A note on generalized derivations of prime rings

We show that a generalized derivation on a prime ring, that acts as a homomorphism or an anti-homomorphism on a non-zero ideal in the ring, is the zero map or the identity map

Strong Eulerian triples

We prove that there exist infinitely many rationals a, b and c with the property that a^2-1, b^2-1, c^2-1, ab-1, ac-1 and bc-1 are all perfect squares. This provides a solution to a variant of the problem studied by Diophantus and Euler.Comment: 8 page

Ideja jednoznačne faktorizacije I

Većini je prva asocijacija na jednoznačnu faktorizaciju rastav prirodnih brojeva na proste faktore. Činjenica da su takvi rastavi jednoznačni (do na poredak prostih faktora) obično se naziva osnovnim teoremom aritmetike. Druga je asocijacija rastav polinoma na nerastavljive polinome, kod kojeg nam jednoznačnost osigurava osnovni teorem algebre. Međutim, postoje i rastavi poput 13 = (2 − 3 i)(2 + 3 i) ili 6 = (1 − √5 i)(1 + √5 i) te slični rastavi polinoma na faktore s kompleksnim koeficijentima. Prirodno je postaviti pitanje jesu li to primjeri nejednoznačnosti rastava brojeva i polinoma na nerastavljive faktore i kako to treba tumačiti. Uočava se analogija između aritmetičkog i funkcijskog slučaja (brojeva i funkcija-polinoma). To je jedna od najplodonosnijih analogija u razvoju matematike. Osvrnut ćemo se na neke njezine aspekte bez pretenzije da sve dokažemo i istjeramo načistac. U ovom, prvom dijelu članka, osvrnut ćemo se na aritmetički slučaj, tj. slučaj brojeva. Za sada recimo još to da postavljena pitanja nisu samo zanimljive glavolomke za razonodu i kraćenje vremena, već se, naprotiv, uklapaju u same temelje matematike

On isogenies of elliptic curves

We give a characterization of ellptic curves which are isogenous over two different quadratic extensions of a fixed number field