In this thesis, we generalize the system of Euclidean dyadic cubes used in harmonic analysis to a space of homogeneous type, i.e. a quasi-metric space with a doubling measure.
The essential properties of the dyadic cubes are that they form a tree structure such that any two of them are either disjoint or one is contained in the other, and that each generation of cubes covers the whole space excluding a possible set of measure zero.
In addition, dyadic cubes are not too far away from balls in the sense that they are bounded by balls of the same magnitude from inside and outside.
The most central applications of dyadic cubes are the dyadic Calderón-Zygmund decomposition and the dyadic maximal function.
They are used in harmonic analysis and they do not significantly differ from their Euclidean counterparts.Tässä työssä yleistetään harmonisessa analyysissä usein käytettävät euklidisen avaruuden dyadiset kuutiot rakenteeltaan yleisempään homogeenisen tyypin avaruuteen, eli tuplaavalla mitalla varustettuun kvasimetriseen avaruuteen.
Dyadisten kuutioiden keskeisimpiä ominaisuuksia ovat, että ne muodostavat puurakenteen siten, että kaksi dyadista kuutiota ovat joko pistevieraita tai toinen on toisen osajoukko, ja että kukin kuutiosukupolvi peittää koko avaruuden vähintäänkin nollamittaista joukkoa vaille.
Lisäksi dyadiset kuutiot eivät poikkea muodoltaan merkittävästi palloista siinä mielessä, että niitä rajoittavat sisä- ja ulkopuolelta saman, sukupolven määräämän, suuruusluokan pallot.
Dyadisten kuutioiden keskeisimpiä sovelluksia ovat harmonisessa analyysissä käytettävät dyadinen Calderón-Zygmundin jako sekä dyadinen maksimaalifunktio, jotka eivät merkittävästi eroa euklidisen avaruuden vastaavist
