Random block coordinate methods for inconsistent convex optimisation problems

We develop a novel randomised block coordinate primal-dual algorithm for a class of non-smooth ill-posed convex programs. Lying in the midway between the celebrated Chambolle-Pock primal-dual algorithm and Tseng's accelerated proximal gradient method, we establish global convergence of the last iterate as well optimal $O(1/k)$ and $O(1/k^{2})$ complexity rates in the convex and strongly convex case, respectively, $k$ being the iteration count. Motivated by the increased complexity in the control of distribution level electric power systems, we test the performance of our method on a second-order cone relaxation of an AC-OPF problem. Distributed control is achieved via the distributed locational marginal prices (DLMPs), which are obtained \revise{as} dual variables in our optimisation framework.Comment: Changed title and revised manuscrip

Routing Game on Parallel Networks: the Convergence of Atomic to Nonatomic

International audienceWe consider an instance of a nonatomic routing game. We assume that the network is parallel, that is, constituted of only two nodes, an origin and a destination. We consider infinitesimal players that have a symmetric network cost, but are heterogeneous through their set of feasible strategies and their individual utilities. We show that if an atomic routing game instance is correctly defined to approximate the nonatomic instance, then an atomic Nash Equilibrium will approximate the nonatomic Wardrop Equilibrium. We give explicit bounds on the distance between the equilibria according to the parameters of the atomic instance. This approximation gives a method to compute the Wardrop equilibrium at an arbitrary precision

Nonsmooth Aggregative Games with Coupling Constraints and Infinitely Many Classes of Players

After defining a pure-action profile in a nonatomic aggregative game, where players have specific compact convex pure-action sets and nonsmooth convex cost functions, as a square-integrable function, we characterize a Wardrop equilibrium as a solution to an infinite-dimensional generalized variational inequality. We show the existence of Wardrop equilibrium and variational Wardrop equilibrium, a concept of equilibrium adapted to the presence of coupling constraints, in monotone nonatomic aggregative games. The uniqueness of (variational) Wardrop equilibrium is proved for strictly or aggregatively strictly monotone nonatomic aggregative games. We then show that, for a sequence of finite-player aggregative games with aggregative constraints, if the players' pure-action sets converge to those of a strongly (resp. aggregatively strongly) monotone nonatomic aggregative game, and the aggregative constraints in the finite-player games converge to the aggregative constraint of the nonatomic game, then a sequence of so-called variational Nash equilibria in these finite-player games converge to the variational Wardrop equilibrium in pure-action profile (resp. aggregate-action profile). In particular, it allows the construction of an auxiliary sequence of games with finite-dimensional equilibria to approximate the infinite-dimensional equilibrium in such a nonatomic game. Finally, we show how to construct auxiliary finite-player games for two general classes of nonatomic games

Méthodes d'Optimisation et de Théorie des Jeux Appliquées aux Systèmes Électriques Décentralisés

Dans le contexte de transition vers un système électrique décentralisé et intelligent, nous abordons le problème de la gestion des flexibilités de consommation électriques. Nous développons différentes méthodes basées sur l'optimisation distribuée et la théorie des jeux.Nous commençons par adopter le point de vue d'un opérateur central en charge de la gestion des flexibilités de plusieurs agents. Nous présentons un algorithme distribué permettant le calcul des profils de consommations des agents optimaux pour l'opérateur.Cet algorithme garantit la confidentialité des agents~: les contraintes individuelles, ainsi que le profil individuel de consommation de chaque agent, ne sont jamais révélés à l'opérateur ni aux autres agents.Ensuite, nous adoptons dans un second modèle une vision plus décentralisée et considérons un cadre de théorie des jeux pour la gestion des flexibilités de consommation.Cette approche nous permet en particulier de modéliser les comportements stratégiques des consommateurs.Dans ce cadre, une classe de jeux adéquate est donnée par les jeux de congestion atomiques fractionnables.Nous obtenons plusieurs résultats théoriques concernant les équilibres de Nash dans cette classe de jeux, et nous quantifions l'efficacité de ces équilibres en établissant des bornes supérieures sur le prix de l'anarchie.Nous traitons la question du calcul décentralisé des équilibres de Nash dans ce contexte en étudiant les conditions et les vitesses de convergence des algorithmes de meilleure réponse et de gradient projeté.En pratique un opérateur peut faire face à un très grand nombre de joueurs, et calculer les équilibres d'un jeu de congestion dans ce cas est difficile.Afin de traiter ce problème, nous établissons des résultats sur l'approximation d'un équilibre dans les jeux de congestion et jeux agrégatifs avec un très grand nombre de joueurs et en présence de contraintes couplantes.Ces résultats, obtenus dans le cadre des inégalités variationnelles et sous certaines hypothèses de monotonie, peuvent être utilisés pour calculer un équilibre approché comme solution d'un problème de petite dimension.Toujours dans la perspective de modéliser un très grand nombre d'agents, nous considérons des jeux de congestion nonatomiques avec contraintes couplantes et avec une infinité de joueurs hétérogènes~: ce type de jeux apparaît lorsque les caractéristiques d'une population sont décrites par une fonction de distribution paramétrique.Sous certaines hypothèses de monotonie, nous prouvons que les équilibres de Wardrop de ces jeux, définis comme solutions d'une inégalité variationnelle de dimension infinie, peuvent être approchés par des équilibres de Wardrop symétriques de jeux annexes, solutions d'inégalités variationnelles de petite dimension.Enfin, nous considérons un modèle de jeu pour l'étude d'échanges d'électricité pair-à-pair au sein d'une communauté de consommateurs possédant des actifs de production électrique renouvelable.Nous étudions les équilibres généralisés du jeu obtenu, qui caractérisent les échanges possibles d'énergie et les consommations individuelles.Nous comparons ces équilibres avec la solution centralisée minimisant le coût social, et nous évaluons l'efficacité des équilibres via la notion de prix de l'anarchie.In the context of smart grid and in the transition to decentralized electric systems, we address the problem of the management of distributed electric consumption flexibilities. We develop different methods based on distributed optimization and game theory approaches.We start by adopting the point of view of a centralized operator in charge of the management of flexibilities for several agents. We provide a distributed and privacy-preserving algorithm to compute consumption profiles for agents that are optimal for the operator.In the proposed method, the individual constraints as well as the individual consumption profile of each agent are never revealed to the operator or the other agents.Then, in a second model, we adopt a more decentralized vision and consider a game theoretic framework for the management of consumption flexibilities.This approach enables, in particular, to take into account the strategic behavior of consumers.Individual objectives are determined by dynamic billing mechanisms, which is motivated by the modeling of congestion effects occurring on time periods receiving a high electricity load from consumers.A relevant class of games in this framework is given by atomic splittable congestion games.We obtain several theoretical results on Nash equilibria for this class of games, and we quantify the efficiency of those equilibria by providing bounds on the price of anarchy.We address the question of the decentralized computation of equilibria in this context by studying the conditions and rates of convergence of the best response and projected gradients algorithms.In practice an operator may deal with a very large number of players, and evaluating the equilibria in a congestion game in this case will be difficult.To address this issue, we give approximation results on the equilibria in congestion and aggregative games with a very large number of players, in the presence of coupling constraints.These results, obtained in the framework of variational inequalities and under some monotonicity conditions, can be used to compute an approximate equilibrium, solution of a small dimension problem.In line with the idea of modeling large populations, we consider nonatomic congestion games with coupling constraints, with an infinity of heterogeneous players: these games arise when the characteristics of a population are described by a parametric density function.Under monotonicity hypotheses, we prove that Wardrop equilibria of such games, given as solutions of an infinite dimensional variational inequality, can be approximated by symmetric Wardrop equilibria of auxiliary games, solutions of low dimension variational inequalities.Again, those results can be the basis of tractable methods to compute an approximate Wardrop equilibrium in a nonatomic infinite-type congestion game.Last, we consider a game model for the study of decentralized peer-to-peer energy exchanges between a community of consumers with renewable production sources.We study the generalized equilibria in this game, which characterize the possible energy trades and associated individual consumptions.We compare the equilibria with the centralized solution minimizing the social cost, and evaluate the efficiency of equilibria through the price of anarchy

Game theory and Optimization Methods for Decentralized Electric Systems

In the context of smart grid and in the transition to decentralized electric systems, we address the problem of the management of distributed electric consumption flexibilities. We develop different methods based on distributed optimization and game theory approaches.We start by adopting the point of view of a centralized operator in charge of the management of flexibilities for several agents. We provide a distributed and privacy-preserving algorithm to compute consumption profiles for agents that are optimal for the operator.In the proposed method, the individual constraints as well as the individual consumption profile of each agent are never revealed to the operator or the other agents.Then, in a second model, we adopt a more decentralized vision and consider a game theoretic framework for the management of consumption flexibilities.This approach enables, in particular, to take into account the strategic behavior of consumers.Individual objectives are determined by dynamic billing mechanisms, which is motivated by the modeling of congestion effects occurring on time periods receiving a high electricity load from consumers.A relevant class of games in this framework is given by atomic splittable congestion games.We obtain several theoretical results on Nash equilibria for this class of games, and we quantify the efficiency of those equilibria by providing bounds on the price of anarchy.We address the question of the decentralized computation of equilibria in this context by studying the conditions and rates of convergence of the best response and projected gradients algorithms.In practice an operator may deal with a very large number of players, and evaluating the equilibria in a congestion game in this case will be difficult.To address this issue, we give approximation results on the equilibria in congestion and aggregative games with a very large number of players, in the presence of coupling constraints.These results, obtained in the framework of variational inequalities and under some monotonicity conditions, can be used to compute an approximate equilibrium, solution of a small dimension problem.In line with the idea of modeling large populations, we consider nonatomic congestion games with coupling constraints, with an infinity of heterogeneous players: these games arise when the characteristics of a population are described by a parametric density function.Under monotonicity hypotheses, we prove that Wardrop equilibria of such games, given as solutions of an infinite dimensional variational inequality, can be approximated by symmetric Wardrop equilibria of auxiliary games, solutions of low dimension variational inequalities.Again, those results can be the basis of tractable methods to compute an approximate Wardrop equilibrium in a nonatomic infinite-type congestion game.Last, we consider a game model for the study of decentralized peer-to-peer energy exchanges between a community of consumers with renewable production sources.We study the generalized equilibria in this game, which characterize the possible energy trades and associated individual consumptions.We compare the equilibria with the centralized solution minimizing the social cost, and evaluate the efficiency of equilibria through the price of anarchy.Dans le contexte de transition vers un système électrique décentralisé et intelligent, nous abordons le problème de la gestion des flexibilités de consommation électriques. Nous développons différentes méthodes basées sur l'optimisation distribuée et la théorie des jeux.Nous commençons par adopter le point de vue d'un opérateur central en charge de la gestion des flexibilités de plusieurs agents. Nous présentons un algorithme distribué permettant le calcul des profils de consommations des agents optimaux pour l'opérateur.Cet algorithme garantit la confidentialité des agents~: les contraintes individuelles, ainsi que le profil individuel de consommation de chaque agent, ne sont jamais révélés à l'opérateur ni aux autres agents.Ensuite, nous adoptons dans un second modèle une vision plus décentralisée et considérons un cadre de théorie des jeux pour la gestion des flexibilités de consommation.Cette approche nous permet en particulier de modéliser les comportements stratégiques des consommateurs.Dans ce cadre, une classe de jeux adéquate est donnée par les jeux de congestion atomiques fractionnables.Nous obtenons plusieurs résultats théoriques concernant les équilibres de Nash dans cette classe de jeux, et nous quantifions l'efficacité de ces équilibres en établissant des bornes supérieures sur le prix de l'anarchie.Nous traitons la question du calcul décentralisé des équilibres de Nash dans ce contexte en étudiant les conditions et les vitesses de convergence des algorithmes de meilleure réponse et de gradient projeté.En pratique un opérateur peut faire face à un très grand nombre de joueurs, et calculer les équilibres d'un jeu de congestion dans ce cas est difficile.Afin de traiter ce problème, nous établissons des résultats sur l'approximation d'un équilibre dans les jeux de congestion et jeux agrégatifs avec un très grand nombre de joueurs et en présence de contraintes couplantes.Ces résultats, obtenus dans le cadre des inégalités variationnelles et sous certaines hypothèses de monotonie, peuvent être utilisés pour calculer un équilibre approché comme solution d'un problème de petite dimension.Toujours dans la perspective de modéliser un très grand nombre d'agents, nous considérons des jeux de congestion nonatomiques avec contraintes couplantes et avec une infinité de joueurs hétérogènes~: ce type de jeux apparaît lorsque les caractéristiques d'une population sont décrites par une fonction de distribution paramétrique.Sous certaines hypothèses de monotonie, nous prouvons que les équilibres de Wardrop de ces jeux, définis comme solutions d'une inégalité variationnelle de dimension infinie, peuvent être approchés par des équilibres de Wardrop symétriques de jeux annexes, solutions d'inégalités variationnelles de petite dimension.Enfin, nous considérons un modèle de jeu pour l'étude d'échanges d'électricité pair-à-pair au sein d'une communauté de consommateurs possédant des actifs de production électrique renouvelable.Nous étudions les équilibres généralisés du jeu obtenu, qui caractérisent les échanges possibles d'énergie et les consommations individuelles.Nous comparons ces équilibres avec la solution centralisée minimisant le coût social, et nous évaluons l'efficacité des équilibres via la notion de prix de l'anarchie

Nonsmooth Aggregative Games with Coupling Constraints and Infinitely Many Classes of Players

After defining a pure-action profile in a nonatomic aggregative game, where players have specific compact convex pure-action sets and nonsmooth convex cost functions, as a square-integrable function, we characterize a Wardrop equilibrium as a solution to an infinite-dimensional generalized variational inequality. We show the existence of Wardrop equilibrium and variational Wardrop equilibrium, a concept of equilibrium adapted to the presence of coupling constraints, in monotone nonatomic aggregative games. The uniqueness of (variational) Wardrop equilibrium is proved for strictly or aggregatively strictly monotone nonatomic aggregative games. We then show that, for a sequence of finite-player aggregative games with aggregative constraints, if the players' pure-action sets converge to those of a strongly (resp. aggregatively strongly) monotone nonatomic aggregative game, and the aggregative constraints in the finite-player games converge to the aggregative constraint of the nonatomic game, then a sequence of so-called variational Nash equilibria in these finite-player games converge to the variational Wardrop equilibrium in pure-action profile (resp. aggregate-action profile). In particular, it allows the construction of an auxiliary sequence of games with finite-dimensional equilibria to approximate the infinite-dimensional equilibrium in such a nonatomic game. Finally, we show how to construct auxiliary finite-player games for two general classes of nonatomic games

Nonatomic Aggregative Games with Infinitely Many Types

We define and analyze the notion of variational Wardrop equilibrium for nonatomic aggregative games with an infinity of players types. These equilibria are characterized through an infinite-dimensional varia-tional inequality. We show, under monotonicity conditions, a convergence theorem enables to approximate such an equilibrium with arbitrary precision. To this end, we introduce a sequence of nonatomic games with a finite number of players types, which approximates the initial game. We show the existence of a symmetric Wardrop equilibrium in each of these games. We prove that those symmetric equilibria converge to an equilibrium of the infinite game, and that they can be computed as solutions of finite-dimensional variational inequalities. The model is illustrated through an example from smart grids: the description of a large population of electricity consumers by a parametric distribution gives a nonatomic game with an infinity of different players types, with actions subject to coupling constraints