Существование моментов эмпирических версий рядов Сюя–Роббинса–Баума–Каца

Проблематика. Ми вивчаємо так звану повну збіжність емпіричних аналогів рядів Сюя–Роббінса та Баума–Катца, які є основним об’єктом для досліджень у класичній теорії повної збіжності. Мета дослідження. Знаходження необхідних та достатніх умов для збіжності майже напевно емпіричних аналогів рядів Баума–Катца. Ці умови виражаються через умови існування певних моментів відповідних випадкових величин. Методика реалізації. Для доведення основних результатів використовується новий метод, оснований на вивченні зрізаних випадкових величин. Важливою складовою нашого методу є доведення однакової поведінки звичайних рядів та рядів, які відповідають зрізаним випадковим величинам. Незважаючи на зовнішню схожість звичайних рядів Баума–Катца та їх емпіричних аналогів, методи отримання результатів різняться. Результати дослідження. Знайдено необхідні та достатні умови для існування старших моментів для емпіричних аналогів. Особливу увагу приділено випадку кратних сум. Цей випадок відрізняється від одновимірного тим, що простір індексів не має повного впорядкування, і тому будь-який підхід з використанням моментів першого досягнення в цьому випадку не спрацьовує. Висновки. Результати, отримані в роботі, можуть стати основою для подальших досліджень емпіричних аналогів, які, своєю чергою, можна використати в статистичних процедурах оцінювання невідомої дисперсії.Background. We study the so called empirical versions of Hsu—Robbins and Baum—Katz series that are the basic notion of the classical theory of complete convergence. Objective. The aim of the paper is to find necessary and sufficient conditions for the almost sure convergence of empirical Baum—Katz series. These conditions are expressed in terms of the existence of certain moments of the underlying random variables. Methods. For proving our results we develop some new technique based on truncation and studying the truncated random variables. A sufficient ingredient of our approach is to show that the behavior of the truncated versions and the original ones is the same. Despite some similarity between the original series and its empirical version, the methods for achieving the results are quite different. Results. We find necessary and sufficient conditions for the existence of higher moments of empirical versions. A special attention is paid to the case of multi-indexed sums. The latter case differs essentially from the one-dimensional case, since the space of indices is not completely ordered and thus any approach based on the first hitting moment does not work here. Conclusions. The results obtained in the paper may serve as a base for further studies of empirical versions that could be used in statistical procedures of estimating an unknown variance.Проблематика. Мы изучаем так называемую полную сходимость эмпирических аналогов рядов Сюя–Роббинса и Баума–Катца, которые являются основным объектом для исследований в классической теории полной сходимости. Цель исследования. Целью исследований является нахождение необходимых и достаточных условий для сходимости почти наверняка эмпирических аналогов рядов Баума–Катца. Эти условия выражаются через условия существования определенных моментов соответствующих случайных величин. Методика реализации. Для доказательства основных результатов используется новый метод, основанный на изучении срезанных случайных величин. Важной составляющей нашего метода является доведение одинакового поведения обычных рядов и рядов, которые соответствуют срезанным случайным величинам. Несмотря на внешнее сходство обычных рядов Баума–Катца и их эмпирических аналогов, методы получения результатов отличаются. Результаты исследования. В работе найдены необходимые и достаточные условия для существования старших моментов для эмпирических аналогов. Особое внимание уделено случаю кратных сумм. Этот случай отличается от одномерного тем, что пространство индексов не имеет полного благоустройства, и поэтому любой подход с использованием моментов первого достижения не срабатывает в этом случае. Выводы. Результаты, полученные в работе, могут стать основой для дальнейших исследований эмпирических аналогов, которые, в свою очередь, можно использовать в статистических процедурах оценивания неизвестной дисперсии

Кілька зауважень стосовно статті “Про одне O-зворотне твердження” Воїслава Авакумовича

Some comments concerning the origin of the (R–O) notion for real functions are given, which has been used in the paper above, but was first introduced by Avakumović (1935). Moreover, some later extensions and generalizations of such functions are briefly discussed.Статтю присвячено розвитку ідеї правильно змінної зміни функцій дійсного аргументу. Особливу увагу приділено узагальненню цього поняття, яке вперше з’явилось у статті В. Авакумовіча в 1936 році сербсько-хорватською мовою. Зараз ця властивість позначається ORV або OR, хоча іноді використовується й оригінальне позначення R–O. Функції, які мають цю властивість, називаються функціями Авакумовича–Карамати. У статті просліджено розвиток властивості ORV в статтях інших авторів, починаючи з роботи Й. Карамати, також опублікованій у 1936 році. У XX сторіччі ця властивість досліджувалась здебільшого у зв’язку з конкретними застосуваннями у математичному аналізі або теорії ймовірностей (див., наприклад, Bari та Stechkin (1956) або Feller (1969), а також інші роботи у списку літератури). Пізніше з’явилися роботи, у яких властивість ORV використовувалась у теорії звичайних диференціальних рівнянь, теорії чисел, комплексному аналізі, функціональному аналізі тощо. Разом з цим з’явилося розуміння, що ця властивість є надто загальною, а її часткові випадки також мають широке коло змістовних застосувань. Особливу увагу у другій частині статті приділено властивостям PRV та невиродженості групи регулярних точок, які автори досліджували разом з В. В. Булдигіним та К.-Х. Індлекофером, починаючи з 1999 року. Властивість невиродженості групи регулярних точок вирізняє з класу ORV ті функції, у яких границя Карамати існує для принаймні двох точок. Виявляється, що кожну з таких функцій можна зобразити як добуток певної функції Карамати на іншу логарифмічно періодичну функцію, тобто такі функції утоворюють більш широкий клас, ніж правильно змінні функції Карамати. Клас RV складається з тих функцій, які зберігають асимптотичну еквівалентність як послідовностей, так і функцій. Неявно таку властивість використовували ранішо багато інших авторів, проте вони не помічали, що за нею прихована теорія, багата на результати внутрішнього характеру та на застосування. Детально властивості невиродженості групи регулярних точок та збереження асимптотичної еквівалентності викладено в монографії Buldygin, Indlekofer, Klesov та Steinebach (2018)

Посилений закон великих чисел для розв'язків неавтономних стохастичних диференціальних рівнянь

Background. Asymptotic behavior at infinity of non-autonomous stochastic differential equation solutions is studied in the paper. Objective. The aim of the work is to find sufficient conditions for the strong law of large numbers for a random process which is a solution of non-autonomous stochastic differential equation.Methods. Basic results of the theory of stochastic differential equations related to stochastic integrals estimation.Results. Sufficient conditions for almost sure convergence to zero of normalized term related to diffusion of non-autonomous stochastic differential equation are obtained.Conclusions. Results of the paper can be used for further research on the asymptotic behavior of stochastic differential equation solutions, finding the stability condition of stochastic differential equation solution and ergodic type problems also.Проблематика. В статье рассматривается предельное поведение на бесконечности решений неавтономных стохастичес­ких дифференциальных уравнений.Цель исследования. Цель работы заключается в нахождении условий, при которых устанавливается усиленный закон больших чисел для случайного процесса, который является решением неавтономного стохастического дифференциального уравнения.Методика реализации. Применены базовые результаты теории стохастических дифференциальных уравнений относительно оценки стохастических интегралов.Результаты исследования. Получены достаточные условия сходимости почти наверное к нулю нормированного слагаемого, отвечающего за диффузию в неавтономном стохастическом дифференциальном уравнении.Выводы. Полученные результаты можно использовать для исследования асимптотического поведения решений стохастических дифференциальных уравнений и установления условий устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений, а также к задачам эргодического типа.Проблематика. У статті розглядається гранична поведінка на нескінченності розв’язків неавтономних стохастичних диференціальних рівнянь.Мета дослідження. Мета роботи полягає у наведенні умов, за яких встановлюється посилений закон великих чисел для випадкового процесу, що є розв’язком неавтономного стохастичного диференціального рівняння.Методика реалізації. Застосовано базові результати теорії стохастичних диференціальних рівнянь щодо оцінки стохастичних інтегралів.Результати дослідження. Отримано достатні умови збіжності майже напевно до нуля нормованого доданка, що відповідає за дифузію в неавтономному стохастичному диференціальному рівнянні.Висновки. Одержані результати можна використовувати для дослідження асимптотичної поведінки розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь і встановлення умов стійкості розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь, а також до задач ергодичного типу

Strong Law of Large Numbers for Solutions of Non-Autonomous Stochastic Differential Equations

Background. Asymptotic behavior at infinity of non-autonomous stochastic differential equation solutions is studied in the paper.  Objective. The aim of the work is to find sufficient conditions for the strong law of large numbers for a random process which is a solution of non-autonomous stochastic differential equation. Methods. Basic results of the theory of stochastic differential equations related to stochastic integrals estimation. Results. Sufficient conditions for almost sure convergence to zero of normalized term related to diffusion of non-autonomous stochastic differential equation are obtained. Conclusions. Results of the paper can be used for further research on the asymptotic behavior of stochastic differential equation solutions, finding the stability condition of stochastic differential equation solution and ergodic type problems also

On the almost sure growth rate of sums of lower negatively dependent nonnegative random variables

For a sequence of lower negatively dependent nonnegative random variables Xn,n[greater-or-equal, slanted]1 , conditions are provided under which almost surely where bn,n[greater-or-equal, slanted]1 is a nondecreasing sequence of positive constants. The results are new even when they are specialized to the case of nonnegative independent and identically distributed summands and bn=nr, n[greater-or-equal, slanted]1 where r>0.Sums of lower negatively dependent random variables Nonnegative random variables Sums of independent and identically distributed random variables Almost sure growth rate

Pseudo-regularly varying functions and generalized renewal processes

One of the main aims of this book is to exhibit some fruitful links between renewal theory and regular variation of functions. Applications of renewal processes play a key role in actuarial and financial mathematics as well as in engineering, operations research and other fields of applied mathematics. On the other hand, regular variation of functions is a property that features prominently in many fields of mathematics. The structure of the book reflects the historical development of the authors’ research work and approach – first some applications are discussed, after which a basic theory is created, and finally further applications are provided. The authors present a generalized and unified approach to the asymptotic behavior of renewal processes, involving cases of dependent inter-arrival times. This method works for other important functionals as well, such as first and last exit times or sojourn times (also under dependencies), and it can be used to solve several other problems. For example, various applications in function analysis concerning Abelian and Tauberian theorems can be studied as well as those in studies of the asymptotic behavior of solutions of stochastic differential equations. The classes of functions that are investigated and used in a probabilistic context extend the well-known Karamata theory of regularly varying functions and thus are also of interest in the theory of functions. The book provides a rigorous treatment of the subject and may serve as an introduction to the field. It is aimed at researchers and students working in probability, the theory of stochastic processes, operations research, mathematical statistics, the theory of functions, analytic number theory and complex analysis, as well as economists with a mathematical background. Readers should have completed introductory courses in analysis and probability theory.

Усиленный закон больших чисел для решений неавтономных стохастических дифференциальных уравнений

Проблематика. У статті розглядається гранична поведінка на нескінченності розв’язків неавтономних стохастичних диференціальних рівнянь. Мета дослідження. Мета роботи полягає у наведенні умов, за яких встановлюється посилений закон великих чисел для випадкового процесу, що є розв’язком неавтономного стохастичного диференціального рівняння. Методика реалізації. Застосовано базові результати теорії стохастичних диференціальних рівнянь щодо оцінки стохастичних інтегралів. Результати дослідження. Отримано достатні умови збіжності майже напевно до нуля нормованого доданка, що відповідає за дифузію в неавтономному стохастичному диференціальному рівнянні. Висновки. Одержані результати можна використовувати для дослідження асимптотичної поведінки розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь і встановлення умов стійкості розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь, а також до задач ергодичного типу.Background. Asymptotic behavior at infinity of non-autonomous stochastic differential equation solutions is studied in the paper. Objective. The aim of the work is to find sufficient conditions for the strong law of large numbers for a random process which is a solution of non-autonomous stochastic differential equation. Methods. Basic results of the theory of stochastic differential equations related to stochastic integrals estimation. Results. Sufficient conditions for almost sure convergence to zero of normalized term related to diffusion of non-autonomous stochastic differential equation are obtained. Conclusions. Results of the paper can be used for further research on the asymptotic behavior of stochastic differential equation solutions, finding the stability condition of stochastic differential equation solution and ergodic type problems also.Проблематика. В статье рассматривается предельное поведение на бесконечности решений неавтономных стохастичес­ких дифференциальных уравнений. Цель исследования. Цель работы заключается в нахождении условий, при которых устанавливается усиленный закон больших чисел для случайного процесса, который является решением неавтономного стохастического дифференциального уравнения. Методика реализации. Применены базовые результаты теории стохастических дифференциальных уравнений относительно оценки стохастических интегралов. Результаты исследования. Получены достаточные условия сходимости почти наверное к нулю нормированного слагаемого, отвечающего за диффузию в неавтономном стохастическом дифференциальном уравнении. Выводы. Полученные результаты можно использовать для исследования асимптотического поведения решений стохастических дифференциальных уравнений и установления условий устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений, а также к задачам эргодического типа