Optimal topological simplification of discrete functions on surfaces

We solve the problem of minimizing the number of critical points among all functions on a surface within a prescribed distance {\delta} from a given input function. The result is achieved by establishing a connection between discrete Morse theory and persistent homology. Our method completely removes homological noise with persistence less than 2{\delta}, constructively proving the tightness of a lower bound on the number of critical points given by the stability theorem of persistent homology in dimension two for any input function. We also show that an optimal solution can be computed in linear time after persistence pairs have been computed.Comment: 27 pages, 8 figure

Estudo da poluição pontual e difusa na bacia de contribuição do reservatório da usina hidrelétrica de Funil utilizando modelagem espacialmente distribuída em Sistema de Informação Geográfica

RESUMO Este estudo avaliou o potencial poluidor da bacia de contribuição do reservatório de Funil (BCRF), localizado na bacia hidrográfica do rio Paraíba do Sul, considerando a geração da carga de nutrientes, nitrogênio (N) e fósforo (P), por fontes pontuais e difusas, a partir de uma modelagem distribuída utilizando Sistema de Informação Geográfica (SIG). As cargas e concentrações médias anuais desses nutrientes foram geradas a partir do acoplamento de equações empíricas, em SIG, considerando informações espaciais de uso e cobertura do solo, população residente na bacia e vazão média anual de longo período, obtida por equações do tipo chuva vazão. Os resultados indicaram que 80% da carga total de nitrogênio foram provenientes de fontes pontuais e 20% de fontes difusas, enquanto que, da carga total de fósforo, 89,1% foram originadas de fontes pontuais e 10,9% de fontes difusas. As concentrações de nutrientes estimadas pelo modelo empírico apresentaram bons ajustes em relação aos valores observados de fósforo e de nitrogênio no rio Paraíba do Sul, com R²=0,96 (p<0,01) e R²=0,70 (p<0,01), respectivamente. Dessa forma, o modelo foi capaz de detectar, de forma significativa, a tendência das variações nas concentrações de nutrientes ao longo de diferentes trechos da BCRF