju zakona. Rad se bavi stjecanjem prava vlasništva na temelju dosjelosti na nekretninama koje su bile u društvenom vlasništvu. Iako je sudska praksa zauzela shvaćanje da je rok za dosjelost na nekretninama u društvenom vlasništvu mogao početi teći tek od 8. listopada 1991. godine, tri odluke Europskog suda za ljudska prava (Trgo protiv Hrvatske, Radomilja i drugi protiv Hrvatske i Jakeljić protiv Hrvatske) otvaraju mogućnost da se u vrijeme potrebno za dosjelost računa i razdoblje prije 8. listopada 1991. godine. U radu se ukazuje u kojim se slučajevima shvaćanjem Europskog suda za ljudska prava može primijeniti i kakav je učinak tih odluka na praksu redovnih sudova u Republici Hrvatskoj.The paper deals with the usucaption as a mode of acquiring right on property in social ownership. It points to three important decisions of the European Court of Human Rights againts Croatia that have a direct impact on the jurisprudence of the ordinary courts in Republic of Croatia regarding acquisition of property rights by usucaption of real property in social ownership.Dieser Artikel befasst sich mit der Ersitzung von Immobilien als einer Art des Erwerbs des Eigentumsrecht im gesellschaftlichen Eigentum. Er weist auf drei wichtige Entscheidungen des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte gegen die Republik Kroatien hin, die einen direkten Einfl uss auf das Rechtsdenken der ordentlichen Gerichte in der Republik Kroatien in Bezug auf den Erwerb von Eigentumsrecht durch Ersitzung von Immobilien in sozialem Eigentum haben.L’usucapione quale istituto di diritto privato è conosciuto sin dai tempi del diritto romano e rappresenta un modo d’acquisto del diritto di proprietà (e di alcuni altri diritti reali) su base legale. Il lavoro tratta dell’acquisto del diritto di proprietà per usucapione su immobili che furono di proprietà sociale. Benché la giurisprudenza abbia accolto l’orientamento in base al quale il termine per l’usucapione sui beni immobili di proprietà sociale potrebbe iniziare a decorrere appena dall’8 ottobre del 1991, tre decisioni della Corte europea dei diritti dell’uomo (Trgo v. Croazia, Radomilja e altri v. Croazia e Jakeljić v. Croazia) aprono la possibilità che il tempo necessario ad usucapire possa computare anche il periodo precedente all’8 ottobre 1991. Nel lavoro si evidenzia in quali casi l’interpretazione della Corte europea dei diritti dell’uomo possa trovare applicazione e quali effetti tali decisioni sortiscano sulla giurisprudenza delle corti ordinarie nella Repubblica di Croazia

Partial Expropriation and Entries in Land Registries - Regulations and Practice

Nepotpuno izvlaštenje predstavlja ograničenje prava vlasništva, pa ako se na nekretnini provede nepotpuno izvlaštenje, ustanovljavanjem služnosti ili zakupa, tada vlasnik nekretnine ima pravo na naknadu i to naknadu tržišne vrijednosti nekretnine, tj. za koliko je tržišna vrijednost nekretnine umanjena, odnosno naknadu u visini zakupnine. U provođenju velikih infrastrukturnih komunalnih projekata, kojima se obnavlja vodovodna i kanalizacijska mreža na velikom području Republike Hrvatske koriste se sredstva fondova Europske unije, pri čemu investitori nailaze na velike probleme u radu u vidu nesređenih imovinskopravnih odnosa, nesređenih evidencija o nekretninama. U radu se pokušava odgovoriti na pitanja iz prakse kojim putem da investitori krenu jer početi graditi ne mogu ako nisu riješeni imovinskopravni odnosi, pri čemu je postupak izvlaštenja jedan od najznačajnijih.Partial expropriation represents a limitation on the right of ownership, so in the case when partial expropriation is carried out on a property, by the establishment of an easement or lease, then the owner of the property has a right to compensation at the market value of the property, i.e. the amount by which the market value of the property is reduced, or by compensation as a rental charge. In implementing major communal infrastructure projects for the renovation of water and sewer networks throughout Croatia, resources from the funds of the European Union are used, and investors may encounter major problems because of unclear legal property relations or, unclear records about property. This work tries to respond to questions from practice, the means by which investors can start, because they cannot begin to build if the legal property rights have not been resolved

LE ANNOTAZIONI SECONDO LA NUOVA LEGGE SUI LIBRI FONDIARI (DILEMMI E QUESTIONI CONTESE)

Novi Zakon o zemljišnim knjigama iz 2019. godine donio je određene novine u institutu zabilježbi, posebice kod određivanja zabilježbe izvanrednog pravnog lijeka. U radu se govori o pretpostavkama za određivanje zabilježbi prema odredbama Zakona o zemljišnim knjigama, kada se pojedina zabilježba može brisati, ali se iznose i dvojbe i sporna pitanja koja su se već javila u sudskoj praksi zemljišnoknjižnih sudova.The new Land Registry Act from 2019 brought certain novelties to the institute of recordation, especially when determining the recordation of extraordinary legal remedy. The paper discusses the assumptions for determining the recordation according to the provisions of Land Registry Act, when certain recordation can be deleted, together with doubts and disputable issues raised in the case law of land registry courts.Die neue Grundbuchordnung von 2019 hat einige Neuigkeiten in das Institut der Anmerkung eingeführt, insbesondere wenn es sich um die Anmerkung als außerordentliches Rechtsmittel handelt. Der Beitrag bespricht die Voraussetzungen für die Anmerkung gemäß den Bestimmungen der Grundbuchordnung. Der Beitrag erörtert auch die Fälle, wenn die Anmerkung gelöscht werden kann. Ebenfalls bespricht der Beitrag Dilemmas und umstrittene Fragen, die in der Rechtsprechung von Grundbuchgerichten schon aufgetaucht sind.La nuova Legge sui libri fondiari del 2019 ha portato alcune novità nell’istituto dell’annotazione, in particolare rispetto all’annotazione di un mezzo di impugnazione straordinario. Nel lavoro si discute dei presupposti per la determinazione delle annotazioni secondo le disposizioni della Legge sui libri fondiari, quando un’annotazione singola si può cancellare, ma si presentano anche i dilemmi e le questioni contese che sono già emerse nella giurisprudenza delle corti