CARATHEODORY'S THEOREM

Rad ne sadrži sažetak

Quadratic Programming

Cilj ovoga rada je prikazati problem pronalaženja optimalnog rješenja (ili optimalnih rješenja ukoliko ih ima više) optimizacijskog problema u kojemu je funkcija cilja kvadratna, a ograničenja su dana u obliku linearnih jednadžbi i/ili nejednadžbi. U radu ćemo promatrati uglavnom problem minimizacije, odnosno nastojat ćemo naći točku ili točke globalnog minimuma funkcije cilja na dopustivom području (području određenom nekim danim ograničenjima) te vrijednost funkcije cilja u tim točkama. Na početku rada definirat ćemo kvadratnu funkciju više varijabli, pozitivno semidefinitne i pozitivno definitne matrice, konveksnu funkciju te dati uvjet kada je kvadratna funkcija konveksna. Nadalje ćemo navesti uvjete koje svako optimalno rješenje ovog problema nužno mora zadovoljavati (Karush-Kuhn-Tuckerovi uvjeti) i njihovu primjenu na problem kvadratnog programiranja. U dugom djelu rada upoznat ćemo se s metodom unutarnje točke, kao algoritmom za rješavanje kvadratnog problema optimizacije i opisati Newtonovu metodu za rješavanje sustava nelinearnih jednadžbi na kojoj se navedena metoda i temelji. Međutim, zbog postojanja ograničenja nenegativnosti, Newtonova metoda za generiranje novih procjena rješenja ne može se izravno primijeniti. Stoga je potrebno napraviti prilagodbe u smjeru traženja optimalnog rješenja te ćemo u radu razmatrati tzv. usmjerene Newtonove puteve i iznijeti koncept središnjeg puta. Na kraju rada dat ćemo konkretan primjer za izradu optimalnog portfelja temeljenog na problemu kvadratnog programiranja, nakon čega ćemo provesti detaljnu analizu rješenja danog problema

CARATHEODORY'S THEOREM

Rad ne sadrži sažetak

Quadratic Programming

Cilj ovoga rada je prikazati problem pronalaženja optimalnog rješenja (ili optimalnih rješenja ukoliko ih ima više) optimizacijskog problema u kojemu je funkcija cilja kvadratna, a ograničenja su dana u obliku linearnih jednadžbi i/ili nejednadžbi. U radu ćemo promatrati uglavnom problem minimizacije, odnosno nastojat ćemo naći točku ili točke globalnog minimuma funkcije cilja na dopustivom području (području određenom nekim danim ograničenjima) te vrijednost funkcije cilja u tim točkama. Na početku rada definirat ćemo kvadratnu funkciju više varijabli, pozitivno semidefinitne i pozitivno definitne matrice, konveksnu funkciju te dati uvjet kada je kvadratna funkcija konveksna. Nadalje ćemo navesti uvjete koje svako optimalno rješenje ovog problema nužno mora zadovoljavati (Karush-Kuhn-Tuckerovi uvjeti) i njihovu primjenu na problem kvadratnog programiranja. U dugom djelu rada upoznat ćemo se s metodom unutarnje točke, kao algoritmom za rješavanje kvadratnog problema optimizacije i opisati Newtonovu metodu za rješavanje sustava nelinearnih jednadžbi na kojoj se navedena metoda i temelji. Međutim, zbog postojanja ograničenja nenegativnosti, Newtonova metoda za generiranje novih procjena rješenja ne može se izravno primijeniti. Stoga je potrebno napraviti prilagodbe u smjeru traženja optimalnog rješenja te ćemo u radu razmatrati tzv. usmjerene Newtonove puteve i iznijeti koncept središnjeg puta. Na kraju rada dat ćemo konkretan primjer za izradu optimalnog portfelja temeljenog na problemu kvadratnog programiranja, nakon čega ćemo provesti detaljnu analizu rješenja danog problema