A note on Gromov-Hausdorff-Prokhorov distance between (locally) compact measure spaces

We present an extension of the Gromov-Hausdorff metric on the set of compact metric spaces: the Gromov-Hausdorff-Prokhorov metric on the set of compact metric spaces endowed with a finite measure. We then extend it to the non-compact case by describing a metric on the set of rooted complete locally compact length spaces endowed with a locally finite measure. We prove that this space with the extended Gromov-Hausdorff-Prokhorov metric is a Polish space. This generalization is needed to define L\'evy trees, which are (possibly unbounded) random real trees endowed with a locally finite measure

COMPTE RENDU DES PREMIÈRES ASSISES DU CODE CIVIL DU 7 MAI 2021

peer reviewe

Probing Cosmic Reionization and Molecular Gas Growth with TIME

Line intensity mapping (LIM) provides a unique and powerful means to probe cosmic structures by measuring the aggregate line emission from all galaxies across redshift. The method is complementary to conventional galaxy redshift surveys that are object-based and demand exquisite point-source sensitivity. The Tomographic Ionized-carbon Mapping Experiment (TIME) will measure the star formation rate (SFR) during cosmic reionization by observing the redshifted [CII] 158$\mu$m line ($6 \lesssim z \lesssim 9$) in the LIM regime. TIME will simultaneously study the abundance of molecular gas during the era of peak star formation by observing the rotational CO lines emitted by galaxies at $0.5 \lesssim z \lesssim 2$. We present the modeling framework that predicts the constraining power of TIME on a number of observables, including the line luminosity function, and the auto- and cross-correlation power spectra, including synergies with external galaxy tracers. Based on an optimized survey strategy and fiducial model parameters informed by existing observations, we forecast constraints on physical quantities relevant to reionization and galaxy evolution, such as the escape fraction of ionizing photons during reionization, the faint-end slope of the galaxy luminosity function at high redshift, and the cosmic molecular gas density at cosmic noon. We discuss how these constraints can advance our understanding of cosmological galaxy evolution at the two distinct cosmic epochs for TIME, starting in 2021, and how they could be improved in future phases of the experiment.Comment: 30 pages, 18 figures, accepted for publication in Ap

Continuum random tree-valued processes

Cette thèse est consacrée à l'étude de certains processus aléatoires à valeurs dans les arbres continus. Nous définissons d'abord un cadre conceptuel pour cette étude, en construisant une topologie polonaise sur l'espace des R-arbres localement compacts, complets et munis d'une mesure borélienne localement finie. Cette topologie, dite de Gromov-Hausdorff-Prokhorov, permet alors la définition de processus de Markov à valeurs arbre. Nous donnons ensuite une nouvelle construction du processus d'élagage d'Abraham-Delmas-Voisin, qui est un exemple de processus qui prend ses valeurs dans les arbres de Lévy. Notre construction, qui dévoile une nouvelle structure généalogique des arbres de Lévy, est trajectorielle, et permet d'identifier explicitement les transitions du processus d'élagage. Nous appliquons cette description à l'étude de certains temps d'arrêt, comme le premier temps auquel le processus franchit une hauteur donnée. Nous décrivons le processus à cet instant grâce à une nouvelle décomposition de type spinal. Enfin, nous nous intéressons à la fragmentation d'Aldous-Pitman de l'arbre brownien d'Aldous. En particulier, nous étudions, à la suite d'Abraham et Delmas, l'effet de cette fragmentation sur les sous-arbres discrets de l'arbre brownien. Le nombre de coupures nécessaires avant d'isoler la racine, convenablement renormalisé, converge vers une variable aléatoire de Rayleigh ; nous donnons un théorème central limite qui précise les fluctuations autour de cette limiteIn this thesis, we study continuum tree-valued processes. First, we define an abstract framework for these processes, by constructing a metric on the space of locally compact, complete R-trees, endowed with a locally finite Borel measure. This topology, called Gromov-Hausdorff-Prokhorov topology, allows for the definition of tree-valued Markov processes. We then give a new construction of the pruning process of Abraham-Delmas-Voisin, which is an example of a Lévy tree-valued process. Our construction reveals a new genealogical structure of Lévy trees. Furthermore, it is a path wise construction, which describes the transitions of the process explicitly. We apply this description to the study of certain stopping times, such as the first moment the process crosses a given height. We describe the process at that time through a new spinal decomposition. Finally, we focus on the Aldous-Pitman fragmentation of Aldous's Brownian tree. Following Abraham and Delmas, we study the effect of the fragmentation on discrete subtrees of the Brownian tree. The number of cuts needed to isolate the root, suitably renormalized, converges towards a Rayleigh-distributed random variable; we prove a Central Limit Theorem describing the fluctuations around this limi

Processus à valeurs dans les arbres aléatoires continus

In this thesis, we study continuum tree-valued processes. First, we define an abstract framework for these processes, by constructing a metric on the space of locally compact, complete R-trees, endowed with a locally finite Borel measure. This topology, called Gromov-Hausdorff-Prokhorov topology, allows for the definition of tree-valued Markov processes. We then give a new construction of the pruning process of Abraham-Delmas-Voisin, which is an example of a Lévy tree-valued process. Our construction reveals a new genealogical structure of Lévy trees. Furthermore, it is a path wise construction, which describes the transitions of the process explicitly. We apply this description to the study of certain stopping times, such as the first moment the process crosses a given height. We describe the process at that time through a new spinal decomposition. Finally, we focus on the Aldous-Pitman fragmentation of Aldous's Brownian tree. Following Abraham and Delmas, we study the effect of the fragmentation on discrete subtrees of the Brownian tree. The number of cuts needed to isolate the root, suitably renormalized, converges towards a Rayleigh-distributed random variable; we prove a Central Limit Theorem describing the fluctuations around this limitCette thèse est consacrée à l'étude de certains processus aléatoires à valeurs dans les arbres continus. Nous définissons d'abord un cadre conceptuel pour cette étude, en construisant une topologie polonaise sur l'espace des R-arbres localement compacts, complets et munis d'une mesure borélienne localement finie. Cette topologie, dite de Gromov-Hausdorff-Prokhorov, permet alors la définition de processus de Markov à valeurs arbre. Nous donnons ensuite une nouvelle construction du processus d'élagage d'Abraham-Delmas-Voisin, qui est un exemple de processus qui prend ses valeurs dans les arbres de Lévy. Notre construction, qui dévoile une nouvelle structure généalogique des arbres de Lévy, est trajectorielle, et permet d'identifier explicitement les transitions du processus d'élagage. Nous appliquons cette description à l'étude de certains temps d'arrêt, comme le premier temps auquel le processus franchit une hauteur donnée. Nous décrivons le processus à cet instant grâce à une nouvelle décomposition de type spinal. Enfin, nous nous intéressons à la fragmentation d'Aldous-Pitman de l'arbre brownien d'Aldous. En particulier, nous étudions, à la suite d'Abraham et Delmas, l'effet de cette fragmentation sur les sous-arbres discrets de l'arbre brownien. Le nombre de coupures nécessaires avant d'isoler la racine, convenablement renormalisé, converge vers une variable aléatoire de Rayleigh ; nous donnons un théorème central limite qui précise les fluctuations autour de cette limit