University of Zagreb. Faculty of Science. Department of Mathematics.
Abstract
U disertaciji proučavamo neke iracionalne W-algebre i njihove reprezentacije. Glavni primjer koji istražujemo je prosta Bershadsky-Polyakov verteks algebra Wk(=Wk(sl3,fθ)), tj. minimalna afina W-algebra pridružena sl3. T. Arakawa je dokazao u članku [9] da je Wk racionalna ako je k polucijeli broj veći od −3/2. Mi proučavamo slučajeve kad je Wk iracionalna, te klasificiramo Wk-module za neke k. Klasifikacija ireducibilnih modula koristi Zhuovu teoriju i formule za singularne vektore. Istaknimo da je Zhuova algebra realizirana kao kvocijent Smithove algebre iz [44]. Klasifikacija ireducibilnih jakih modula za algebru Wk (tj. modula s konačno-dimenzionalnim težinskim potprostorima za operator L(0)) je zato povezana s klasifikacijom konačno-dimenzionalnih reprezentacija Smithove algebre. U slučaju k=−5/3 pokazujemo da je Wk realizirana kao verteks podalgebra Weylove verteks algebre. Dokazujemo da tada Wk ima točno 6 ireducibilnih jakih modula. U slučaju k=−9/4, Wk je važan primjer logaritamske verteks algebre. Klasificiramo jake Wk module za k=−9/4 i dokazujemo da Wk ima točno 3 ireducibilna jaka modula. Da bi pokazali da je Wk iracionalna, konstruiramo neprebrojivu familiju težinskih modula za Wk izvan kategorije O. Konstruiramo familiju singularnih vektora koja generalizira Arakawine formule za singularne vektore za k polucijeli broj iz [9]. U slučajevima k=−1 i k=0 klasificiramo sve module u kategoriji O. U slučaju k=0, dajemo eksplicitnu realizaciju verteks algebre Wk i njenih modula kao određene iracionalne podalgebre verteks algebri pridruženih rešetkama. Također proučavamo algebru Wk u slučaju kad je k cijeli broj veći od -1.In this thesis we study certain irrational W-algebras and their representations. Main example that we investigate is the simple Bershadsky-Polyakov vertex algebra Wk(=Wk(sl3,fθ)), i.e. the minimal affine W-algebra associated to sl3. T. Arakawa proved in [9] that Wk is rational if k is a half integer greater that −3/2. We study cases where Wk is irrational, and classify Wk-modules for certain k. Main tools that we use to classify irreducible modules are Zhu's theory and formulas for singular vectors. Zhu algebra is realized as a quotient of the Smith algebra from [44]. Classification of irreducible strong modules for Wk (i.e. modules with finite dimensional weight subspaces for the the operator L(0)) is hence connected to the classification of finite dimensional representations of the Smith algebra. In the case k=−5/3, we show that Wk is realized as a vertex subalgebra of the Weyl vertex algebra. We prove that in this case Wk has exactly 6 irreducible strong modules. In the case k=−9/4 , Wk is an important example of a logarithmic vertex algebra. We classify strong Wk-modules for k=−9/4 and prove that Wk has exactly 3 irreducible strong modules. In order to show that Wk is irrational, we construct an uncountable family of weight modules for Wk outside of category O. We construct a family of singular vectors which generalizes Arakawa’s formulas for singular vectors for k half integer from [9]. For k=−1 and k=0 we classify all modules in the category O. In the case k=0, we give an explicit realization of the vertex algebra Wk and its modules as certain irrational subalgebras of lattice VOAs. We also study the algebra Wk when k is an integer greater than -1