Correlation of velocities of the waves controlling the thin-plate α-martensite formation and the modulation of the transformation twin structure

For the case of γ-α martensitic transformation (MT) in iron alloys, the concept of transformation twins is developed. As a rule, crystals of α-martensite having the form of thin plates are characterized by a fine twin structure (TS) with interchanging orthogonal directions of main compression axes. An example of the real structures of transformation twins that are not strictly regular is given. It is shown that in dynamic theory of MT the regular TS initiation is associated with coherent propagation of long (ℓ) and short (s) displacement waves belonging to controlling wave process (CWP). An analytical approximation of the dispersion law of s-waves is obtained. The threshold conditions of deformation and the qualitative picture of modulated TS formation are discussed. The correlation of velocities of the waves controlling thin-plate α-martensite crystals formation is established by the example of Fe-30Ni alloy. It is shown that at the real correlation of wave velocities a modulated structure of transformation twins is induced. Such structure contains fragments each of which is connected with the short-wave excited cell. The fragment size is associated with Nbas — the number of layers of the main component inside the TS fragment generated by a single spontaneously activated s-cell. Fragments’ sizes depend on the site of localization of spontaneously appearing s-cell generating the fragment in the area of the CWP front. It is shown that the Nbas value can vary within rather wide limits. Therefore, in contrast to regular TS forming, we should expect repeated s-cells spontaneous excitements for long enough twinned thin-plated crystals. Along with difference of s-and ℓ-waves velocities, consideration of waves (especially s-waves) decay is one more quite determined factor making its contribution into TS modulation. Estimation of this contribution seems to be very actual. © 2017, Institute for Metals Superplasticity Problems of Russian Academy of Sciences. All rights reserved

Динамика уравнения Курамото с пространственно-распределенным управлением

We study dynamical properties of a complex equation with spatially-distributed parameters. Families of special parabolic equations that de¯ne the behavior of initial problem solutions were built.Асимптотическими методами изучаются динамические свойства комплексного уравнения с пространственно-распределенными параметрами. Построены семейства специальных параболических уравнений, не содержащих большие и малые параметры, нелокальная динамика которых определяет поведение решений исходного уравнения

Нормализация уравнения с линейно распределенным запаздыванием

Some properties of the dynamics of a differential equation with the linear distributed delay is studied. In critical cases, which all have an infinite dimension, special equations - normal forms - were built.Изучаются свойства локальной динамики дифференциального уравнения с линейно распределенным запаздыванием. Выявлены параметры, при которых имеют место критические случаи. Показано, что критические случаи имеют бесконечную размерность, в каждом критическом случае построены специальные уравнения, описывающие динамику исходной задачи, - аналоги нормаль¬ных форм

Локальная динамика уравнения с длительным экспоненциально распределенным запаздыванием

We study properties of local dynamics of a differential equation with exponentially distributed delay. In critical cases we built special evolutionary equations.Изучаются свойства локальной динамики дифференциального уравнения с экспоненциально распределенным запаздыванием. Выявлены параметры, при которых имеют место критические случаи. Показано, что критические случаи имеют бесконечную размерность, в каждом критическом случае построены специальные уравнения, описывающие динамику исходной задачи, - аналоги нормальных форм

Пространственные особенности высокомодовых бифуркаций в распределенном логистическом уравнении

We study the local dynamics of a solutions spatially distributed logistic equation in the case of a two-dimensional spatial variable. Two distribution functions important for applications are considered. It is shown, that the critical cases in the problem of equilibrium stability have an infinite dimention. For each critical case a special replacement is built, which reduces the original problem to a system of parabolic equations — a quasinormal form, the solutions behavior of which defines the local dynamics. Some of the parameters in the quasi-normal form depend on a small parameter via a discontinuous function Θ(ε), which takes an infinite number of times all the values in the interval [0, 1) for ε → 0. This gives infinite alternation of forward and backward bifurcations in the initial boundary value problem. The obtained results are compared with those for the case of a one-dimensional spatial variable. New bifurcation phenomena which occur only in the case of a two-dimensional spatial variable are revealed.Исследуется локальная динамика решений пространственно распределенного логистического уравнения в случае двумерного пространственного переменного. Рассмотрены два важных для приложений вида функции распределения. Показано, что критические случаи в задаче об устойчивости состоя- ния равновесия имеют бесконечную размерность. Для каждого критического случая построены специальные замены, сводящие исходную задачу к системе параболических уравнений — квазинормальной форме, поведение решений которой определяет в главном локальную динамику. Некоторые из параметров в квазинормальной форме зависят от малого параметра через разрывную функ- цию Θ(ε), которая принимает бесконечное число раз все значения из полуинтервала [0, 1) при ε → 0. Это дает бесконечное чередование прямых и обратных бифуркаций в исходной краевой задаче. Полученные результаты сравниваются с аналогичными для случая одномерного пространственного переменного. Выявлены новые бифуркационные явления, которые возникают только в случае двумерной пространственной переменной

Динамические свойства одной модели пассивного захвата мод

We study the local dynamics of a model for the passive mode locking in semiconductor lasers. In critical cases special equations (normal forms) were built. The existence of multistability is shown.Исследуется локальная динамика модели пассивного захвата мод для полупроводникового лазера. В критическом случае построены эволюционные уравнения, играющие роль нормальных форм. Показана возможность мультистабильности

Динамические свойства уравнений первого порядка с большим запаздыванием

The local dynamic of the first-order differential equation with large delay is studied. The method of research is based on the normal forms theory. In critical cases having infinite dimensions, special evolutional equations playing the role of normal form are built. Different cases of correlation between the order of coefficient variance from critical values and order of delay are studied.Изучается локальная динамика дифференциального уравнения первого порядка с большим запаздыванием. Метод исследований основывается на методе нормальных форм. В критических случаях, которые имеют бесконечную размерность, построены эволюционные уравнения, играющие роль нормальных форм. Изучены различные случаи соотношения порядка отклонения коэффициентов от кри¬тических значений и порядка запаздывания

Засоби формоутворення сучасної круглої скульптури

The basic means of formations of the form for a round sculpture, that was formed during XX century,were described in article. Questions of mutual influence of space and sculptural plastics were covered.В статье описаны основные средства формообразования круглой скульптуры, что формировалась на протяжении ХХ столетия. Освещены вопросы взаимного влияния пространства и скульптурной пластики.У статті описано основні засоби формоутворення круглої скульптури, що формувалися протягом ХХ століття. Висвітлено питання взаємовпливу простору і скульптурної пластики

Correlation of velocities of the waves ontrolling the thin-plate alpha-martensite formation and the modulation of the transformation twin structure

For the case of γ-α martensitic transformation (MT) in iron alloys, the concept of transformation twins is developed. As a rule, crystals of α-martensite having the form of thin plates are characterized by a fine twin structure (TS) with interchanging orthogonal directions of main compression axes. An example of the real structures of transformation twins that are not strictly regular is given. It is shown that in dynamic theory of MT the regular TS initiation is associated with coherent propagation of long (ℓ) and short (s) displacement waves belonging to controlling wave process (CWP). An analytical approximation of the dispersion law of s-waves is obtained. The threshold conditions of deformation and the qualitative picture of modulated TS formation are discussed. The correlation of velocities of the waves controlling thin-plate α-martensite crystals formation is established by the example of Fe-30Ni alloy. It is shown that at the real correlation of wave velocities a modulated structure of transformation twins is induced. Such structure contains fragments each of which is connected with the short-wave excited cell. The fragment size is associated with Nbas — the number of layers of the main component inside the TS fragment generated by a single spontaneously activated s-cell. Fragments’ sizes depend on the site of localization of spontaneously appearing s-cell generating the fragment in the area of the CWP front. It is shown that the Nbas value can vary within rather wide limits. Therefore, in contrast to regular TS forming, we should expect repeated s-cells spontaneous excitements for long enough twinned thin-plated crystals. Along with difference of s-and ℓ-waves velocities, consideration of waves (especially s-waves) decay is one more quite determined factor making its contribution into TS modulation. Estimation of this contribution seems to be very actual. © 2017, Institute for Metals Superplasticity Problems of Russian Academy of Sciences. All rights reserved