Kalman Filter Algorithm for Rating and Prediction in Basketball

The Thesis presents a state-space model for a basketball league and a Kalman filter algorithm for the estimation of the state of the league. In the state-space model, each of the basketball teams is associated with a rating that represents its strength compared to the other teams. The ratings are assumed to evolve in time following a stochastic process with independent Gaussian increments. The estimation of the team ratings is based on the observed game scores that are assumed to depend linearly on the true strengths of the teams and independent Gaussian noise. The team ratings are estimated using a recursive Kalman filter algorithm that produces least squares optimal estimates for the team strengths and predictions for the scores of the future games. Additionally, if the Gaussianity assumption holds, the predictions given by the Kalman filter maximize the likelihood of the observed scores. The team ratings allow probabilistic inference about the ranking of the teams and their relative strengths as well as about the teams’ winning probabilities in future games. The predictions about the winners of the games are correct 65-70% of the time. The team ratings explain 16% of the random variation observed in the game scores. Furthermore, the winning probabilities given by the model are concurrent with the observed scores. The state-space model includes four independent parameters that involve the variances of noise terms and the home court advantage observed in the scores. The Thesis presents the estimation of these parameters using the maximum likelihood method as well as using other techniques. The Thesis also gives various example analyses related to the American professional basketball league, i.e., National Basketball Association (NBA), and regular seasons played in year 2005 through 2010. Additionally, the season 2009-2010 is discussed in full detail, including the playoffs.Työssä esitellään koripalloliigaa kuvaava diskreettiaikainen tila-avaruusmalli sekä Kalman-suotimeen perustuva algoritmi koripalloliigan tilan estimointiin. Tila-avaruusmallissa jokaisella liigan joukkueella on voimaluku ('rating'), joka kuvastaa joukkueen hyvyyttä suhteessa muihin liigan joukkueisiin. Joukkueiden voimasuhteiden oletetaan kehittyvän stokastisesti ajassa ja niiden muutokset oletetaan normaalijakautuneiksi riippumattomiksi satunnaismuuttujiksi. Joukkueiden voimalukujen estimointi perustuu havaittuihin ottelutuloksiin, joiden oletetaan riippuvan lineaarisesti joukkueiden todellisista voimaluvuista sekä normaalijakautuneesta kohinasta. Joukkueiden voimaluvut estimoidaan rekursiivisella Kalman-suodin algoritmilla, joka tuottaa pienimmän neliösumman mielessä optimaalisia estimaatteja joukkueiden voimaluvuille sekä tuleville ottelutuloksille. Lisäksi normaalijakauma-oletusten pätiessä Kalman-suotimen tuottamat ennusteet maksimoivat havaittujen tulosten uskottavuuden. Voimalukuestimaattien avulla voidaan tehdä päätelmiä joukkueiden paremmuusjärjestyksestä ja niiden välisistä tasoeroista sekä ennustaa voitontodennäköisyyksiä tulevissa otteluissa. Mallin ennusteet otteluiden voittajista osuvat oikein 65-70%:sti. Mallin avulla pystytään selittämään noin 16% ottelutulosten satunnaisesta vaihtelusta. Lisäksi mallin tuottamat arviot joukkueiden voitontodennäköisyyksistä ovat sopusoinnussa havaittujen ottelutulosten kanssa. Tila-avaruusmallissa on neljä riippumatonta parametria, jotka kuvaavat erilaisten kohinatermien varianssia sekä ottelutuloksien sisältämää kotietua. Työssä esitellään näiden parametrien estimointi sekä suurimman uskottavuuden menetelmällä että hyödyntäen muita keinoja. Työ tarjoaa myös lukuisia esimerkkianalyyseja, joissa tarkastellaan amerikkalaisen ammattilaiskoripallosarjan NBA:n (National Basketball Association) runkosarjan ottelutuloksia vuosina 2005-2010. Lisäksi esitetään kauden 2009-2010 yksityiskohtaisempi tarkastelu, mukaan lukien pudotuspelit

Rationalizable Strategies in Games With Incomplete Preferences

Games with incomplete preferences are normal-form games where the preferences of the players are defined as partial orders over the outcomes of the game. We define rationality in these games as follows. A rational player forms a set-valued belief of possible strategies selected by the opponent(s) and selects a strategy that is not dominated with respect to this belief. Here, we say a strategy is dominated with respect to the set-valued belief if the player has another strategy that would yield a better outcome according to the player's preference relation, no matter which strategy combination the opponent(s) play among those contained in the belief. We define rationalizable strategies as the logical implication of common knowledge of this rationality. We show that the sets of rationalizable strategies are the maximal mutually nondominated sets, i.e., the maximal sets that contain no dominated strategies with respect to each other. We show that no new rationalizable strategies appear when additional preference information is included. We consider multicriteria games as a special case of games with incomplete preferences and introduce a way of representing incomplete preference information in multicriteria games by sets of feasible weights of the criteria

Rationalizable Strategies in Games With Incomplete Preferences

Games with incomplete preferences are normal-form games where the preferences of the players are defined as partial orders over the outcomes of the game. We define rationality in these games as follows. A rational player forms a set-valued belief of possible strategies selected by the opponent(s) and selects a strategy that is not dominated with respect to this belief. Here, we say a strategy is dominated with respect to the set-valued belief if the player has another strategy that would yield a better outcome according to the player's preference relation, no matter which strategy combination the opponent(s) play among those contained in the belief. We define rationalizable strategies as the logical implication of common knowledge of this rationality. We show that the sets of rationalizable strategies are the maximal mutually nondominated sets, i.e., the maximal sets that contain no dominated strategies with respect to each other. We show that no new rationalizable strategies appear when additional preference information is included. We consider multicriteria games as a special case of games with incomplete preferences and introduce a way of representing incomplete preference information in multicriteria games by sets of feasible weights of the criteria

Bayesian Networks, Influence Diagrams, and Games in Simulation Metamodeling

The Dissertation explores novel perspectives related to time and conflict in the context of simulation metamodeling referring to auxiliary models utilized in simulation studies. The techniques innovated in the Dissertation offer new analysis capabilities that are beyond the scope of the existing metamodeling approaches. In the time perspective, dynamic Bayesian networks (DBNs) allow the probabilistic representation of the time evolution of discrete event simulation by describing the probability distribution of the simulation state as a function of time. They enable effective what-if analysis where the state of the simulation at a given time instant is fixed and the conditional probability distributions related to other time instants are updated revealing the conditional time evolution. The utilization of influence diagrams (IDs) as simulation metamodels extends the use of the DBNs into simulation based decision making and optimization. They are used in the comparison of decision alternatives by studying their consequences represented by the conditional time evolution of the simulation. For additional analyses, random variables representing simulation inputs can be included in both the DBNs and the IDs. In the conflict perspective, the Dissertation introduces the game theoretic approach to simulation metamodeling. In this approach, existing metamodeling techniques are applied to the simulation analysis of game settings representing conflict situations where multiple decision makers pursue their own objectives. Game theoretic metamodels are constructed based on simulation data and used to study the interaction between the optimal decisions of the decision makers determining their best responses to each others' decisions and the equilibrium solutions of the game. Therefore, the game theoretic approach extends simulation based decision making and optimization into multilateral settings. In addition to the capabilities related to time and conflict, the techniques introduced in the Dissertation are applicable for most of the other goals of simulation metamodeling, such as validation of simulation models. The utilization of the new techniques is illustrated with examples considering simulation of air combat. However, they can also be applied to simulation studies conducted with any stochastic or discrete event simulation model

Simulation metamodeling with dynamic Bayesian networks

This paper presents a novel approach to simulation metamodeling using dynamic Bayesian networks (DBNs) in the context of discrete event simulation. A DBN is a probabilistic model that represents the joint distribution of a sequence of random variables and enables the efficient calculation of their marginal and conditional distributions. In this paper, the construction of a DBN based on simulation data and its utilization in simulation analyses are presented. The DBN metamodel allows the study of the time evolution of simulation by tracking the probability distribution of the simulation state over the duration of the simulation. This feature is unprecedented among existing simulation metamodels. The DBN metamodel also enables effective what-if analysis which reveals the conditional evolution of the simulation. In such an analysis, the simulation state at a given time is fixed and the probability distributions representing the state at other time instants are updated. Simulation parameters can be included in the DBN metamodel as external random variables. Then, the DBN offers a way to study the effects of parameter values and their uncertainty on the evolution of the simulation. The accuracy of the analyses allowed by DBNs is studied by constructing appropriate confidence intervals. These analyses could be conducted based on raw simulation data but the use of DBNs reduces the duration of repetitive analyses and is expedited by available Bayesian network software. The construction and analysis capabilities of DBN metamodels are illustrated with two example simulation studies.Simulation Dynamic Bayesian networks Discrete event simulation Simulation metamodeling

Ilmataistelun simulointimallin peliteoreettinen analyysi

Diplomityössä tarkastellaan peliteorian hyödyntämismahdollisuuksia diskreettiaikaiseen tapahtumasimulointiin perustuvan X-Brawler-ilmataistelusimulaattorin toiminnan analysoinnissa. Työn tavoitteena on tutkia, miten erilaisia pelimalleja voidaan konstruoida simulointituloksista, ja toisaalta hyödyntää peliteoriaa simulointimallin validoinnissa ja simulointitulosten tarkastelussa. Työssä esitellään kaksi uutta lähestymistapaa pelimallien estimointiin simulointituloksista ja menetelmä, jonka avulla voidaan arvioida luotettavien pelimallien estimointiin vaadittavien simulointien lukumäärä. Simulaatiomallin jatkuvia muuttujia käytetään regressiopeleissä, jotka perustuvat usean muuttujan regressioanalyysiin. Työssä estimoiduissa regressiopeleissä pelaajien strategiat liittyvät X-Brawlerin päätöksentekologiikkaa ohjaaviin päätösmuuttujiin ja toisaalta lentokoneparven muodostelman määrääviin suunnittelumuuttujiin. Simulointimallin diskreettejä muuttujia hyödynnetään matriisipeleissä, joissa hyötyestimaattien vertailuun käytetään työssä esitettyä luokittelumenetelmää. Työssä konstruoiduissa matriisipeleissä pelaajien strategiat ovat ilmataistelun sitoutumistaktiikoita. Pelimalleja käytetään simulointimallin validointiin siten, että niiden ominaisuuksia verrataan todellisen ilmataistelun perusteella pääteltävissä oleviin rakenteisiin. Toisaalta pelimallien avulla etsitään parhaita strategioita vastustajan eri strategioita vastaan ja tutkitaan, miten simulaattorin sisäiset muuttujat vaikuttavat ilmataistelun lopputulokseen. Työssä estimoidut pelimallit osoittavat X-Brawlerin tuottavan käytetyillä asetuksilla epäjohdonmukaisia tuloksia, sillä estimoiduissa malleissa ilmataistelun toinen osapuoli on systemaattisesti etulyöntiasemassa. Tämän takia peliteoreettista analyysia ei voitu saattaa loppuun asti kaikkien pelimallien osalta. Tästä huolimatta työ osoitti, että peliteoria tarjoaa monipuolisia mahdollisuuksia sekä simulointimallin validointiin että optimaalisten ilmataistelustrategioiden määräämiseen. Näin työssä esiteltyjä lähestymistapoja kannattaa soveltaa myös muiden ilmataistelun simulointimallien analysointiin. Peliteoreettista lähestymistapaa voidaan hyödyntää myös muiden sovellusalojen simulointitutkimuksissa