Численное решение систем ОДУ с постоянными коэффициентами

The paper demonstrates the comparison of some different algorithms for solving systems of ordinary differential equations with complex constant coefficients describing the evolution of monochromatic linearly polarized plane electromagnetic waves in a stratified medium.В работе сравниваются несколько подходов к решению систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами над полем комплексных чисел, приводятся сравнительные результаты численного и аналитического решения для одной из таких систем

Интегрирование быстро осциллирующих функций

The paper demonstrates approximate methods of integral calculation of highly oscillatory functions. The paper describes a quadrature method which adopts Chebyshev differential matrix to solve the ordinary differential equation (ODE) and thus obtain integral values. This method make the system of linear equations well-conditioned for general oscillatory integrals. Furthermore, even if the system of linear equations is ill-conditioned, regularization method can be adopted to solve it properly and eventually obtain accurate integral results.Умение вычислять интегралы от быстро осциллирующих функций является принципиально важным для решения многих задач оптики, электродинамики, квантовой механики, ядерной физики и многих других областях. В статье рассматривается метод приближенного вычисления интегралов от быстро осциллирующих функций с помощью перехода к численному решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Использование чебышевской дифференциальной матрицы позволяет далее свести задачу к решению системы линейных алгебраических уравнений, чаще всего невырожденной. Однако и в случае плохой обусловленности системы линейных алгебраических уравнений применение метода тихоновской регуляризации позволяет с высокой точностью получать искомые значения интегралов

Моделирование взаимодействия электромагнитной волны оптического диапазона с анизотропным слоем

Modeling of interaction of TE and TM light polarizations with optical structures, which characteristic dimensions comparable to the optical wavelength, is actual nowadays because of modern directions in development of microelectronics, optical electronics and medicine. Energy saving solar technologies are developed in USA and Europe very intensively, development and optimization of solar batteries need robust mathematical models of interaction of light and solar cells coverage. These models are also applied in LED and OLED displays development and improvement. High quality mirrors, polarizers and other optical elements (less than 1 micrometer in width) are claimed in modern optical-electronic devices. It is significant that different prosthetic devices can be developed using these models, for example - artificial eye based on multilayer collagen structures.Моделирование взаимодействия ТЕ и ТМ поляризаций с оптическими структурами, характерные размеры которых могут быть сравнимы с длиной волны видимого диапазона, представляет большой практический интерес в связи с современными тенденциями в развитии микроэлектроники, оптоэлектроники и медицины. В США и Европе активно реализуются программы по развитию солнечной энергетики, основанной на использовании солнечных батарей, проектирование и оптимизация работы которых требует построения моделей точного учёта взаимодействия света с оптическими покрытиями. Эти модели также используются при создании и улучшении жидкокристаллических дисплеев и дисплеев с применением технологии OLED. В современных оптоэлектронных устройствах востребованы высококачественные зеркала, поляризаторы (общей толщиной < 1 мкм) и многие другие элементы дифракционной оптики. Также надо отметить использование многослойных структур в медицине. Из таких структур на основе коллагеновых плёнок изготавливают различные импланты, одним из примеров которых является искусственная роговица глаза

Finite-difference methods for solving 1D Poisson problem

The paper discusses the formulation and analysis of methods for solving the one-dimensional Poisson equation based on finite-difference approximations - an important and very useful tool for the numerical study of differential equations. In fact, this is a classical approximation method based on the expansion of the solution in a Taylor series, based on which the recent progress of theoretical and practical studies allowed increasing the accuracy, stability, and convergence of methods for solving differential equations. Some of the features of this analysis include interesting extensions to classical numerical analysis of initial and boundary value problems. In the first part, a numerical method for solving the one-dimensional Poisson equation is presented, which reduces to solving a system of linear algebraic equations (SLAE) with a banded symmetric positive definite matrix. The well-known tridiagonal matrix algorithm, also known as the Thomas algorithm, is used to solve the SLAEs. The second part presents a solution method based on an analytical representation of the exact inverse matrix of a discretized version of the Poisson equation. Expressions for inverse matrices essentially depend on the types of boundary conditions in the original setting. Variants of inverse matrices for the Poisson equation with different boundary conditions at the ends of the interval under study are presented - the Dirichlet conditions at both ends of the interval, the Dirichlet conditions at one of the ends and Neumann conditions at the other. In all three cases, the coefficients of the inverse matrices are easily found and the algorithm for solving the problem is practically reduced to multiplying the matrix by the vector of the right-hand side.В статье обсуждается постановка и анализ методов решения одномерного уравнения Пуассона на основе конечно-разностных аппроксимаций - важного и очень полезного инструмента численного исследования дифференциальных уравнений. По сути, это классический метод аппроксимации, основанный на разложении решения в ряд Тейлора. Развитие теоретических и практических результатов на базе этого метода в последние годы позволили повысить точность, стабильность и сходимость методов решения дифференциальных уравнений. Некоторые особенности этого анализа включают интересные расширения классического численного анализа начальных и граничных задач. В первой части излагается численный метод решения одномерного уравнения Пуассона, сводящийся к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с ленточной симметричной положительно определённой матрицей. В качестве метода решения СЛАУ используется широко известный метод прогонки (метод Томаса). Во второй части представлен метод решения, основанный на аналитическом представлении точной обратной матрицы дискретизированного варианта уравнения Пуассона. Выражения для обратных матриц существенно зависят от типов граничных условий в исходной постановке. Представлены варианты обратных матриц для уравнения Пуассона с различными граничными условиями на концах исследуемого интервала - условиями Дирихле на обоих концах интервала, условиями Дирихле на одном из концов и Неймана на другом. Во всех трёх случаях коэффициенты обратных матриц легко вычисляются (выписываются) и алгоритм решения задачи практически сводится к умножению матрицы на вектор правой части

A new algorithm used Chebyshev pseudospectral method to solve nonlinear second-order Lienard differential equations

This article presents a numerical method to determine the approximate solutions of the Lienard equations. It is assumed that the second-order nonlinear Linard differential equations of types u''(x) + f[u(x)]u'(x) + g[u(x)] = 0 on the range [-1; 1] with the given boundary values u[-1] and u[+1]. We have to build a new algorithm to nd the approximate solutions to this problem. This algorithm is based on the pseudospectral method used in the Chebyshev differentiation matrix. In this paper, we used the Mathematica version 10.4 to represent the algorithm, the numerical results and graphics. In the numerical results, we made a comparison between the CPMs numerical results and the Mathematica's numerical results. The biggest odds were very small. Therefore, they will be able to be applied to other nonlinear systems such as the Rayleigh equations and the Emden-fowler equations.The publication was prepared with the support of the RUDN University Program 5-100

Модель интегрально-оптической обобщённой линзы Люнеберга в нулевом приближении

The approximate solution of vector electrodynamics' problem in smoothly irregular four-layered integrated-optical waveguide is obtained. As a method of solution of the electrodynamics' problem in question, satisfying to a condition of a smooth modification of a profile of a researched integrated-optical structure, the asymptotic method is used. The represented outcomes of numerical modeling show good convergence of a solution of the considered problem in a zero approximation of the used asymptotic method with the results of other authors. The offered method is applicable to analysis of similar dielectric, magnetic, and meta-materials' structures, including nonlinear ones in sufficiently broad band of electromagnetic wavelengths, that is doubtless advantageous.Получено приближенное аналитическое решение векторной электродинамической задачи в плавно-нерегулярном четырёхслойном интегрально-оптическом волноводе. В качестве метода решения поставленной электродинамической задачи, удовлетворяющего условию плавного изменения профиля исследуемой интегрально-оптической структуры, использован асимптотический метод. Представлены результаты численного моделирования, которые демонстрируют высокоточное совпадение решения поставленной задачи в нулевом приближении использованного асимптотического метода с результатами других авторов. Предложенный в работе метод исследования применим для анализа аналогичных структур из диэлектрических, магнитных и мета-материалов, в том числе и нелинейных в достаточно широком диапазоне электромагнитных длин волн, что является его ещё одним несомненным преимуществом

Собственные волны плоского симметричного анизотропного волновода

Precise dispersion equations for a plane symmetric dielectric anisotropic waveguide are obtained, in which the waveguide layer is isotropic, and the framing media are assumed to be anisotropic uniaxial media. The tensors of the dielectric permittivity of the framing media are not assumed to be diagonal, namely, in one of them this tensor is formed by rotating the diagonal tensor by some angle between the optical axis of the anisotropic medium and the direction of propagation of the electromagnetic wave. The tensor of dielectric permittivity of another anisotropic medium is rotated by the same angle, but in the opposite direction, with the optical axes of both framing media lying in a plane parallel to the boundaries of the waveguiding structure. Thus, in framing media, the existence of six-component electromagnetic waves is maintained. In the dispersion properties of such a waveguide, certain features are observed in comparison with the case when the framing media are assumed to be isotropic. It is found that the first symmetric mode of such a waveguide has a finite deceleration with zero thickness of the isotropic layer, which indicates the possibility of the appearance of surface electromagnetic waves (the so-called Dyakonov waves) at the boundaries of this isotropic layer. It is noted that the transition of the antisymmetric mode to the Dyakonov wave occurs with a finite thickness of the waveguiding layer. Dependencies of the deceleration of the elementary (symmetric) mode on the angle of rotation of the optical axis of anisotropic media relative to the direction of propagation of the guided wave of the waveguide structure are given.Получены точные дисперсионные уравнения для плоского симметричного диэлектрического анизотропного волновода, в котором изотропным является волноведущий слой, а обрамляющие среды предполагаются анизотропными одноосными средами. Тензоры диэлектрической проницаемости обрамляющих сред при этом не предполагаются диагональными, а именно - у одной из них этот тензор образован путём поворота диагонального тензора на некоторый угол между оптической осью анизотропной среды и направлением распространения электромагнитной волны. Тензор диэлектрической проницаемости другой анизотропной среды повёрнут на такой же угол, но в противоположном направлении, при этом оптические оси обеих обрамляющих сред лежат в плоскости, параллельной границам волноведущей структуры. Таким образом, в обрамляющих средах поддерживается существование шестикомпонентных электромагнитных волн. В дисперсионных свойствах такого волновода наблюдаются некоторые особенности, по сравнению со случаем, когда обрамляющие среды предполагаются изотропными. Обнаружено, что первая симметричная мода такого волновода имеет конечное замедление при нулевой толщине изотропного слоя, что говорит о возможности возникновения поверхностных электромагнитных волн (так называемых волн Дьяконова) на границах этого изотропного слоя. Отмечено, что переход антисимметричной моды в Дьяконовскую волну происходит при конечной толщине волноведущего слоя. Приведены зависимости величины замедления элементарной (симметричной) моды от угла поворота оптической оси анизотропных сред относительно направления распространения направляемой волны волноводной структуры. Кроме дисперсионных свойств такого волновода исследованы поперечные распределения полей направляемой электромагнитной волны, приведены точные аналитические выражения для амплитуд полей этой волны

О моделировании сейсмоустойчивости строений

In the paper we discuss the influence of forcing oscillations of a construction's support during earthquake on oscillations of a construction itself in case of the simplest mathematical models with respect to subsequent computer realization.В работе обсуждается влияние вынуждающих периодических колебаний опоры строения при землетрясениях на характер колебаний самого строения в случае простейших математических моделей и с учётом последующей реализации расчётов на компьютере

Простейшая модель нелинейных спиновых волн в графеновых структурах

A series of theoretical and experimental works is known which investigated the magnetic properties of graphene structures. This is due, among other things, to the prospects of using graphene as a material for the needs of the future nanoelectronics and spintronics. In particular, it is known about the presence of ferromagnetic properties at temperatures up to 200 C and above in a single-layer graphene films that are free from impurities. Previously there was proposed a quantum field theoretical model describing the possible mechanism of ferromagnetism in graphene as a result of spontaneous breaking of spin symmetry of the surface density of valence electrons. The possible spatial configurations of the localized spin density were described. In this paper we investigate such spatially localized nonlinear spin configurations of the valence electron density on the graphene surface such as kinks, and their interactions, as well as quasibound metastable states of the interacting kinks and antikinks, that are breathers. The spectrum of such breathers is investigated. It is shown that under certain conditions, this spectrum has a discrete sector, which, in turn, allows us to speak about the possibility of coherent quantum generation of spin waves in graphene structures, which is important in terms of practical applications in nanoelectronics and spintronics.Известен ряд экспериментальных и теоретических работ, в которых исследовались магнитные свойства графеновых структур. Это вызвано перспективами использования графена в качестве материала для нужд будущей наноэлектроники и спинтроники. В частности, известно о наличии ферромагнитных свойств при температурах до 200в€-C и выше в однослойных плёнках графена, свободных от примесей. Ранее была предложена модель квантового поля, описывающая возможный механизм ферромагнетизма в графене в результате спонтанного нарушения спиновой симметрии поверхностной плотности валентных электронов. Описаны возможные пространственные конфигурации локализованной спиновой плотности. В этой работе исследуются пространственно локализованные нелинейные спиновые конфигурации плотности валентных электронов на поверхности графена, такие как кинки, их взаимодействие, а также метастабильные состояния взаимодействующих кинков и антикинков, являющихся бризерами. Исследован спектр бризеров. Показано, что при определённых условиях этот спектр имеет дискретный сектор, что, в свою очередь, позволяет говорить о возможности когерентной квантовой генерации спиновых волн в графеновых структурах, что важно с точки зрения практического применения в наноэлектронике и спинтронике