Dyadiset kuutiot homogeenisen tyypin avaruudessa

In this thesis, we generalize the system of Euclidean dyadic cubes used in harmonic analysis to a space of homogeneous type, i.e. a quasi-metric space with a doubling measure. The essential properties of the dyadic cubes are that they form a tree structure such that any two of them are either disjoint or one is contained in the other, and that each generation of cubes covers the whole space excluding a possible set of measure zero. In addition, dyadic cubes are not too far away from balls in the sense that they are bounded by balls of the same magnitude from inside and outside. The most central applications of dyadic cubes are the dyadic Calderón-Zygmund decomposition and the dyadic maximal function. They are used in harmonic analysis and they do not significantly differ from their Euclidean counterparts.Tässä työssä yleistetään harmonisessa analyysissä usein käytettävät euklidisen avaruuden dyadiset kuutiot rakenteeltaan yleisempään homogeenisen tyypin avaruuteen, eli tuplaavalla mitalla varustettuun kvasimetriseen avaruuteen. Dyadisten kuutioiden keskeisimpiä ominaisuuksia ovat, että ne muodostavat puurakenteen siten, että kaksi dyadista kuutiota ovat joko pistevieraita tai toinen on toisen osajoukko, ja että kukin kuutiosukupolvi peittää koko avaruuden vähintäänkin nollamittaista joukkoa vaille. Lisäksi dyadiset kuutiot eivät poikkea muodoltaan merkittävästi palloista siinä mielessä, että niitä rajoittavat sisä- ja ulkopuolelta saman, sukupolven määräämän, suuruusluokan pallot. Dyadisten kuutioiden keskeisimpiä sovelluksia ovat harmonisessa analyysissä käytettävät dyadinen Calderón-Zygmundin jako sekä dyadinen maksimaalifunktio, jotka eivät merkittävästi eroa euklidisen avaruuden vastaavist

Epälokaali epälineaarinen potentiaaliteoria ja fraktionaaliset integraalioperaattorit

This thesis develops Potential Theory for nonlinear fractional Laplace type equations. These equations are nonlocal integro-differential equations defined as singular integrals. We study weak solutions and weak supersolutions of the equations, demonstrating that they behave as in the case of standard elliptic partial differential equations. We also define a related notion of superharmonic functions via a comparison with weak solutions. The superharmonic functions are used to give a nonlocal version of Perron's method for solving Dirichlet problems with general boundary data.  To obtain all the required properties of superharmonic functions, we use a related obstacle problem as a tool. For this, several regularity results for the solution to the obstacle problem are proved. In addition, we study a notion of viscosity solutions to the considered equations. The results reveal that the classes of viscosity supersolutions and superharmonic functions are the same, and for bounded solutions, they coincide with the class of weak supersolutions.  The thesis also studies the regularity of maximal functions by extending the regularity results of a fractional maximal operator to its local counterpart. Finally, we consider finitely randomized dyadic systems on metric measure spaces and apply them to functions of bounded mean oscillation.Väitöskirjassa kehitetään potentiaaliteoriaa epälineaarisille fraktionaalisen Laplacen yhtälön kaltaisille yhtälöille. Nämä ovat epälokaaleja integraalidifferentiaaliyhtälöitä, jotka on määritelty singulaarisina integraaleina. Työssä tutkitaan näiden yhtälöiden heikkoja ratkaisuja sekä heikkoja superratkaisuja, joiden näytetään käyttäytyvän samoin kuin tavallisten elliptisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden tapauksessa. Lisäksi määritellään vastaava superharmonisten funktioiden käsite vertailuperiaatteella heikkojen ratkaisuiden kanssa. Näiden superharmonisten funktioiden avulla määritellään epälokaali versio Perronin menetelmästä, jonka avulla voidaan ratkaista Dirichlet'n ongelmia yleisillä reuna-arvoilla.  Superharmonisten funktioiden ominaisuuksien johtamisessa käytetään työkaluna vastaavaan yhtälöön liittyvää esteongelmaa. Tätä silmällä pitäen esteongelman ratkaisulle todistetaan useita säännöllisyystuloksia. Lisäksi tutkitaan viskositeettiratkaisujen käsitettä tarkasteltaville yhtälöille. Osoittautuu, että viskositeettisuperratkaisut muodostavat täsmälleen saman luokan kuin superharmoniset funktiot, ja rajoitetun ratkaisun tapauksessa tämä luokka yhtyy heikkojen superratkaisujen luokkaan.  Työssä tutkitaan myös maksimaalifunktioiden säännöllisyyttä yleistämällä fraktionaalisen maksimaalioperaattorin säännöllisyystuloksia lokaaliin tilanteeseen. Lisäksi tarkastellaan äärellisesti satunnaistettuja dyadisia systeemejä metrisissä mitta-avaruuksissa ja sovelletaan niitä rajoitetun keskivärähtelyn funktioihin

A note on fractional supersolutions

We study a class of equations driven by nonlocal, possibly degenerate, integro-differential operators of differentiability order s ϵ (0,1) and summability growth p > 1, whose model is the fractional p-Laplacian with measurable coefficients. We prove that the minimum of the corresponding weak supersolutions is a weak supersolution as well

Holder continuity up to the boundary for a class of fractional obstacle problems

We deal with the obstacle problem for a class of nonlinear integro-differential operators, whose model is the fractional p-Laplacian with measurable coefficients. In accordance with well-known results for the analog for the pure fractional Laplacian operator, the corresponding solutions inherit regularity properties from the obstacle, both in the case of boundedness, continuity, and Holder continuity, up to the boundary. Key words: Quasilinear nonlocal operators, fractional Sobolev spaces, nonlocal tail, Caccioppoli estimates, obstacle problem

Fractional superharmonic functions and the Perron method for nonlinear integro-differential equations

We deal with a class of equations driven by nonlocal, possibly degenerate, integro-differential operators of differentiability order (Formula presented.) and summability growth (Formula presented.), whose model is the fractional p-Laplacian with measurable coefficients. We state and prove several results for the corresponding weak supersolutions, as comparison principles, a priori bounds, lower semicontinuity, and many others. We then discuss the good definition of (s, p)-superharmonic functions, by also proving some related properties. We finally introduce the nonlocal counterpart of the celebrated Perron method in nonlinear Potential Theory